Оптимизация в среде MATLAB

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

А.Л. Гольдштейн

ОПТИМИЗАЦИЯ В СРЕДЕ MATLAB

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2015

УДК 004.422.8:519.873(075.8) Г63

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, директор по корпоративному обучению и научной деятельности А.Н. Румянцев

(ООО «Парма-Телеком»)

д-р техн. наук, профессор Ю.Н. Хижняков (Пермский национальный исследовательский

политехнический университет)

Гольдштейн, А.Л.

Г63 Оптимизация в среде MATLAB: учеб. пособие / А.Л. Гольдштейн. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2015. – 192 с.

ISBN 978-5-398-01361-0

Рассмотрены возможности системы компьютерной математики MATLAB в части решения оптимизационных задач. Достаточно подробно описаны функции пакетов расширения Toolbox Optimization и Toolbox Global Optimization. Приведены многочисленные примеры решения задач оптимизации в режиме командной строки, иллюстрированные двумерными и трехмерными графиками, а также задания для восьми лабораторных работ.

Предназначено для студентов (бакалавров и магистров), изучающих курс «Методы оптимизации». Также может быть полезно тем, кто сталкивается с необходимостью решать задачи оптимизации.

УДК 004.422.8:519.873(075.8)

2

3

4

ВВЕДЕНИЕ

MATLAB (MATrix LABoratore) – одна из наиболее мощных сис-

тем компьютерной математики, построенная на расширенном применении матричных вычислений. Она включает пакеты расширения Simulink, Toolbox и Blockset, ориентированные на самые разнообразные задачи, где требуются математические расчеты, глубокий анализ и моделирование.

MATLAB имеет развитый высокоуровневый язык программирования и прекрасную двумерную и трехмерную графику, позволяющую наглядно представлять результаты расчетов, экспериментов и процессы моделирования.

Пакеты расширения Toolbox (ящик инструментов) специализируются на решении задач в различных предметных областях: в физике

иастрономии, в специальных разделах математики и математическом моделировании, в проектировании и управлении технических систем

ит.д. Основным инструментом MATLAB являются функции, которые реализуют определенные операции и алгоритмы. Имеются встроенные функции, в том числе все элементарные, и внешние, оформленные в виде так называемых m-файлов. Внешние функции могут пополняться собственными функциями пользователя.

Врасширения Toolbox входят два пакета, предназначенные для решения задач оптимизации: Toolbox Optimization и Toolbox Global Optimization. Настоящее пособие посвящено описанию этих пакетов.

Первый пакет включает набор функций, в которых реализованы методы и алгоритмы одномерной и многомерной безусловной и условной минимизации, линейного, булевого и квадратичного программирования, наименьших квадратов и решения уравнений, а также алгоритмы многокритериальной оптимизации.

Функции пакета Global Optimization ориентированы на поиск глобального минимума или многих минимумов. Здесь используются методы прямого поиска, мультистарта, моделирования отжига, генетический алгоритм. В этот пакет также включена функция многокритериального генетического алгоритма.

Пакеты предлагают два способа решения задач: с использованием командной строки и с использованием графического пользовательско-

5

го интерфейса (GUI). Второй способ проще, но уступает первому в гибкости и функциональности. Режим командной строки предоставляет пользователю всю мощь системы MATLAB, поэтому в пособии описывается использование именно этого режима решения задач. При умении решать задачи в командном окне использование GUI не вызовет никаких затруднений (для обращения к нему в меню соответствующего Toolbox следует выбрать Optimtool).

MATLAB, включая рассматриваемые пакеты, имеет мощную и удобную систему помощи, содержащую многие тысячи страниц документации. Для быстрого доступа к интересующему объекту достаточно набрать help и имя объекта, например оператора или функции.

В пособии рассматриваются функции обоих пакетов, приводятся многочисленные примеры их использования, во многих случаях они сопровождаются наглядным графическим представлением результатов. Для практического освоения и использования методов оптимизации, реализованных в пакетах, предлагается выполнить восемь лабораторных работ, охватывающих большинство функций пакетов.

Для тех, кто не работал с MATLAB, обратим внимание на два варианта некоторых арифметических операторов: традиционный оператор (*, ^, /), определяющий матричную операцию, и оператор с точкой впереди (.*, .^, ./), задающий поэлементные действия с операндами.

6

1. ОДНОМЕРНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ В MATLAB

Toolbox Optimization содержит специальные функции, каждая из которых ориентирована на определенный тип задачи оптимизации. Для одномерной минимизации непрерывных функций предназначена функция пакета fminbnd. Решаемая задача имеет вид

min f(x), a < x < b.

