3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
Среда, в которой рассматриваются процессы
теплопередачи, характеризуется локальной
плотностью
коэффициентом теплопроводности
и калорическим уравнением состояния
(3.23)
где функция (3.23) определяет зависимость
внутренней энергии
от абсолютной температуры
и внешних параметров
(объем среды, напряженность внешнего
силового поля и т.д.). С помощью калорического
уравнения состояния можно найти
термодинамические величины, измеряющиеся
в энергетических единицах. Например,
теплоемкости при постоянном объеме или
постоянном давлении
Если материал обладает тепловыми свойствами, меняющимися от точки к точке, то уравнение состояния (3.23) будет включать зависимость от координат точки среды
Рассмотрим тепловой баланс в бесконечно
малом параллелепипеде, окружающем точку
среды
Количество тепла, заключенное в этом объеме в момент времени t будет равно
(3.24)
где
- фиксированная точка
,
внешние параметры
явно не указываем,
-
внутренняя энергия в единице массы.
Изменение этого количества тепла за
время
за счет вытекания или втекания тепла
через границу выделенного объема
вычисляется как разность
где
использована формула конечных приращений
(теорема Лагранжа),
-
заключено между
и
.
При малых
можно считать приближенно
.
Поэтому
(3.25)
Уравнение теплопроводности
По закону теплопроводности Ньютона,
установленному опытным путем, количество
тепла, протекающего через площадку
за время
пропорционально падению температуры
(тепло течет из области высоких температур
в область более низких температур),
т.е. записывается в виде
где
- коэффициент теплопроводности
(размерности
),
-
площадь, перпендикулярная тепловому
потоку,
-
производная температуры по нормали к
площадке. Вычислим потоки тепла через
площадки
ограничивающие выделенный параллелепипед.
Количества тепла, втекающего в объем
через площадки
равны
где знак плюс соответствует площадке
.
Общее количество тепла, вошедшее в объем через эти площадки
(3.26)
где при переходе к производной использована
формула конечных приращений. Аналогично,
количества тепла, которое за время
перетечет в выделенный объем через
площадки
и
равно, соответственно, величинам
(3.27)
Суммируя все притоки тепла (3.26), (3.27),
приравняв их сумму изменению внутренней
энергии (3.25) и разделив обе части
полученного равенства на
,
приходим к равенству
(3.28)
Уравнение (3.28) обычно преобразуют, вводя теплоемкость (единицы объема) материала
(3.29)
Используя правило дифференцирования сложной функции
и учитывая (3.29) получим стандартный вид уравнения теплопроводности
.
(3.30)
Если материал является однородным и
теплопроводность
так же теплоемкость материала не зависят
от
(т.е.
и
- постоянны), то уравнение (3.30) принимает
вид
(3.31)
где
коэффициент
называют коэффициентом температуропроводности,
.
Этот коэффициент характеризует
теплоинерционные свойства тела и
является мерой скорости выравнивания
температурного поля в среде. Уравнение
(3.30) или (3.31) называется дифференциальным
уравнением теплопроводности или
уравнением Фурье.
В тех случаях, когда рассматривается
пластинка малой толщины, в уравнении
теплопроводности останется зависимость
лишь от двух пространственных координат,
поскольку
Уравнение принимает вид
(3.32)
Для стержня малого сечения с теплоизолированной боковой поверхностью температура точек стержня будет зависеть только от одной пространственной координаты В этом случае уравнение Фурье принимает наиболее простой вид
. (3.33)
Чтобы найти температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно только дифференциального уравнения. Необходимо знать распределение температуры в начальный момент времени – начальное условие –
(3.34)
и тепловой режим на границе тела – граничное условие. Граничное условие может быть задано разными способами, исходя из физического содержания задачи.
В каждой точке поверхности задается температура
(3.35)
где
- известная функция, заданная на
.
На поверхности задается тепловой поток
(3.36)
где
- заданная на поверхности тела
функция,
- производная по нормали к поверхности,
взятая в точках поверхности
тела.
На поверхности тела происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой
известна. Известен также коэффициент
теплообмена
.
Тогда функция
на
должна удовлетворять условию
.
(3.37)
Таким образом задача о распространении тепла ставится следующим образом: найти решение уравнения теплопроводности (3.31), удовлетворяющее начальному условию (3.34), и одному из краевых условий (3.35), (3.36) или (3.37). Подробнее об этом можно прочитать в [1], гл. 18.
Уравнение теплопроводности и МГД – генератор
Магнитогидродинамический (МГД) генератор - это устройство непосредственно преобразующее тепловую энергию в электрическую.
Принцип работы МГД – генератора основан на издавна известном факте: если проводник при движении пересекает силовые линии магнитного поля, то между его концами возникает электродвижущая сила. Но роль проводника здесь играет горячий электропроводящий газ. Поскольку никаких движущихся механических частей в такой машине нет, то и трение отсутствует. А это означает выигрыш в коэффициенте полезного действия.
При описании МГД – генератора исходят из уравнений магнитной гидродинамики, в число которых входят и уравнения для электромагнитного поля.
В простейшем случае зависимости полей от одной пространственной координаты x и времени, уравнения для поля имеют вид
где E и H – напряженности электрического и магнитного полей, - электропроводность среды.
Подставляя второе уравнение в первое получим уравнение для магнитного поля
по форме совпадающее с уравнением теплопроводности для случая зависимости коэффициента температуропроводности от координат или даже от искомой функции.
В полученном уравнении напряженность
магнитного поля H
играет роль, аналогичную роли температуры
в уравнении теплопроводности. Для
электрического поля остается аналогия
с потоком тепла
.
Таким образом, уравнение теплопроводности обладает универсальным свойством – оно моделирует не только тепловые процессы в веществе, но также и диффузию частиц газа или вещества и определяет конфигурацию магнитного поля в МГД – генераторе.