5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах

5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона

Исторические сведения

Лаплас Пьер Симон 1749-1827 - французский математик, физик и астроном, почетный член Петербургской АН с 1802 г. Известен фундаментальными результатами в математике, экспериментальной и математической физике, небесной механике. Подробно изучил дифференциальное уравнение, названное его именем. В астрономии изучал кольца Сатурна, разработал теорию движения спутников Юпитера.

Пуассон Симеон Дени (1781-1840 г.г.) – французский механик, физик и математик, член Парижской АН с 1812 г., почетный член Петербургской АН с 1826 г. Ученик П.С. Лапласа и Ж.П. Лагранжа. Он написал более 300 работ, сыгравших большую роль в современной науке. Занимался лунной и планетарной теорией, теорией потенциала гравитационного притяжения, электростатикой и магнитостатикой, теорией упругости и гидромеханикой. Большой вклад Пуассон внес в теорию уравнений с четными производными и теорию вероятностей. Это один из самых замечательных ученых 19 века.

… … …

Оператор Лапласа в декартовых координатах

Дифференциальные уравнения в частных производных Лапласа и Пуассона лежат в основе многих математических моделей гидро- и газодинамики, электро- и радиотехники, квантовой механики и других отраслей науки и техники. Оба упомянутых уравнения содержат так называемый оператор Лапласа.

Оператор Лапласа – это скалярный дифференциальный оператор второго порядка, связанный с оператором Гамильтона равенством: ∆ .

В декартовых координатах эти операторы имеют вид

,

∆ , (5.1)

где - единичные векторы вдоль осей OX, OY, OZ.

Оператор Лапласа в сферических координатах

Если точка задана, то ее декартовы координаты связаны со сферическими координатами ( ) (см. рис. 9) соотношениями:

, , ,

.

В сферических координатах оператор Лапласа действует на функцию так

(5.2)

0

y

z

M

0

y

z

M

x

Рис. 9

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами (рис. 10) формулами:

, , ,

.

В цилиндрических координатах лапласиан функции имеет вид

∆ . (5.3)

0

y

z

M

x

Рис. 10

Уравнения Лапласа и Пуассона. Граничные задачи

К уравнениям Лапласа и Пуассона приводят многочисленные задачи теории теплопроводности, электростатики, гидродинамики, теории гравитационного притяжения.

Дифференциальное уравнение в частных производных вида

, (5.4)

где оператор определяется выражениями (5.1) - (5.3), – неизвестная функция называется уравнением Лапласа.

Неоднородное уравнение

, (5.5)

где – неизвестная, а – заданная функция называют уравнением Пуассона.

Уравнения в частных производных, как и обычные дифференциальные уравнения, имеют бесконечное множество решений. Но в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений эта множественность связана не только с наличием “произвольных постоянных” в общем решении, а и с множественностью самих функций. Поэтому общее решение уравнений в частных производных не представляет интереса.

Например, уравнение колебаний струны

,

неизвестная функция, – заданная постоянная, имеющая размерность скорости, имеет общее решение вида

,

где и любые дважды дифференцируемые функции.

Для выделения единственного решения уравнений (4.4) и (4.5) необходимо добавить краевые, т.е. граничные, условия. Таким образом ставиться следующая математическая задача: найти функцию (удовлетворяющую уравнению Лапласа или Пуассона) во всех внутренних точках области , а на границе Г области одному из следующих условий (здесь – обозначает совокупность независимых переменных в выбранной системе координат):

1. Первая граничная задача (задача Дирихле)

, ,

где - заданная на границе Г области V функция;

2. Вторая граничная задача (задача Неймана)

, ,

где - производная функции по направлению внешней нормали к поверхности Г, взятая в точках этой поверхности, - заданная на Г функция;

3. Третья граничная задача (смешанная граничная задача)

, ,

где и - заданные на поверхности Г функции.

Предполагается, что функции и непрерывны на поверхности Г, ограничивающей область .

С постановкой краевых задач для уравнения Лапласа и получением выражений для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат можно ознакомиться по учебнику [3] , гл. 18.