- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
Для решения краевых задач математической физики широко применяется преобразование Фурье. Причина этого заключается в том, что образ Фурье искомой функции часто удовлетворяет более простому уравнению, чем сама искомая функция. При решении краевых задач математической физики преобразование Фурье используется по следующей схеме:
1. Подвергают преобразованию Фурье обе части уравнения, которому удовлетворяет искомая функция; отсюда получают уравнение для ее Фурье-образа;
2. Из этого уравнения находят образ Фурье искомого решения первоначального уравнения;
3. Используя обратное преобразование Фурье находят искомую функцию.
Рассмотрим распределение температуры в неограниченном в обе стороны прямолинейном стержне в произвольный момент времени , если ее распределение в начальный момент времени известно. Стержень считаем теплопроводным от окружающей среды по боковой поверхности и его сечение считаем настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну и ту же температуру.
Задача заключается в нахождении решения уравнения теплопроводности в бесконечной области по известному начальному условию:
, , , (4.1)
, , (4.2)
где – заданная функция, абсолютно интегрируемая на оси .
Решаем эту задачу, применяя преобразование Фурье по переменной x. Обозначим через образ Фурье функции
. (4.3)
Умножим обе части уравнения (4.1) на и проинтегрируем по от до , предполагая, что функция и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю при . Интегрируя левую часть, получим
.(4.4)
Для преобразования правой части уравнения используем интегрирование по частям:
(4.5)
При получении (4.5) учли, что неинтегральные члены обращаются в нуль, в силу ограниченности функции и предполагаемого поведения функции :
.
Приравнивая (4.4) и (4.5) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для образа Фурье искомой функции
. (4.6)
Начальное условие для функции получим из начального условия (4.2), выполнив преобразование Фурье
,
(4.7)
.
Разделяя переменные в уравнении (4.6), получаем
, .
Отсюда
. (4.8)
Определим постоянную С с помощью начального условия (4.7)
.
Подставив это значение С в равенство (4.8), получим для Фурье-образа искомой функции следующее выражение
. (4.9)
Теперь осталось перейти к третьему этапу решения задачи найти саму функцию по найденному ее образу Фурье (4.9). Для этого применим к равенству (4.9) обратное преобразование Фурье, подставив вместо его явное выражение из (4.7). Умножив (4.9) на и интегрируем по, получаем
.(4.10)
Подставим в правую часть выражение для экспоненты с мнимым аргументом по формуле Эйлера
.
Учитывая, что
,
если - четная функция, а также равенство ,
если - нечетная функция, имеем
, .
Последний интеграл является известной и часто встречающейся в теории теплопроводности и теории диффузии функцией. Воспользуемся [7] формулой 861.20, получим
.
Подставив эти результаты в выражении (4.10), получим решение уравнения (4.1) при начальном условии (4.2)
. (4.11)
Полученную формулу называют формулой Пуассона. Функция аргументов и
(4.12)
называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности (4.1). Она удовлетворяет уравнению теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности с начальным условием в виде (4.11) является сверткой фундаментального решения с начальной функцией.
Рассмотрим физический смысл фундаментального решения уравнения теплопроводности. Выделим малый элемент стержня вблизи точки и зададим начальное распределение температуры в виде
Физически это означает, что в начальный момент времени этому элементу стержня передали количества тепла ( - линейная плотность материала, -удельная теплоемкость), которое привело к повышению температуры на этом элементе на величину . В последующие моменты времени распределение температуры в стержне определяется формулой (4.11), которая в данном случае принимает вид
Если распределять то же самое количество тепла Q на все меньшем участке , то в пределе в точке стержню сообщается количества тепла Q. Это означает, что в точке стержня в момент действует мгновенный точечный источник тепла напряжения Q. От действия такого мгновенного точечного источника тепла в стержне получается распределение температур
,
(4.13)
где применим теорему о среднем для определенного интеграла
, .
Предел последнего выражения при , а значит , и приводим к выражению (4.13).
Таким образом, фундаментальное решение (4.12) дает распределение температуры, которое вызывается мгновенным точечным источником тепла напряжения , помещенным в начальный момент времени в точке стержня.
В соответствии с этим можно дать физическое толкование и решению (4.11). Для того, чтобы придать сечению стержня температуру в начальный момент времени, мы должны на малом элементе около этой точки распределить количество тепла , т. е. поместить в точке мгновенный точечный источник тепла напряжения . Распределение температуры, вызываемое этим мгновенным точечным источником будет равно
.
Общее действие от начальной температуры во всех точках стержня складывается от этих элементов, что и приводит к формуле (4.11).