7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости

В отличии от рядов, сходящихся поточечно, равномерно сходящиеся ряды обладают свойством коммутативности суммирования и предельного перехода: . Таким образом, коллективное свойство членов ряда – равномерная сходимость, приводит к качественно новым свойствам его суммы.

Наиболее важными свойствами равномерно сходящихся рядов являются следующие.

1. Сумма конечного числа равномерно сходящихся рядов является равномерно сходящимся рядом.

2. Умножение всех членов равномерно сходящегося ряда на одну и ту же ограниченную функцию (в частности, на постоянную) не нарушает равномерной сходимости.

3. Если все члены функционального ряда непрерывны на и ряд сходится равномерно на , то его сумма также непрерывна на .

4. Если функциональный ряд, члены которого непрерывны на сходится равномерно на этом отрезке и - его сумма, то имеет место равенство

при любых и из

5. Если функциональный ряд сходится на , его члены являются непрерывно дифференцируемыми на , а ряд производных сходится равномерно на , то сумма ряда дифференцируема на и справедливо равенство

.

Для установления на практике равномерной сходимости конкретных рядов затруднительно использовать определение равномерной сходимости. С этой целью пользуются более удобными в применении достаточными признаками.

Мажорантный признак Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (7.1) удовлетворяют на неравенствам , , где - члены сходящегося числового ряда, (называемого мажорирующим рядом), то ряд (7.1) сходится равномерно на .

Пример. Рассмотрим ряд при .

Ряд сходится равномерно на всей оси, так как для него существует мажорирующий сходящийся числовой ряд , поскольку справедливо неравенство .

Пример. Дан ряд . Известна его сумма Показать, что данный ряд можно дифференцировать почленно и найти сумму ряда , составленного из производных исходного ряда.

Решение. Вычислим производную общего члена ряда: . Полученный ряд сходится равномерно, так как справедлива оценка , а мажорирующий числовой ряд сходится. Поэтому

7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(7.4)

где коэффициенты - постоянные числа.

Если сделать замену на , то степенной ряд примет вид

. (7.5)

Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением рядов вида (7.5).

В отличии от области сходимости произвольного функционального ряда, которая может оказаться множеством сколь угодно сложной структуры, область сходимости ряда (7.5) всегда является отрезком оси , который может быть сегментом, полусегментом или интервалом, может вырождаться в одну точку или совпадать со всей осью . Очевидно, что всякий степенной ряд вида (7.5) сходится при .Существуют степенные ряды, сходящиеся только в точке .

Пример. Ряд вида сходится при и расходится при любом . Действительно, при по признаку Даламбера имеем

Следовательно, при ряд расходится. С другой стороны, степенной ряд для показательной функции

сходится при всех , т.е. его область сходимости – вся ось. Этот факт легко проверить, применяя признак Даламбера, как в предыдущем примере. Характер сходимости степенного ряда описывается следующей основной теоремой.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (7.5) сходится при некотором значении , то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях , для которых . Сходимость ряда будет равномерной во всяком интервале , где - любое положительное число, меньше, чем .

Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится и во всех точках таких, что .

Из этой теоремы вытекает, что если область сходимости степенного ряда не вырождается в точку и не совпадает со всей осью, то существует число такое, что при ряд сходится, а при - расходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда, интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда вида (7.5) используется одна из следующих формул:

(7.6)

Для нахождения области сходимости степенного ряда нужно найти радиус его сходимости и затем проверить сходимость ряда при .

Пример. Найти область сходимости ряда

Решение. Воспользуемся первой из формул (7.6), имеем

Это означает, что ряд сходится при всех значениях из .

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости ряда по формуле (6.6)

Следовательно, интервалом сходимости ряда является (-1,1). Определим, сходится ли ряд на концах интервала. При имеем гармонический ряд , который, как известно, расходится. При получаем знакочередующийся ряд . Применим признак Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.

Вычислим

Проверим условие монотонного убывания членов ряда:

.

Таким образом, ряд сходится при Область его сходимости .