3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля

Исторические сведения

Из курса общей физики известно, что между покоящимися электрическими зарядами действует сила, прямо пропорциональна произведению величин этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направлена сила по прямой, соединяющей заряды. Этот эмпирически полученный закон получил обоснование в XVIII веке, в работах 1785-1789 годов выдающегося французского военного инженера и ученного Шарля Огюстена Кулона (1736-1806 г). Правда, несколько раньше, в 1773г. английскому ученному Г. Кавендишу удалось экспериментально показать, что взаимодействие электрических зарядов осуществляется по закону “обратных квадратов”. Однако его работы опубликованы не были.

… … …

Закон Кулона взаимодействия электрических зарядов в современных обозначениях в системе единиц СИ записывается в виде

, (3.2)

где - постоянная, зависящая от выбора единиц измерения, называемая электрической постоянной, - расстояние между зарядами.

В системе СИ

,

где м/сек – скорость света в вакууме. Отсюда

ед. СИ.

Для количественной характеристики электрического поля служит векторная физическая величина – напряженность электрического поля. Напряженность электрического поля - это сила, действующая со стороны прочих зарядов на единицу заряда . Из закона Кулона (3.2), разделив обе части равенства на , получаем напряженность электрического поля заряда

. (3.3)

Если зарядов много, то поле в любой точке равно сумме вкладов всех зарядов

,

где - заряд с номером , - расстояние от пробного заряда до заряда .

Рассмотрим поток вектора электрического поля точечного заряда через замкнутую электрическую поверхность , окружающую заряд и имеющую центр в точке нахождения заряда. За положительное направление нормали к поверхности выберем направление внешней нормали, как показано на рисунке 4.

Заряд , окруженный сферой

Рис. 4

Из материала 3-го семестра курса высшей математике известно (см. , гл. 15, §5, §8), что поток векторного поля определяется как интеграл, взятый по поверхности

(3.4)

Здесь – поток поля через поверхность S, - единичная нормаль к поверхности. В нашем случае векторное поле дается выражением (3.3), S – сфера, уравнение которой , , R – зарядный радиус сферы, - внешняя единичная нормаль к сферической поверхности.

Для электрического поля на поверхности сферы радиуса R имеем

.

Поэтому вынося за интеграл постоянную величину выражения для потока поля (3.4) примет вид

.

Интеграл в правой части последнего равенства представляет собой площадь поверхности сферы. Таким образом, получаем

. (3.5)

Полученный результат показывает, что поток вектора электрического поля через сферическую поверхность не зависит от радиуса сферы, окружающей заряд, т. е. один и тот же для любой другой концентрической с ней сферы.

В том случае, когда заряд находится вне сферы поток вектора через ее поверхность будет равен нулю – “втекающий” поток поля равен “вытекающему” потоку. Эти выводы можно записать так:

(3.6)

Преобразуем теперь интеграл в (3.6), взятый по замкнутой поверхности, в интеграл по объему с помощью формулы Остроградского – Гаусса

, (3.7)

где дивергенция вектор – функции в декартовых координатах выражается так

(3.8)

- оператор Гамильтона, V – объем, ограниченный поверхностью S. Правую часть формулы (3.6) также можно представить как интеграл по объему

, (3.9)

где - плотность заряда в объеме V.

Приравнивая правые части выражения (3.7) и (3.9), получим

.

Отсюда получаем, в виду произвольности объема V, одно из уравнений Максвелла

(3.10)

Уравнение (3.10) остается справедливым и в том случае когда заряд распределен в объеме, т.е. когда плотность заряда является функцией координат точки .

Поскольку поле стационарного распределения зарядов является потенциальным, то введем скалярный потенциал

. (3.11)

Тогда левая часть (3.10) принимает вид

.

Представляя этот результат в уравнение (3.10) в случае получим дифференциальное уравнение Пуассона

которое при отсутствии в рассматриваемой области зарядов, переходит в дифференциальное уравнение Лапласа

К уравнениям Пуассона и Лапласа приводит не только рассмотренная задача о потенциале электрического поля. К этим же уравнениям приводят многие другие задачи математической физики.