5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре

Рассмотрим радиальное распространение тепла в бесконечном круговом цилиндре радиуса , боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре, равной нулю.

Уравнение распространения тепла, как известно, записывается в виде

, (5.73)

где температура зависит от времени и пространственных координат, постоянная - коэффициент температуропроводности, размерность которого (литр) /час, - коэффициент теплопроводности Вт/(м·град), - плотность материала кг/м , - удельная теплоемкость Дж/(кг·град). Уравнение (5.73) называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье.

Из физической постановки задачи следует, что температура не должна зависеть ни от координаты (вдоль оси цилиндра), ни от полярного угла . Поэтому в выражении оператора Лапласа в цилиндрических координатах отсутствуют производные по и по .

Поставленная таким образом задача описывается дифференциальным уравнением

, (5.74)

граничным условием на поверхности цилиндра

(5.75)

и начальным условием (распределением температуры в момент )

, (5.76)

где - заданная функция от .

Частные решения задачи (5.75) - (5.76) разыскиваем, согласно методу Фурье, в виде

. (5.77)

Подставив (5.77) в уравнение (5.74) и разделив на , получим

, (5.78)

где точка над буквой обозначает производную по , штрих – производную по , - постоянная разделения (множитель записан для удобства).

Из равенства (5.78) имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения

, (5.79)

, (5.80)

где - произвольный параметр.

Решения уравнения (5.79) ищем в виде . Подставляя в (5.79) получим характеристическое уравнение

.

Таким образом, имеем

, (5.81)

где - произвольная постоянная. Уравнение (5.80) является уравнением Бесселя для функций нулевого порядка. Его общее решение имеет вид

. (5.82)

Известно, что функция Бесселя второго рода при . Поэтому из условий конечности температуры на оси цилиндра следует, что . Из граничного условия (5.75) следует, что , т.е.

. (5.83)

Это равенство является условием на параметр , который уже не будет произвольным. Формула (5.83) определяет собственные числа краевой задачи , где - положительные корни уравнения , которые можно найти в справочниках по специальным функциям.

Каждому собственному числу будет соответствовать собственная функция

. (5.84)

Принимая во внимание (5.77), (5.81) и (5.84) и обозначив , имеем

. (5.85)

Эта функция удовлетворяет уравнению (5.74) и граничному условию (5.75), но не удовлетворяет, вообще говоря, начальному условию (5.76). Составим ряд

(5.86)

и потребуем выполнения начального условия при

. (5.87)

Это равенство означает разложение заданной функции по функциям Бесселя в интервале . Коэффициенты разложения определяются по формуле

. (5.88)

Подставив (5.88) в выражение (5.86), получим решение задачи (5.74) – (5.76)

. (5.89)

Приведем для справок выражение для функций Бесселя первого рода - го порядка,

,

где . Подробнее об уравнении Бесселя и о функциях Бесселя можно прочитать в приложении.