Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье

Разделяем переменные в уравнении (5.93), полагая

. (5.95)

Подставим (5.95) в уравнение (5.93), разделим обе части полученного уравнения на получим

,

где - постоянная разделения. Приравнивая левую и правую части полученного соотношения введенной постоянной, имеем два дифференциальных уравнения для угловой и радиальной частей:

, (5.96)

(5.97)

Общее решение уравнения (5.96) при (т.е. при действительном ) имеет вид

,

где , – произвольные постоянные. Для однозначности этого решения требуется, чтобы было целым числом . Поэтому

, (5.98)

где произвольные постоянные переобозначены, поскольку, вообще говоря, они зависят от . Преобразуем уравнение (5.97) для радиальной функции, введя вместо новое независимое переменное .

Учитывая формулы дифференцирования

,

уравнение (5.97) запишется в виде

. (5.99)

Уравнение (5.99) является уравнением Бесселя, общим решением которого является суперпозиция цилиндрических функций - го порядка первого и второго рода

где , - функция Бесселя, - функция Вебера.

Как известно, функция при принимает бесконечное значение. Так как при электромагнитное поле в волноводе должно быть конечным, необходимо потребовать . Функция конечна при любом аргументе. Поэтому

. (5.100)

Таким образом, решением уравнения (5.93) является функция

. (5.101)

Для того чтобы функция (5.101) удовлетворяла условию на границе (5.94), положим . Отсюда имеем

(5.102)

т.е. - нули функции Бесселя порядка . Известно, что функции Бесселя для любого n имеют бесконечное число корней. Обозначим их ( Тогда из условия (5.102) получаем

. (5.103)

Таким образом

(5.104)

Используя (5.104), а также (3.13) и (3.17) п. 3.3 можно получить решение задачи.

Из выражения для в формуле (5.100) и формулы (5.103) следует, что частота волны , распространяющейся в волноводе и ее волновой вектор не могут быть произвольными, а связаны зависимостью

.

5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход

Описание состояния электрона в поле с центральной симметрией имеет практический интерес для теории спектра атомов с одним валентным электроном, в том числе, для теории спектра атома водорода. Теория, основанная на уравнении Шредингера в общих чертах, дает верную картину спектров таких атомов. Волновое уравнение Шредингера, как известно из физики, для заряженной частицы в поле с потенциальной энергией имеет вид

(5.105)

где - мнимая единица, Дж^.с, - постоянная Планка, - волновая функция, описывающая состояние частицы, - вероятность пребывания частицы внутри объема , окружающего точку , в момент времени , - оператор полной энергии частицы (гамильтониан).

(5.106)

Здесь масса электрона кг, - оператор Лапласа, а первый член в (5.106) является оператором кинетической энергии частицы.

Волновая функция удовлетворяет условию нормировки

Последнее условие означает, что вероятность частице находиться во всем пространстве равна единице.

Если силы, действующие на электрон в атоме, не зависят от времени , то возможны стационарные состояния электрона с определенной энергией . Разыскиваем решения уравнения Шредингера (5.105) в виде

(5.107)

Подставив (5.107) в (5.105), учитывая выражение (5.106), разделив на экспоненциальный множитель, получим

. (5.108)

Уравнение (5.108) называется стационарным уравнением Шредингера. Если потенциальная функция является функцией только от где - расстояние до ядра, помещенного в начало координат, то решение уравнения (5.108) в сферической системе координат можно получить в виде произведения

(5.109)

Это означает возможность разделения переменных в уравнении (5.108). Для кулоновского поля, где Кл, и уравнение (5.108) принимает вид

(5.110)

Перейдем к сферической системе координат, воспользовавшись выражением оператора Лапласа, приведенным в п. 5.1.

Обозначим угловую часть оператора Лапласа следующим образом

Подставим в уравнение (5.110) выражение (5.109) и разделим обе части уравнения на Имеем

где - постоянная разделения. Отсюда получаем уравнение для и

(5.111)

(5.112)

Для уравнения (5.111), как и для уравнения Лапласа, разыскивая решения в виде и повторяя аналогичные рассуждения, получим решения (5.111) в виде где функции и определяются формулами:

, , ,

.

Радиальная часть волновой функции электрона в кулоновском поле существенно отличается от радиальной части в уравнении Лапласа. Преобразуем уравнение (5.112) переходя к безразмерной функции безразмерной радиальной координате и безразмерной энергии ( м. – Боровский радиус, - атомная единица энергии). В новых переменных уравнение (5.112) принимает вид

(5.113)

где индексы у букв отброшены, штрих означает производную по .

Упражнение. Получить уравнение (5.113), выполнив указанную замену переменных.

Введем теперь вместо новый параметр и вместо новую независимую переменную

(5.114)

Поскольку электрон находится в потенциальной яме, созданной полем притяжения ядра атома, то . Поэтому - действительное число, - действительная переменная. Перейдем в уравнении (5.113) к переменной (5.114). Используя формулы для производных , получим

, (5.115)

где штрихи обозначают дифференцирование по . При уравнение (5.115) принимает вид , решениями которого являются функции . Исчезающее при решение содержит в показателе знак минус.

Для преобразования уравнения (5.115) к удобному виду сделаем подстановку

. (5.116)

В результате уравнение для новой функции становится уравнением гипергеометрического типа

. (5.117)

Решение этого уравнения, конечное при , есть вырожденная гипергеометрическая функция

(5.118)

представляемая гипергеометрическим рядом. При решение должно возрастать не быстрее конечной степени для того, чтобы было конечным в соответствии с формулой (5.116). Следовательно, гипергеометрическая функция (5.118) должна быть полиномом. Это накладывает следующее условие должно быть целым отрицательным числом или числом, равным нулю. В этом случае функция (5.118) сводится к полиному степени ( ).

Таким образом приходим к выводу, что число должно быть целым положительным, причем при данном должно быть . В квантовой механике число называется главным квантовым числом. Энергия электрона в атоме в соответствии с формулой (5.114) дается выражением

,

которое называется формулой для бальмеровых уровней энергии. При переходе электрона из состояния в состояние , атом излучает фотон с частотой . Таким образом движение электрона в атоме водорода описывается волновой функцией

Задачи для самостоятельного решения

Для решения нижеследующих задач в качестве пособий можно использовать книгу [1], гл. 18, книгу [2] и пособие для решения [3].

1. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге и в кольце ( - полярный угол)

2. Найти функцию , удовлетворяющую внутри круга уравнению Гельмгольца, а на границе заданному условию

3. Получить уравнение (4.117) из уравнения (4.115), вводя новую неизвестную функцию по формуле (4.116).

4. Показать, что в сферических координатах разделение переменных в уравнении Шредингера возможно, если потенциал имеет вид , где , - постоянная.