4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера

Исторические сведения

Д'Аламбер Жан Лерон (1717-1783 г.г.) – французский математик, механик и философ, член Петербургской Академии наук с 1764 года. Работал вместе с Д.Дидро над созданием знаменитой ”Энциклопедии наук искусств и ремесел”. Он впервые высказал идею о времени как о четвертом измерении. Благодаря работам Д' Аламбера, Л.Эйлера, Д.Бернулли были заложены основы математической физики. Д' Аламбер был избран в чл. Французской Академии ”Сорока Бессмертных”.

… … …

Рассматривая решения обыкновенных дифференциальных уравнений во втором семестре курса высшей математики, мы видели, что общее решение содержало произвольные постоянные. Например, общее решение дифференциального уравнения

имеет вид

,

где , произвольные константы, которые могут принимать любые значения из интервала (-∞, + ∞) или даже комплексные значения.

В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение дифференциального уравнения с частными производными, как увидим ниже, содержит уже не произвольные постоянные, а произвольную функцию.

Рассмотрим решение одномерного волнового уравнения, описывающего свободные колебания однородной струны

, , (4.30)

где – сила натяжения, действующая на струну, – постоянная линейная плотность струны, – постоянная с размерностью скорости, .

Запишем уравнение (4.30) в виде

(4.31)

и введем новую функцию

. (4.32)

Уравнения (4.31) и (4.32) образуют систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, эквивалентную уравнению (4.30):

(4.33)

Первое из этих уравнений является неоднородным дифференциальным уравнением. Второе уравнение, получаемое из уравнения (4.31) с помощью замены (4.32), является однородным уравнением (”без правой части ”). Для решения системы уравнений (4.33) нужно решить сначала второе уравнение, а затем – первое, подставив в правую часть найденную функцию .

Разыскиваем решение второго уравнения системы (4.33) в виде , где – произвольная функция, имеющая производную по аргументу . Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

где штрих означает производную по аргументу. Подставляя полученные выражения для частных производных во второе уравнение системы (4.33), убеждаемся, что функция является его решением

.

Таким образом, доказано, что произвольная дифференцируемая функция является решением этого уравнения.

Для решения первого уравнения системы (4.33) удобно вместо функции ввести другую функцию с помощью соотношения

. (4.34)

В соответствии с этой заменой первое уравнение системы (4.33) запишется в виде

. (4.35)

Преобразуем теперь уравнение (4.35) так, чтобы оно стало однородным дифференциальным уравнением для новой неизвестной функции, введенной вместо функции . Для этого заметим, что производные функции по временной и пространственной переменным имеют вид:

Поэтому уравнение (4.35) можно записать в виде

или, объединяя члены с производными по одинаковым переменным,

(4.36)

Здесь новая неизвестная функция выражается через старую и введенную соотношением (4.34) функцию следующим образом

. (4.37)

Уравнение (4.36) имеет такой же вид, как и второе уравнение системы (4.33), но с заменой постоянной на (- ). Поэтому его решением является произвольная дифференцируемая функция .

Теперь из соотношения (4.37) можно получить общее решение первого уравнения системы (4.33)

, (4.38)

где и – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Поскольку первое уравнение системы (4.33) является уравнением (4.31), равносильным уравнению (4.30), то заключаем, что формула (4.38) дает общее решение волнового уравнения в одномерном случае.

Формула (4.38) называется решением Даламбера одномерного волнового уравнения. Она была получена Даламбером в 1747 году.^*

Физический смысл решения Даламбера

Рассмотрим сначала решения уравнения вида . Пусть наблюдатель выходит в начальный момент из точки и передвигается в положительном направлении оси ОХ со скоростью . Пройденный наблюдателем путь за время t равен или . Для этого наблюдателя смещение струны – постоянно. Все время своего движения наблюдатель видит одно и то же смещение струны. Таким образом, функция описывает распространение смещения струны вдоль положительного направления оси ОХ. Это решение называется прямой волной, называется фазой прямой волны.

Аналогично, функция называется обратной волной, – фазой обратной волны. Эта функция описывает распространение смещения струны в отрицательном направлении оси ОХ со скоростью .

Таким образом, сумма прямой и обратной волн представляет собой общее решение однородного волнового уравнения в одномерном случае. В этом и заключается физическое содержание решения Даламбера (4.38).

Отсюда вытекает следующий графический способ построения формы струны в любой момент времени:

Строим кривые и при ;

1. Не меняя формы этих линий передвигаем их со скоростью в разные стороны — вправо, влево;

2. Для получения графика формы струны в момент времени t строим алгебраические суммы раздвинутых кривых в данный момент времени.