4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера

Исторические сведения

Коши Огюстен Луи (1789-1857 г.) – французский математик, член Парижской АН с 1816 г. и Петербургской АН с 1831 г. Написал и опубликовал более 800 научных работ по математическому анализу, дифференциальным уравнениям, математической физике и небесной механике.

Леонард Эйлер (1707-1788 г) математик, физик и астроном. Родился в Швейцарии, ученик Иогана Бернулли. В 1726 г по приглашению Петербургской А Н. Переехал в Россию. В 1740 г переехал в Берлин, а в 1776 г вернулся в Россию. Помимо крупнейших научных работ в области математики Эйлер занимался вопросами баллистики артиллерийских снарядов и аэростатов. Трудно найти область математики в которую Эйлер не внес значительный вклад.

… … …

Задача Коши, называемая также начальной задачей, для одномерного волнового уравнения

(4.39)

ставится так: найти решение уравнения (4.39), имеющее непрерывные частные производные второго порядка по x и t, удовлетворяющее начальным условиям

(4.40)

(т. е. задана форма струны в начальный момент времени),

. (4.41)

Для решения задачи (4.39)-(4.41) исходим из общего решения волнового уравнения – решения Даламбера (см. предыдущий параграф)

(4.42)

Положим в (4.42) t = 0, получим

Найдем производную по t от выражения (4.42) и положим

Собирая вместе это и предыдущее выражения, получим систему уравнений

(4.43)

Умножим первое уравнение системы (4.43) на a, продифференцируем его по x и сложим со вторым уравнением, а затем вычтем из него второе уравнение. Получим

(4.44)

Интегрируем теперь оба уравнения по отрезку , получим

(4.45)

где и – постоянные интегрирования.

Сложим равенства (4.45) и учтем, что полученная сумма должна быть равна в соответствии с первым уравнением в системе (4.43). Получаем

.

Следовательно . Поскольку в формуле (4.42) аргументы функций равны , то заметим в первом равенстве системы (4.45) x на x+at, а во втором – x на x-at. Сложим эти выражения

(4.46)

Формула (4.46) дает решение задачи коши для волнового уравнения. Она была получена Эйлером в 1748 г и носит название формулы Даламбера. Но Даламбер считал ее незаконной.

4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье

Рассмотрим движение струны, т.е. гибкой материальной нити с линейной плотностью , с закрепленными концами при и . Считаем, что натяжение струны постоянно. Обозначив отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени через .

Тогда уравнение малых свободных колебаний струны, как было показано выше, имеет вид

(4.47)

где – постоянная, имеющая размерность скорости.

Разыскиваем решение следующей задачи: при , найти функцию , являющуюся решением уравнения (4.47), удовлетворяющую граничным условиям

(4.48)

и начальным условиям

(4.49)

где функции и удовлетворяют определенным условиям гладкости, по крайней мере одна из них отлична от нуля, . Из последнего требования следует, что тривиальное решение не удовлетворяет условиям (4.49).

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (4.47) в виде

(4.50)

Подстановка (4.50) в (4.47) приводит к соотношению

(4.51)

где – постоянная разделения. Такой вид постоянной вытекает из анализа задачи Штурма -Лиувилля, в случае уравнения теплопроводности. В рассматриваемом здесь случае краевая задача для функции (смотри ниже) совпадает с рассмотренной в п.3.2, а значит собственные значения краевых задач должны быть одинаковыми.

Далее, из вида решения (4.50) и краевых условий (4.48) следует . Из соотношения (4.51) получаем дифференциальное уравнение для временной части

(4.52)

и задачу Штурма - Лиувилля для функции

. (4.53)

Общее решение уравнения (4.53) имеет вид

. (4.54)

Из граничных условий имеем

.

Последнее равенство позволяет найти собственные числа задачи

. (4.55)

Этим собственным числом соответствуют собственные функции

, (4.56)

где – произвольные постоянные. При каждом решением уравнением (4.52) будет функция

(4.57)

Таким образом, произведение функций (4.56) и (4.57), в соответствии с (4.50), является решением уравнения (4.47), удовлетворяющим граничным условиям (4.48). Получим счетное число решений уравнения (4.47), удовлетворяющих условиям (4.48). В силу линейности уравнения (4.47) сумма этих решений, т.е. формально записанный ряд

(4.58)

при условии возможности его двукратного дифференцирования по и , также будет решением уравнения (4.1), удовлетворяющим условиям (4.2). Для того, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям (4.2), потребуем

(4.59)

. (4.60)

Из (4.59) и (4.60) следует, что числа и должны быть коэффициентами Фурье соответственно функций и по ортогональной на отрезке системе функций .

Следовательно, имеем

(4.61)

где . Таким образом, функция (4.58) с коэффициентами ряда в форме (4.61) дает решение поставленной задачи о свободных колебаниях закрепленной на концах струны.

С более детальным изложением этого вопроса можно ознакомиться по учебнику [3], гл. 9, §2.

Задачи для самостоятельного решения

Для решения нижеследующих задач в качестве пособий можно использовать книгу [1], гл. 18, книгу [2] и пособие для решения [3].

1. Решить задачу Штурма - Лиувилля на указанном отрезке

3) 4)

2. Найти решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее условиям

Дать физическое истолкование задачи.

3. Найти решение волнового уравнения, удовлетворяющего условиям

1)

2)

4. Определить температуру однородного стержня длины м, теплоизолированного от внешнего пространства, если начальная температура стержня , а его концы поддерживаются при нулевой температуре.

5. Найти закон колебаний струны длиной м, если в начальный момент времени струне придана форма , а затем струна отпущена без начальной скорости. Внешние силы отсутствуют, а концы струны закреплены.

6. Найти закон колебаний струны длиной м, если в начальный момент всем точкам струны сообщена скорость , где – постоянная, фигурирующая в уравнении. Струна закреплена на концах, начальное отклонение и внешние силы отсутствуют.