2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
Рассмотрим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
.
(2.5)
.
(2.6)
Если правая часть уравнения (2.5) является оригиналом, то и решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (2.6), также является оригиналом.
На основании теоремы о дифференцировании оригинала построим изображающее уравнение:
(2.7)
…+
,
где
.
Определив из алгебраического уравнения
(2.7) неизвестное изображение
,
найдем соответствующий ему оригинал –
решение исходного дифференциального
уравнения (2.5), удовлетворяющее начальным
условиям (2.6).
Пример 1. Найти решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
.
Решение. Пусть
.
По теореме 6 предыдущего раздела и
таблице изображений получим изображающее
уравнение
Подставляя начальные данные, имеем
Отсюда находим
.
Разложим дробь
на сумму простейших дробей
и получим
систему уравнений для определения
коэффициентов
и
Отсюда находим
,
Таким образом, имеем
.
По
таблице изображений находим решение
уравнения в пространстве оригиналов
Заметим, что для получения оригинала
из таблицы изображений в рассмотренном
примере, мы применяли прием разложения
правильной дроби на сумму простейших
дробей совершенно так же, как это делается
в интегральном исчислении при
интегрировании дробно-рациональных
функций. Рассмотренный пример показывает,
как находить частное решение
дифференциального уравнения,
удовлетворяющее заданным начальным
условиям. Отыскание решения уравнения
(2.5) по его изображению не лишает
возможности находить и общее решение.
Для этого достаточно считать начальные
значения функции
и ее производных в (2.6) произвольными
постоянными.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. По таблице изображений находим
.
Полагая , имеем
где числа
и
играют роль произвольных постоянных.
Изображающее уравнение имеет вид
.
Отсюда
.
Преобразуем первое слагаемое для и найдем по таблице соответствующий ему оригинал
Для второго слагаемого имеем
Для отыскания оригинала последнего слагаемого разложим его на простейшие дроби
.
Система уравнений для определения коэффициентов разложения имеет вид
Откуда находим
,
,
.
Следовательно,
Собирая оригиналы всех слагаемых, находим решение уравнения
.
Положим
,
,
получим
Если требуется проинтегрировать уравнение (2.5) с нулевыми начальными условиями при
,
(2.8)
то удобно поступить следующим образом:
1) решить операционным методом вспомогательное уравнение
(2.9)
с нулевыми
начальными условиями (2.8) для функции
;
2) воспользоваться для получения решения уравнения (2.5) при условиях (2.8) формулой Дюамеля
.
(2.10)
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
,
.
Решение. Составляем вспомогательное уравнение (2.9)
,
.
И решаем его операционным методом:
,
.
Разлагаем
на простейшие дроби
.
Получаем систему уравнений, определяющую коэффициенты разложения
Подставим найденные коэффициенты в выражение и перейдем к оригиналам
,
.
Решение заданного уравнения найдем по
формуле Дюамеля (2.10) с учетом того, что
.
Имеем
,
.
Пример 4. Рассмотрим включение
синусоидальной ЭДС
в контур, состоящий из индуктивности
и сопротивления
(рис.2).
L
Д
r
в цепи отсутствовал. Напряжение в цепи,
вызванное включением ЭДС состоит из
суммы напряжения на индуктивности
и напряжения на сопротивлении
.
Рис.2 Приравняв сумму напряжений в цепи электродвижущей силе получаем дифференциальное уравнение для тока в цепи
,
.
Решение уравнения. Построим уравнение для изображений
.
из которого находим
изображение тока в цепи
.
Для нахождения оригинала
разложим дробно-рациональную функцию
в правой части последнего равенства на
сумму простейших дробей, используя
метод неопределенных коэффициентов.
Имеем,
.
Система уравнений, определяющая числа A, B, C имеет вид
Решая эту систему уравнений, получим коэффициенты разложения
,
,
.
Изображение тока теперь принимает вид
.
Перейдем по таблице изображений к оригиналам. Получим
.