Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии

В= ( Х ГХ)~1Х ГУ

Врезультате получим

М [(Д — Р) (В — Р)г] = М [(ХтX)~lХтF0 [(* ГЛГ) - 1* Гк°]г ),

где К0 — случайный нормальный вектор с независимыми компонен­ тами, имеющими дисперсии оу2:

Матрица (Х ТХ )~1 называется матрицей ошибок или ковариа­ ционной матрицей. Так как ковариационная матрица недиаг.ональна и, следовательно, все коэффициенты регрессии взаимно связаны, нельзя проверить значимость каждого коэффициента в отдельности. Поэтому отношения

I Ь)\

(IV. 121)

sy V~cT)

можно рассматривать только как средство ранжировки факторов. Используется процедура последовательного исключения незначи­ мых факторов: фактор, для которого tj оказывается цаимень-

шим, исключается, и расчет повторяется. Исключение факторов производится до тех пор, пока уменьшается остаточная дисперсия. При этом улучшаются интерполяционные свойства уравнения рег­ рессии, однако полученные коэффициенты оказываются смещенны­ ми оценками для соответствующих генеральных коэффициентов. При большом числе факторов для расчета множественной регрессии необходимо использовать ЦВМ.

При решении линейных алгебраических систем частсшриходится сталкиваться с проблемой плохой обусловленности этих систем. Так, если для системы XB = Y малым изменениям элементов мат­ рицы X или вектора Y отвечает достаточно большие изменения ре­ шений (элементов вектора В), то система плохо обусловлена. В противном случае система обусловлена хорошо. Погрешности в. определении экспериментальных величин х и у сказываются на оп­ ределяемых величинах коэффициентов и при плохой обусловлен­ ности влекут за совой сильные вариации в значении коэффициентов и, следовательно, малую достоверность полученных результатов расчета.

Хорошая или плохая обусловленность тесно связана с величи­ нами определителя матрицы (ХТХ ) и ее элементов. Введено боль­ шое число различных критериев, определяющих обусловленность [7]..

Для плохо обусловленных систем возникает проблема выбора алгоритма решения. При проведении расчетов по рассмотренному алгоритму на каждом шаге будет возникать некоторая ошибка, например, за счет округления или заданной точности на ЦВМ, а также ощутимая потеря значащих цифр в результате вычитаний. В конечном итоге это может привести к достаточно сильному иска­ жению решения. Для таких систем требуются так называемые устойчивые алгоритмы* позволяющие исключить появление неже­

Брандона [17]. По этому методу уравнение регрессии записывается в виде

где fj{Xj) — любая функция величины xj. Порядок расположения факторов х\, *2 , , Xk в выражении (IV. 122) не -безразличен для точности обработки результатов наблюдений: чем большее влияние на у оказывает параметр Xjy тем меньше должен быть порядковый номер индекса /. Вид функций fj выбирается при помощи построе­ ния эмпирических линий регрессии. Вначале по точкам выборки системы величии у\, xiy х2у , хк строятся поле корреляции и эмпи­ рическая линия регрессии у—х\. Таким образом определяется тип

зависимости yXl= f\{х\) и методом наименьших квадратов рассчиты­

ваются коэффициенты этогр уравнения регрессии. Затем составля­ ется выборка новой величины:

Полученная величина у\ не зависит уже от xi, а определяется толь­

По точкам новой выборки величин ух и х2 вновь строятся кор­ реляционное поле и Э1мпирическая линия регрессии, характеризую­ щая зависимость у i от х2:

Такая процедура определения функций /3(*з), Ы *4 ) - продолжается до получения выборки величины у\к\

(IV. 127)

/(* * ) f i ( x l) f 2 bc2) . . . f t ( x ky

где п — объем выборки.

Пример 5 [18]. Необходимо получить зависимость производительности труб­ чатого реактора полиэтилена при высоком давлении от параметров процесса. Изучаемые факторы, от которых зависит производительность реактора (у): хх— давление в реакторе; х2 — температура в реакторе; JC3 — концентрация 0 2 в ре­ акционной смеси; х4— расход газа, подаваемого в реактор. Исходным статисти­

ческим материалом служит выборка объемом в 200 измерений, собранная с изу­

т е

Часть вторая

МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

ГЛАВА V

МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Большое количество экспериментальных задач в химии и хими­ ческой технологии формулируется как задачи экстремальные: опре­ деление оптимальных условий процесса, оптимального состава композиции и т. д. Благодаря оптимальному расположению точек в факторном пространстве и линейному преобразованию коорди­ нат, удается преодолеть недостатки классического регрессионного анализа, в частности, корреляцию между коэффициентами уравне­ ния регрессии. Выбор плана определяется постановкой задачи ис­ следования и особенностями объекта. Процесс исследования обыч­ но разбивается на отдельные этапы. Информация, полученная пос­ ле каждого этапа, определяет дальнейшую стратегию эксперимента. Таким образом возникает возможность оптимального управления экспериментом. Планирование эксперимента позволяет варьиро­ вать одновременно все факторы и получать количественные оценки основных эффектов и эффектов взаимодействия. Интересующие эффекты определяются с меньшей ошибкой, чем при традиционных методах исследования. В конечном счете применение методов пла­ нирования значительно повышает эффективность эксперимента.

1. Полный факторный эксперимент. При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возмож­ ные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Необходимое количество опытов N при ПФЭ определяется по формуле

N = nk,

где п — количество уровней; k — число факторов.

Если эксперименты проводятся только на двух уровнях, при двух значениях факторов и при этом в процессе эксперимента осу­ ществляются все возможные комбинации из k факторов, то поста­ новка опытов по такому плану называется полным факторным экс­ периментом типа 2к. Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру. Например, изучается влияние на выход продукта (уУ%) трех фак­ торов: температуры {zx) в диапазоне 100—200°С, давления (г2) 2—6-105 Па и времени пребывания (z3) 10—20 мин. Верхний уро­

вень по температуре Zimax равен 200° С, нижний Ztmln равен 100° С. Тогда для Z\ имеем

Нт 2-min

плана, иногда ее называют основным уровнем] &Zj — единица варь­ ирования, или интервал варьирования, по оси Zj. От системы ко­ ординат zu z2, , Zu перейдем к новой безразмерной системе коор­ динат х и х2, , хк путем следующего линейного преобразования ко­ ординат:

zi — г)

В безразмерной системе координат верхний уровень равен +1, нижний уровень —1, координаты центра плана равны нулю и сов­

Представленный в табл. 28 кодированный план геометрически может быть интерпретирован в виде куба рис. 27, восемь вершин которого представляют собой восемь экспериментальных точек. Введем в ПФЭ 23 (табл. 29) столбец так называемой фиктивной переменной хо= 1.

Приведенная в табл. 29 матрица планирования обладает сле­ дующими свойствами:

где k — число независимых факторов; N — число опытов в матрице планирования.

Первое свойство (V.4) — равенство нулю скалярных произведе­ ний всех’вектор-столбцов — называется свойством ортогональности матрицы планирования. Это свойство резко уменьшает трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии, так как

матрица коэффициентов нормальных уравнений {X X) становится