1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье

1.1. Исторические замечания

В аналитической геометрии и в механике для описания свойств линий, поверхностей и механических величин используются векторы – направленные отрезки в трехмерном пространстве. Потребности развития и геометрии, и механики заставляют обращаться к пространствам большей размерности и даже к бесконечномерным пространствам.

Впервые в математике четырехмерное пространство появляется в работе 1827 года “Барицентрическое исчисление” немецкого геометра Августа Фердинанда Мёбиуса (1790-1868 г.). Но саму идею использования времени как четвертого измерения высказал великий французский математик, механик и философ Кан ле Рон Даламбер (1717-1783 г.).

Пространство n измерений впервые отчетливо появились в математике лишь в 1843 г. в работе англичанина Артура Кэли (1821-1895 г.), а год спустя появляется первая монография о многомерной геометрии Германа Грассмана (1809-1877 г.).

Современная математика и физика не мыслима без так называемых функциональных пространств, которые ввел в рассмотрение французский математик Морие Реке Фреше (1878-1973 г.), являвшийся членом Московского математического общества. Но лишь Давид Гильберт (1862-1943 г.) впервые с 1912 года начал рассматривать функции как векторы бесконечномерного линейного пространства, аналогичного по свойствам евклидову пространству.

1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

По Гильберту понятие функции есть обобщение понятия вектора в n-мерном пространстве. Разобьем отрезок на n отрезков длины , как показано на рисунке, и на каждом из них выберем точку . Тогда функции f(x) можно сопоставить n-мерный вектор

x

Рис. 1

где – базисные векторы n-мерного пространства. Вектор представляет собой грубое приближение к f(x). Но чем больше n и чем меньше , тем ближе соответствие между и f (x). Векторы образуют n-мерное пространство, в котором вводится обычное скалярное произведение

При n   размерность пространства растет, а скалярное произведение принимает вид

(1.1)

В общем случае скалярное произведение в таких пространствах определяется формулой

(1.2)

где функцию h(x), называемую весовой функцией или весом, будем считать непрерывной и положительной в интервале .

Введенное по формуле (1.2) скалярное произведение порождает норму функции

(1.3)

и аналогичное выражение с h(x) = 1 для скалярного произведения в форме (1.1).

Система функций

( для любого k) называется ортонормированной на с весом h(x) , если имеет место равенство

(1.4)

где – символ Кронекера. При h(x) = 1 система функций (k = 1,2,….) называется ортонормированной.

Например, функции Бесселя и ортогональны с весом h(x) = x на , если   - корни уравнения , а система функций где – полиномы Лежандра, является ортонормированной на отрезке .

Оказывается, что и производные полиномов Лежандра порядка k =1, 2,…… также ортогональны на , но уже с весом:

, (n  m).

Гильбертово пространство является обобщением евклидова пространства и включает его как частный случай. В общем случае гильбертово пространство бесконечномерно. Его элементы представляют собой определенные на функции, вообще говоря комплекснозначные, и интегрируемые с квадратом.

В гильбертовом пространстве по определению вводится скалярное произведение векторов, через которое выражается длина векторов и углы между ними.

Линейное пространство H (с умножением на вещественные числа) называется (вещественным) гильбертовым пространством, если:

1. указано правило, сопоставляющее каждой паре векторов f и g пространства H вещественное число, называемое скалярным произведением (f, g);

2. это правило удовлетворяет условиям:

   1. – переместительный закон;

   2. – распределительный закон;

   3. для любого вещественного числа ;

   4. при f  0 и при f =0. Нормой (длины) вектора f называется число

(1.5)

Углом между ненулевыми элементами f и g вещественного гильбертова пространства называется угол , заключенный между 0 и такой, что

Пример 1. В n-мерном пространстве , элементами которого являются вещественные числовые комплексы скалярное произведение элементов x и y вводится по формуле

Конечномерное вещественное гильбертово пространство называют обычно евклидовым пространством.

Пример 2. Пространство . Это пространство функций f(x) интегрируемых с квадратом на . Скалярное произведение в пространстве вводится по формуле (1.1), а норма по формуле (1.3) при h(x) = 1.

В пространстве конечной размерности система векторов называется полной, если каждый вектор x этого пространства может быть представлен в виде

( – числа).

Аналогичным способом определяется полнота системы функций в гильбертовом пространстве: система функций   называется полной в пространстве H, если любая функция из H удовлетворяет условию

(1.6)

Ряд в формуле (1.6) называется рядом Фурье, а числа называются коэффициентами Фурье разложения функции f.

Предел в формуле (1.6) в гильбертовом пространстве понимается в том смысле, что

что означает сходимость в среднем.

Если система функций   является ортогональной, то коэффициенты Фурье находятся по формуле

(1.7)

В случае ортонормированной системы функций в пространстве (1.4) формула для коэффициентов Фурье принимают вид

Для полных ортонормированных систем функций в пространстве справедливо равенство Парсеваля

,

из которого следует, что числовой ряд в правой части последнего равенства сходится. Дл ортонормированных (но не полных) систем функций выполняется неравенство Бесселя

.