3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля

Исторические сведения

Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд (1821-1894 гг.)- немецкий физик, математик, физиолог и психолог. Основные его работы посвящены изучению пространств Римана и геометрических аксиом. Работал профессором физики в Берлинском университете, а затем в должности директора Физико-технического института. Гельмгольц доказывал, что все основные положения геометрии имеют опытное происхождение и что форму пространства можно выяснить путем опытов. Гельмгольц внес значительный вклад в развитие практически всех областей классической физики. Наряду с Р.Майером и Дж. Джоулем он сформулировал закон сохранения энергии, объяснил механизм образования морских волн, гидродинамику вихрей, выдвинул идею атомарного строения электричества. Его научные достижения отмечены избранием в Берлинскую, Парижскую и Петербургскую Академии Наук.

… … …

Дифференциальным уравнением Гельмгольца называется уравнение вида

(3.12)

где - оператор Лапласа, – постоянная, неизвестная функция. Свойства решений этого уравнения сильно отличаются от свойств решений уравнения

.

Для последнего дифференциального уравнения краевые задачи ставятся так же, как для дифференциального уравнения Лапласа и свойства его решений аналогичны свойствам решений уравнения Лапласа.

Уравнение Гельмгольца можно получить из волнового уравнения в случае гармонической зависимости от времени неизвестной функции. Мы рассмотрим получение уравнения (3.12) из уравнений, описывающих электромагнитное поле – уравнений Максвелла [6].

При рассмотрении задач с независящими от времени электрическими и магнитными полями эти поля рассматриваются как отдельные физические поля. Но при рассмотрении переменных во времени полей независимость электрических и магнитных явлений исчезает. При изменении во времени магнитного поля возникает электрическое поле, а изменение электрического поля порождает магнитное поле. В случае переменных полей мы имеем общее электромагнитное поле, а не электрическое и не магнитное поля в отдельности.

Запишем систему уравнений, описывающих поведение электромагнитных полей, которые называются уравнениями Максвелла [6]:

закон Кулона - (3.13)

закон Фарадея - ; (3.14)

обобщенный закон Ампера - (3.15)

условие отсутствия магнитных зарядов - (3.16)

материальные уравнения –

. (3.17)

Здесь и - электрическая и магнитная индукция, и - напряженности электрического и магнитного полей, - плотности зарядов, создающих электрическое поле, - удельная проводимость, - плотность электрического тока, и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, и - электрическая и магнитная постоянные с размерностями (Фарада / метр) и (Генри / метр), соответственно.

Пусть электромагнитное поле рассматривается в среде, в которой заряды и токи отсутствуют: =0, =0. Считаем, что векторы , , , зависят от времени периодически, и каждый из них записывается в виде

(3.18)

. . . . . .

,

где , , , - комплексные амплитуды, – действительная часть выражения А.

В силу линейности уравнений Максвелла можно опустить знак Re при выполнении всех действий. Получив решение в комплексном виде и выделив в нем реальную часть, мы получим решение в действительном виде. Подставим выражения (3.18) в уравнения (3.13) – (3.16), отбросим индекс ”0 ” в обозначениях амплитуд полей и разделим на Получим

, (3.19)

, .

Для получения уравнений, которым по отдельности удовлетворяют и подействуем операцией на обе части первого из уравнений (3.19) и возьмем из второго уравнения. Получим

= (3.20)

Воспользуемся известной формулой из векторного анализа для любого

= , (3.21)

где - оператор Лапласа. Поскольку при отсутствии зарядов, то из (3.20) и (3.21) имеем уравнение для

(3.22)

где . Аналогичное уравнение получается для .

Уравнение (3.22) называется уравнением Гельмгольца. Таким образом, каждый из компонент векторов электромагнитного поля удовлетворяет уравнению Гельмгольца.