Алгоритм минимизации базируется на методах золотого сечения и квадратичной аппроксимации (параболической интерполяции).

Варианты обращения к функции fminbnd:

x = fminbnd(fun,x1,x2)

x = fminbnd(fun,x1,x2,options) x = fminbnd(problem)

[x,fval] = fminbnd(...) [x,fval,exitflag] = fminbnd(...) [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...)

Слева от знака равенства записываются выходные величины, и если их больше одной, то они перечисляются через запятую в квадратных скобках. Справа от имени функции в круглых скобках указываются входные величины (аргументы функции). В приведенных записях приняты следующие обозначения:

x – значение x, соответствующее локальному минимуму функции f(x); fval – значение f(x) в точке найденного локального минимума; exitflag – признак, идентифицирующий причину завершения алгоритма, его возможные значения:

1 – сходимость алгоритма к минимуму;

0 – число итераций превысило максимально установленное; –1 – причина в функции вывода (решение не достигнуто); –2 – границы несовместны.

Output – структура, содержащая информацию о процессе, имеет поля: Iterations – число итераций;

funcCount – число вычислений целевой функции; algorithm – используемый алгоритм;

message – конечное сообщение.

7

Входные аргументы:

fun – целевая функция, может быть определена как m-файл (m-фун-

кция), например:

function f = myfun(x) f = sin(x^2);

(файл сохраняется под именем myfun.m), и тогда на месте fun записывается @myfun, где myfun – имя функции и соответствующего ей m-файла; также fun можно представить непосредственно формулой (без использования имени) как конструкцию @(x)sin(x^2) или как строковое выражение ‘sin(x^2)’;

x1,x2 – значения левой и правой границ переменной x;

options – опции алгоритма, исходно все установлены по умолчанию; применяетcя, если необходимо изменить какие-либо параметры оптимизации; при этом перед обращением к функции fminbnd вносятся изменения в настройки опций options с помощью функции optimset, аргументами которой являются пары «имя параметра, устанавливаемое значение параметра», например установка

options=optimset(‘Display’, ‘off’)

исключит вывод на экран (в командное окно) промежуточных данных. При значении 'iter' будут выводиться результаты каждой итерации. Другие значения параметра – 'final' и 'notify' (вывод итогов и вывод только при отсутствии сходимости). Указание параметра 'Outputfcn', в качестве значения которого записывается имя функции, приводит к вызову этой функции на каждой итерации алгоритма. Значение параметра 'PlotFcn' определяет функцию вывода графики. В пакете это функции @optimplotx (рисует текущую точку), @optimplotfunccount (выводит количество вычислений функции), @optimplotfval (выводит текущее значение целевой функции). Функции вывода и графики могут быть написаны пользователем. При включении параметра FunValCheck ('on') выводится сообщение при возврате целевой функцией комплексного значения или Inf и NaN.

Problem – сохраненное из GUI Optimization Tool описание зада-

чи, а именно:

f – целевая функция, x1 – левая граница, x2 – правая граница,

8

solver – 'fminbnd',

options – структура параметров, создается optimset.

Результатом выполнения функции fminbnd является локальное решение (локальный минимум).

Пример 1.

Найти минимум функции y = x + 25/x в интервале 2 < x < 9. Для решения задачи в командное окно записываем программу: >> x=2:0.1:9;y=x+25./x; plot(x,y);xlabel('x'); ylabel('y');...

title('Minimization by fminbnd');hold on; ...

options=optimset('Outputfcn', @outmy);...

[x,fval,exitflag,output]=fminbnd('x+25./x',2,9,options)

Примечание. Многоточие позволяет перейти на следующую строку, иначе при нажатии Enter выполнится введенная перед ним часть программы. Также многоточие позволяет разрывать выражение для переноса на следующую строку.

Пояснения к программе: в 1-й строке выводится график функции и обозначения осей, во 2-й выводится заголовок и дается указание на удержание графического окна, в 3-й функция outmy во время работы алгоритма выводит точки, соответствующие итерациям, в то же графическое окно. Эта функция записана в виде m-файла

function stop = outmy(x,optimValues,state) stop = false;

switch state case 'init'

hold on case 'iter'

y=x+25./x;

plot(x,y,'red.');

% Label points with iteration number. text(x,y+.15,num2str(optimValues.iteration+1)); case 'done'

hold off

end

end

Результаты выполнения программы, выводимые в командное и графическое окна, представлены ниже и на рис. 1.

9