Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии

12. Ортогональные насыщенные планы Плакетта — Бермана.

Ортогональные насыщенные двухуровневые D-оптимальные планы можно построить, используя дробные реплики от ПФЭ для числа факторов £ = 3 (N=4), k=7 (N=8), /г=15 {N=16), /г = 31 (//=32) и т. д. Однако класс ортогональных насыщенных планов может быть значительно расширен. Плакетт и Берман [27] разработали строгую математическую теорию построения и анализа ортогональ­ ных планов. В частности, было доказано, что в насыщенном плане вычисленные по методу наименьших квадратов оценки эффектов имеют максимальную для данного числа опытов N точность, оди­ наковую для всех эффектов, если матрица планирования имеет ортогональные столбцы. Чтобы матрица была ортогональной, не­ обходимо и достаточно, чтобы: 1) каждый фактор встречался на каждом своем уровне одно и то же число раз; 2) каждые два фак­ тора с любой комбинацией их уровней встречались одно и то же

построения ортогональной матрицы (плана эксперимента) превра­

построения оптимального плана сводится к построению ортогональ­ ной матрицы, состоящей из +1 и —1, размера NXN, где N — чис­ ло, кратное четырем, т. е. N=4n. Максимальное число факторов, которое можно ввести в планирование, при этом равно k = N—1.

Для построения насыщенных планов для &=11, 19, 23 и 35 вос­

Второй столбец получим из первого, заменив в нем первый элемент

ковой для всех эффектов. Любой коэффициент линейного уравнения регрессии определяется по формуле

N

2хнух

----, J = l , 2 9....9k.

Погрешность в определении bj при этом равна

s bj — ^воснр I V N 9

где 5ВОспр — ошибка измерения.

Поскольку матрица планирования ортогональна, такая оценка линейных эффектов совпадает с оценкой, полученной по методу наименьших квадратов. Кроме того, вследствие ортогональности матрицы полученные оценки линейных эффектов не смешаны меж­ ду собой. _

Отношение bj к sB 0 спр/]^ N имеет распределение Стьюдента для нуль-гипотезы, т. е. истинного значения f$j= 0. Это отношение мож­ но использовать для проверки значимости эффектов. Для проверки значимости различия между эффектами можно использовать от­ ношение

^воспр/к N

также имеющее распределение Стьюдента.

Пример 11. Исследовалась возможность получения азотно-фосфорно-калийно­ го удобрения путем частичной замены поташа аммиаком при нейтрализации азот­ нокислотной вытяжки. Процесс нейтрализации можно охарактеризовать суммар­ ной реакцией:

6Са (Ш 3)2+ ЗН3Р04+ 6NH3+ ЗК2С0з=ЗСаНР04+ 6NH4NO3+ 6KN03+ ЗСаСОз

При исследовании последовательной нейтрализации вытяжки аммиаком и поташем особый интерес представляло выяснение степени ретроградации усвояе­ мых форм пятиокиси фосфора. Поэтому показателем процесса (у) служила сте­

является оценкой квадратичной ошибки в измерении отклика, если

исследования проводят отсеивающие эксперименты. Поскольку ин­ тенсивность влияния фактора связана с диапазоном его изменения, многие факторы подозреваемые как существенные на основании априорной информации, могут оказаться незначимыми. Поэто­ му отсеивающие эксперименты эффективны не только при исследо­ вании новых процессов, но и как первая стадия изучения много­ факторных процессов с достаточной априорной информацией, если число факторов слишком велико, чтобы сразу планировать экспе­ римент, направленный на поиск оптимальных условий процесса. Для отсеивания количественных и качественных факторов при чи­ сле уровней, равном двум, можно использовать дробные реплики от факторного эксперимента достаточно высокой степени дробно­ сти, а также насыщенные ортогональные планы Плакетта — Бер­ мана. Эти планы позволяют получать раздельные оценки линейных эффектов всех факторов с максимально возможной при данном чи­ сле опытов точностью, одинаковой для всех эффектов. Последнее особенно ценно на этапе отсеивания, так как неизвестно, какие эф­ фекты окажутся значимыми. К недостаткам указанных планов от­ носится требование отсутствия значимых эффектов взаимодействия.

Для выделения существенных эффектов — линейных и парных взаимодействий — Саттерзвайтом [28] предложен метод случайного

баланса. В этом методе план эксперимента предлагается делать сверхнасыщенным — число опытов N в матрице планирования мень­ ше числа рассматриваемых эффектов, т. е. вначале исследования число степеней свободы f < 0. Метод случайного баланса не обосно­ вывается теоретически, а носит в основном эвристический харак­ тер. Основная предпосылка эффективного применения метода слу­ чайного баланса: среди большого числа рассматриваемых эффек­ тов лишь несколько действительно существенно влияют на процесс, а все остальные могут быть признаны незначимыми и отнесены к шумовому полю. Если расположить эффекты в порядке убывания вносимого ими вклада в величины дисперсии выходного фактора, то получим диаграмму раноюирования (рис. 42). Эффекты, попав­ шие в правую часть диаграммы ранжирования, должны быть от­ несены к шумовому полю. Отнесение части эффектов к шумово­ му полю позволяет расщепить исходную математическую модель:

