4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне

Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Стержень считаем однородным и тонким, так, что d<<l , где d – диаметр стержня, l – его длина. Таким образом, сечение стержня считается настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну температуру. Это означает, что , где ось направлена вдоль стержня. Боковая поверхность стержня предполагается изолированной от окружающей среды.

В начальный момент времени задано распределение температуры вдоль стержня, характеризуемое функцией . Указан также тепловой режим, поддерживаемый на концах стержня – считаем температуру на его концах равной нулю. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности

, , (4.14)

при граничных условиях

, (4.15)

и при начальном условии

, (4.16)

где – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям согласования с требованиями (4.15)

Метод разделения переменных, называемый также методом Фурье, заключается в следующем:

1. Ищем частные решения уравнения (4.14) в виде

. (4.17)

2. Подставляя (4.4) в (4.17) получаем уравнение

.

Разделив обе части полученного уравнения на из (4.17), имеем

. (4.18)

Постоянная , называемая постоянной разделения, появилась в (4.18) из следующих соображений: левая часть в (4.18) зависит только от переменной , правая – только от переменной , и эти части должны быть равны при всех значениях и . Поэтому оба отношения в (4.18) равны постоянной. Приравнивая каждое отношение в (4.18) постоянной, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения для функций и :

(4.19)

(4.20)

3. По условию задачи функция должна удовлетворять краевым условиям вида (4.15). Из (4.17) и (4.15) получаем условия для функции

, . (4.19’)

Таким образом, для функции получили задачу: требуется найти неравные тождественно нулю решения краевой задачи

(4.19)

, , (4.19’)

а также числовые значения параметра, при которых существуют ненулевые решения задачи (4.19), (4.19’).

Поставленная задача называется задачей Штурма-Лиувилля. Указанные числовые значения называются собственными значениями (числами) краевой задачи, соответствующие этим ненулевые решения – собственными функциями.

Найдем собственные числа краевой задачи (4.19), (4.19’). Рассмотрим возможности:

Пусть . Тогда общим решением уравнения (4.19) будет являться функция

.

При и , имеем

, ,

Следовательно, , поэтому и начальное условие (4.16) не будет выполняться.

Пусть . Тогда общее решение уравнения (4.19) имеет вид

.

При и , имеем

,

систему двух однородных алгебраических уравнений, определитель которой не равен нулю. Поэтому , . И в этом случае условие (4.16) не удовлетворено.

Рассмотрим случай . В этом случае корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (4.19), равны , т.е. мнимые числа.

Как известно из курса теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (4.19) имеет вид

. (4.21)

При получаем . При имеем

, , , (4.22)

где . Подставляя (4.9) в (4.8), получаем

. (4.23)

Входящие в формулу (4.23) функция и постоянная снабжены индексом, поскольку их значения зависят от .

Формула (4.22) определяет собственные числа, а формула (4.23) – собственные функции краевой задачи, соответствующие этим собственным числам.

4. Подставляя в уравнение (4.20) вместо собственное значение для определения функции , соответствующей данному собственному значению, получаем уравнение

(4.24)

Общее решение уравнения (4.24) имеет вид

, (4.25)

где - произвольные постоянные.

Итак, все функции

(4.26)

удовлетворяют уравнению теплопроводности (4.14) и граничным условиям (4.15) при любых значениях и любых постоянных . Но начальному условию (4.16) функции (4.26) в общем случае не удовлетворяют.

5. Требуем, чтобы решение удовлетворяло начальному условию (4.16). Для этого, учитывая (4.26), составим ряд

. (4.27)

Каждый член этого ряда удовлетворяет уравнению (4.14) и краевым условиям (4.15).

Предположим, что функция разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье. В силу начального условия, полагая в (4.27) , получаем

. (4.28)

Написанный ряд представляет собою разложение функции в ряд Фурье по синусам в промежутке (0,l). Коэффициент по формуле

. (4.29)

Так как предположили, что непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при и , то ряд (4.28) с коэффициентами (4.29), равномерно и абсолютно сходиться к (это известно из теории тригонометрических рядов).

Поскольку при справедливы неравенства

,

то ряд (4.27) при также сходиться абсолютно и равномерно. Поэтому функция (4.27) непрерывна при , и удовлетворяет начальному и граничному условиям.

Можно показать (мы не останавливаемся на этом), что функция удовлетворяет уравнению (4.14) и имеет непрерывные производные по и первого и второго порядков соответственно.