Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии

Все три фактора в латинском квадрате имеют одинаковое число уровней (аг-, biy а). Так, в плане (табл. 11) каждый фактор изменя­ ется на двух уровнях.

В табл. 11 представлен факторный эксперимент типа 22, на ко­ торый наложен 2X2 латинский квадрат. Матрица планирования — соответствующий табл. 11 план эксперимента, включающий три столбца и четыре строчки, представлен в табл. 12.

Латинский квадрат является частью плана — по схеме латин­ ского квадрата введен в планирование третий фактор С. Однако весь этот план (табл. 11) принято называть латинским квадратом. В латинском квадрате каждый элемент повторяется только один раз.в каждой строчке и в каждом столбце, поэтому каковы бы ни были нарушающие свойства элемента квадрата, они в равной сте­ пени скажутся при подсчете средних по' столбцам и по строкам. Представленный в табл. 12 план представляет собой половину — полуреплику от ПФЭ 23 (табл. 13). Вошедшие в полуреплику опы­ ты отмечены звездочками.

Результат наблюдения, полученного по полному факторному эксперименту, можно представить в виде следующей модели:

101

В табл. 14 приведен план эксперимента по схеме латинского квад­ рата 3X3.

Латинский квадрат 3X3 со структурной точки зрения можно рассматривать как !/з реплику от полного факторного эксперимен­ та З3. В. общем случае латинский квадрат пХ п можно рассматри­ вать как 1/п реплику от ПФЭ /г3.

При проведении дисперсионного анализа латинского квадрата без повторных опытов удобно использовать следующий алгоритм расчета. Для этого определяют: 1) итоги по строкам Лг-, столбцам Bj и латинским буквам Cq. Например, для приведенного в табл. 14 латинского квадрата 3X3 итоги по строкам:

-4l = Уг + У2 + УЗ» М = УА+ У.5 + У6> ^3 = У7 + Уъ +

итоги по столбцам:

^1 = У1 + УА + У7> #2 = У2 + у5 + У8, #3 — Уъ + У6 + У9\

итоги по латинским буквам:

= У\ + Уь + Уъ, С2 = У2 + У4 + У9, С3 = у 3 + У5 + УЪ

2) сумму квадратов всех наблюдений

/-W -i

3)сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число на­ блюдений в строке,

п

4) сумму квадратов.итогов по столбцам, деленную на число на­

блюдений в столбце,

_П

5) сумму квадратов цтогов по латинским буквам, деленную на число наблюдений, соответствующих каждой букве,

п

я- 1

6) квадрат общего итога, деленный на число всех 'наблюдений (корректирующий член),

10) общую сумму квадратов, равную разнице между* суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом,

55общ = SSX— SS5; (III. 95)

11) остаточную сумму квадратов

SSQQT~ SS0бщ — S$A — SSjв— SSQ = 55^ — SS$ — SS2 *555 — 553 -}-

+ 556 — 554 + S55 = 55x— SS2— 553 — SS4 + 2SS5. (III.96)

Остаточная сумма квадратов складывается из дисперсии, обус­ ловленной ошибкой опыта, и дисперсии, обусловленной взаимодей­ ствиями факторов, если такие имеются;

12) дисперсию sA2

103*

15) дисперсию 5гош

Результаты расчета представляются в виде таблицы дисперси­ онного анализа (табл. 15).

Значимость линейных эффектов проверяют по критерию Фише­ ра. Если дисперсионные отношения удовлетворяют неравенствам

4

4

оказывается больше табличного, соответствующая нулевая гипоте-

за отвергается, и влияние фактора считается значимым. Приняв гипотезу о значимости влияния фактора, т. е. гипотезу о значимо­ сти различия в средних, обычно выясняют, какие именно средние значимо различаются между собой при помощи критерия Стьюдента или множественного рангового критерия Дункана. Если же соглас­ но условиям задачи один или два фактора являются источниками неоднородностей, влияние которых надо исключить при подсчете главного эффекта (это обеспечивается планированием по схеме латинского квадрата), то средние по источникам неоднородностей не подсчитываются и не проверяется значимость их различия по статистическим критериям.

Пример 3. Планирование эксперимента по схеме латинского квадрата было использовано для исследования влиянияна процесс органического синтеза трех факторов: А — типа галоидного алкила на уровнях а2, а3 и а4; В — типа рас­ творителя на уровнях b1, b2y bz и Ь4 и С — отношения количества мономера к рас­

творителю. Результаты (выход полимера в процентах) представлены в таблице. Эксперимент проводился без повторных опытов. Требуется оценить значи­

мость влияния рассматриваемых факторов на процесс синтеза.

Р е ш е н и е . Расчет проводится в соответствии с приведенным алгоритмом по формулам (III.88)— (III.100). Итоги по строкам Аи А2, А3, А4 и итоги по столб­ цам В\, В2) Bz и В4 приведены в таблице. Определим: 1) итоги по латинским

буквам:

Ci = 70,5; С2 = 135,7; С3 = 116,9; С4 = 43,3;

2) сумму квадратов всех наблюдений

/-W -i

3)сумму квадратов итогов по строкам,, деленную на число наблюдений в

строке,

SS* = — (72,22 + 52,02 + 95,12 + 147,12) = 9649,82;

4

Рассмотрим латинский квадрат, образованный таблицей сложе­ ния. Если в этом квадрате заменить р-ю строку, начинающуюся с элемента р (р= 0, 1, 2, 3, 4), строкой, полученной прибавлением (по модулю 5) к элементам первой строки первого квадрата числа рХ2, получим второй квадрат:

Для получения р-й строки третьего и четвертого латинских квадратов прибавляют (по модулю 5) к элементам перрой строки первого квадрата соответственно числа рХЗ и рХ 4:

Таким образом, получили полную систему ортогональных ла­ тинских квадратов.

Планирование эксперимента по схеме греко-латинского квадра­ та применяется для четырех факторов. Число уровней для всех факторов должно быть одинаково. В табл, приведены греко-латин­ ские квадраты размерности 3X3, 4X4 и 5X5.

Греко-латинский квадрат является частью че'тырехфакторного плана — по схеме греко-латинского квадрата вводятся в план экс­ перимента факторы С и D. Например, в последнем плане (табл. 16) уровни фактора С соответствуют латинским, а уровни фактора D — греческим буквам греко-латинского квадрата (III.103): А—С\, В—с2, С—Сз, D—с4, Е—с5 и а—du р—d2, у—d3>6—tf4, е—d3. Одна­ ко принято греко-латинским квадратом называть весь четырехфаКторный план (табл. 16). Матрица планирования, соответствующая греко-латинскому квадрату 3X3, приведена в табл. 17.

по