У = Ь0 + Ь\Х\ + Ь2х2 -Ь...+ bkxk + Ь\2Х\Х2 + ЬП Х 1Х Ъ Н-- +

+ bk—\,kx k—l x k Н" 5 воспр>

/

где /—m — число значимых эффектов; т — число эффектов, отне­ сенных к шумовому полю;

a ^ ^ c j X j + u,

тогда

4 = J- I х] +

Оценка значимых коэффициентов будет производиться с боль­ шой ошибкой шумового поля sa. В связи с этим метод случайного баланса обладает меньшей чувствительностью, чем ПФЭ или ДФЭ (под чувствительностью метода понимается способность выделять коэффициенты регрессии, значимо отличающиеся от нуля). Однако метод случайного баланса обладает большей разрешающей способ­ ностью: он позволяет выделить раздельно доминирующие эффекты среди очень большого числа эффектов.

Цель эксперимента методом случайного баланса состоит в том, чтобы распознать истинную диаграмму ранжирования и произвести расщепление модели. После этого план из сверхнасыщенного стано­ вится ненасыщенным по отношению к значимым эффектам, поэтому

их можно оценить количественно обычным путем. Если же число действительно значимых эффектов велико, то экономии опытов за счет сверхнасыщенности не происходит. С увеличением числа зна­ чимых эффектов (особенно эффектов взаимодействия) эффектив­ ность метода случайного баланса падает. Чем круче будет убывать ранжировочная кривая, тем эффективнее будет отсеивание.

Чтобы совместные оценки эффектов были смешаны случайным образом, необходимо при построении матрицы планирования ис­ пользовать какой-нибудь случайный механизм. Чаще всего факто­ ры в методе случайного баланса варьируют на двух уровнях. Для построения матрицы планирования предлагается: 1) «чистый» слу­ чайный баланс, при котором выбор плана для каждого столбца не зависит от выбора для других столбцов; 2) случайное смешивание систематических дробных реплик факторного эксперимента. Чис- 'тый случайный баланс менее эффективен, его используют, если ближайшая степень двойки существенно увеличивает число опытов. Прежде чем использовать полученную таким образом матрицу планирования, необходимо убедиться в ее пригодности. Матрицу нельзя использовать, если в ней имеются полностью закоррелированные столбцы. Чем больше корреляция между столбцами, тем больше опасность выделения так называемых «ложных» эффектов. За меру оптимальности матриц планирования принимают следую­ щие показатели: 1) число ортогональных столбцов; 2) минимум значения модуля коэффициента корреляции для всех возможных взаимодействий (линейных — парных, парных — парных); 3) уело-

N

вне 2 Xi= 0 для всех факторов. i—1

По этим критериям на ЭВМ в результате случайного смешива­ ния реплик 25-1, 26-1 и случайного выбора столбцов были получены матрицы планирования, представленные в табл. 57 и в табл. И, 12 приложения. Эти матрицы также можно использовать для мень­ шего числа факторов.

Рассмотрим в качестве примера задачу выделения значимых эффектов среди 14 линейных и 91 эффекта взаимодействия (£=14). Матрица планирования и результаты эксперимента при­ ведены в табл. 57. В матрице планирования коэффициент корре­ ляции г* для столбцов 1—4 равен нулю, для столбцов 1—10 г*<0,517, для столбцов 1—14 г*^0,7 .

Для визуального выделения значимых факторов по результатам эксперимента строят диаграмму рассеяния (рис. 43). На первом этапе обработки экспериментов диаграмму рассеяния строят толь­ ко для линейных эффектов. Эффект признается значимым, если он имеет большое различие между медианами АМе. Однако этот кри­ терий недостаточен, поскольку он не является однозначным. Эффект признается значимым, если он также имеет большое число выде­ лившихся точек, расположенных выше (ниже) концов интервала изменения значений у для другого уровня фактора. При оценке значимости факторов по числу выделившихся точек можно исполь-

зовать непараметрическую оценку вероятности р того, что из 2n=N точек в верхней и нижней части диаграммы рассеяния может выде­ литься случайно R точек:

С и - С 2лл-—21

Для упрощения расчетов в качестве критерия значимости фак­ торов можно использовать произведение разности между медиана­ ми на число выделившихся точек g=\k.MeR\. Использовав этот

Рис. 43. Диаграмма рассеяния результатов наблюдений по уровням факторов

критерий, по диаграмме рассеяния (рис. 43) отобрали для количе­ ственной оценки факторы Хи *6, х$. Количественная оценка при ручной обработке результатов проводится при помощи таблиц с нескольким^ входами. Чем больше входов у таблицы, тем точнее оценивается эффект. Однако сверхнасыщенный план часто не дает возможности заполнить все клетки таблицы. Такая ситуация воз­ никла при построении таблицы с тремя входами для факторов Х \, х6 и Хэ (табл. 58).

Поэтому пришлось ограничиться построением таблиц с двумя входами (табл. 59).

По данным табл. 59 определим коэффициенты уравнения регрес­ сии Ь\ и be: