7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений

7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость

Функциональными рядами называются такие ряды, членами которых являются функции.

Разложение функций в ряды, членами которых являются функции более простые, чем исходные, используется при вычислении значений функций и при их исследовании, при интегрировании функций и при решении дифференциальных уравнений. Однако, при проведении операций с функциональными рядами, таких как дифференцирование или интегрирование, сходимости ряда в обычном смысле (поточечной) недостаточно. Поэтому в математике вводят и другие виды сходимости ряда.

Пусть дан функциональный ряд

, (7.1)

где все функции заданы, например, на сегменте [a, b]. Определение. Функции

называются частичными суммами функционального ряда (7.1). Последовательность функций …, называется последовательностью частичных сумм функционального ряда.

Введем понятие предела последовательности функций.

Определение. Последовательность функций называется сходящейся к функции на сегменте , если при каждом фиксированном из последовательность чисел сходится к числу , т.е. если для любого и каждого найдется такое число , зависящее от и, вообще говоря, от , что будет

Такую сходимость последовательности функций называют '' поточечной '' сходимостью – для каждой точки зависит от . Этот факт обозначают на , или .

Определение. Последовательность функций называется равномерно сходящейся к функции на сегменте , если для любого найдется такое число , зависящее от и не зависящее от , что отклонение от удовлетворяет неравенству при каждом и сразу для всех из . Равномерная сходимость последовательности к функции обозначается символом на . Приведенный рис.12 иллюстрирует равномерную сходимость последовательности к предельной функции : графики всех функций при лежат в “ полоске”, окружающей график функции .

Пример. Последовательность функций с общим членом .

Решение. Действительно, сразу для всех , , если только .

Пример. Последовательность функций сходится на сегменте к функции : при , при . Эта сходимость будет неравномерной. Действительно, пусть Тогда выполняется только для Но при Следовательно, при нет такого конечного числа , не зависящего от , чтобы выполнялось при каждом сразу для всех из .

Но если сегмент заменить меньшим , где , то на этом сегменте . Действительно, при , поэтому при сразу для всех из .

Определение. Функциональный ряд (6.1.) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм

(7.2)

Предел последовательности частичных сумм

(7.3)

называют суммой ряда (7.1). Если функциональный ряд сходится и его сумма равна то пишут

Если функции определены в некоторой области действительной оси Д, функциональные ряды (7.1) называются сходящимися в области Д, если он сходится в каждой точке этой области.

Определение. Функциональные ряды (7.1) называются абсолютно сходящимися в точке (в области Д), если сходится в этой точке (в каждой точке области Д) ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (7.1.), т.е. сходится

Область абсолютной сходимости ряда (7.1) можно найти используя признаки Даламбера или Коши. Действительно, определяя предел (если он существует)

или предел

из неравенств или определяем область абсолютной сходимости ряда (7.1)

Пример. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Используя признак Коши, получим

Отсюда находим или , При общий член ряда не стремится к нулю при . Поэтому эти значения не входят в область сходимости.

Определение. Функциональный ряд (7.1) называется равномерно сходящимся к своей сумме на сегменте , если последовательность частичных сумм сходится равномерно на к его сумме , т.е., если для всякого найдется такое , что отклонение от будет удовлетворять неравенству

для каждого сразу при всех из .

Если функциональный ряд (7.1) сходится в области Д, то его сумма будет некоторой функцией . Возникает естественный вопрос о связи свойств членов ряда со свойствами его суммы. Оказывается, что если все члены функционального ряда являются непрерывными функциями в области Д, то сумма может быть разрывной функцией.

Пример. Рассмотрим ряд при . Члены ряда являются непрерывными функциями при из . Вычислим частичную сумму, а затем и сумму ряда. Имеем:

Следовательно, сумма ряда является разрывной функцией в точке .