5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах

В цилиндрических координатах , показанных на рис. 9, уравнение Лапласа принимает вид

. (5.45)

Для перехода к такой форме лапласиана в цилиндрических координатах нужно в формуле (5.3) преобразовать первый член, выполнив дифференцирование по . Для разделения переменных произведем подстановку в уравнении (5.45)

, (5.46)

после чего разделим обе части полученного уравнения на произведение функций (5.46). В результате имеем

, (5.47)

где штрихи над буквами обозначают производные по соответствующим аргументам, – параметр разделения. Параметр остается произвольным пока не наложены граничные условия в направлении . Основанием для приравнивания выражений в (5.47) постоянной является тот факт, что левая часть равенства зависит от и , а правая только от , и равенство должно выполняться для всех значений .

Из соотношений (5.47) вытекают следующие дифференциальные уравнения

, (5.48)

. (5.49)

Частными решениями уравнения (5.48), получаемыми с помощью характеристического уравнения, являются функции или в действительной форме

, .

Для нахождения решения уравнения (5.49), включающего две неизвестные функции , преобразуем его к виду

, (5.50)

где – постоянная разделения. Основания для приравнивания отношений константе такие же что и в случае (5.47).

Приравнивая каждое отношение в (5.50) постоянной разделения , получим дифференциальные уравнения для функций :

, (5.51)

. (5.52)

Первое из этих уравнений имеет решения , или в действительной форме

, .

Для того чтобы решение было однозначным, параметр разделения должен быть целым числом.

Если в уравнении (5.52) сделать замену независимой переменной , то оно принимает вид стандартного уравнения Бесселя

. (5.53)

Его решения для целых значений параметра – функции Бесселя и функции Неймана порядка [11]

,

.

Представление функций Неймана в виде ряда можно найти в математических справочниках. Для приближенных расчетов можно использовать нижеследующие асимптотические выражения для этих функций.

При

где – гамма-функция, – действительное и неотрицательное число.

При ,

,

Переход от области «малых» значений к области больших значений имеет место при .

5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона

Решение краевых задач для уравнения Лапласа ряда простейших областей (прямоугольник, круг, цилиндр, шар и некоторых других) можно найти методом разделения переменных. В этом разделе рассматривается задача Дирихле, для решения которой используются только элементарные функции.

Для уравнения Лапласа справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть ограниченная область Ω пространства имеет кусочно-гладкую (поверхность Г для трехмерной области Ω или кривую Г для двумерной области). Пусть на границе области Г задана непрерывная функция (или ), если Ω - область плоскости. Тогда существует на замкнутой области Ώ = Ω + Г единственная непрерывная функция (или ) гармоническая на Ω и такая, что

(или в случае двумерной области Ω).

Эта задача, как отмечалось в п.5.1, называемая задачей Дирихле, хорошо исследована в математической физике. Известны ее решения в аналитической форме и различные приближенные методы решения. Сформулированная выше теорема имеет простую физическую интерпретацию, если под функцией понимать температуры тела в точке . Действительно, если на границе Г тела Ω все время поддерживать температуру , равную , где – заданная непрерывная на границе тела функция, то внутри тела установится вполне определенная (единственная в каждой точке тела) температура .

Рассмотрим решение задачи Дирихле для плоской области с частным видом граничного условия. Пусть на плоскости имеется круг радиуса c центром в начале координат и на его границе – окружности, задана функция , где – полярный угол. Требуется найти функцию непрерывную в круге и на его границе, удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа.

Таким образом, уравнения задачи Дирихле имеют вид

, Ω , (5.54)

, (5.55)

где – полярные координаты точки, Ω – открытый круг, Г - ограничивающая область Ω окружность, - заданная на границе функция.

Из уравнения (5.45) получаем уравнение для функции ), не зависящей от

или

. (5.56)

Будем решать задачу методом разделения переменных, т.е. будем искать частное решение уравнения (5.56), вида

. (5.57)

Подставляя предполагаемую форму решения (5.57) в уравнение (5.56), получим

.

Разделяя переменные, имеем

. (5.58)

Так как левая часть не зависит от , а правая от , то они равны постоянной, которую обозначили . Из равенств (5.58) получаем два дифференциальных уравнения

, (5.59)

. (5.60)

Уравнение (5.59) является дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Частное решение его ищем в виде для . Подставив эту функцию в уравнение получим характеристическое уравнение , .

Общее решение уравнения (5.59) является линейной комбинацией его частных решений с найденными значениями

.

Поскольку решение должно периодически зависит от (для однозначности решения в точках =0, 2π, …), то число должно быть целым и при этом можно ограничиться натуральными значениями . Заметим, что если бы отношения в (5.58) приравняли - , то не получили бы периодической зависимости от . Таким образом, общее решение уравнения (5.59) можно записать для так

. (5.61)

Решение уравнения (5.60) будем искать в виде

.

Подставим в уравнение (5.60) эту функцию при , получим

,

т.е. . Отсюда для получим решение

. (5.62)

Поскольку решение должно быть конечным при (это понятно и из физических соображений), то . Подставим выражения (5.61) и (5.62) в формулу (5.57) и учитывая, что , получим частное решение уравнения Лапласа

( ) (5.63)

где и учтена зависимость коэффициентов от числа .

Если , то уравнения (5.59) и (5.60) примут вид

.

Первое из них имеет решение вида

(5.64)

и не является периодической функцией от если . Для однозначности решения необходимо требование . Второе уравнение можно записать так

.

Интегрируя, получим

или .

Проинтегрировав еще один раз, имеем

. (5.65)

При . Поэтому для ограниченности решения уравнения (5.65) надо потребовать .

Таким образом, для имеется частное решение уравнения Лапласа – константа

(5.66)

где .

Отметим, что частные решения (5.63) и (5.66) удовлетворяют условию конечности при всех значениях из области Ω и условию однозначности, т.е. периодичности по . Однако граничному условию (5.55) эти решения, вообще говоря, не удовлетворяют. Для того чтобы удовлетворить граничному условию (5.55) запишем решение уравнения (5.56) в виде суммы

. (5.67)

Сумма (5.67) является суммой бесконечного числа членов. Она будет решением уравнения Лапласа с непрерывными частными производными второго порядка по и по (т.е. гармонической функцией) при достаточно хорошей сходимости функционального ряда в (5.67).

Подберем теперь коэффициенты ряда (5.67) так, чтобы удовлетворялось граничное условие (5.55). Подставив в (5.67) , на основании условия (5.55) получим

. (5.68)

Чтобы равенство (5.68) было возможным, нужно, чтобы

функция разлагалась в ряд Фурье в интервале и чтобы и , были коэффициентами Фурье этой функции. Поэтому должны выполняться равенства

,

. (5.69)

Таким образом, получено формальное решение задачи Дирихле (5.54), (5.55) для круга в виде ряда (5.67) с коэффициентами (5.69). Чтобы убедиться в том, что полученная функция действительно является искомым решением, нужно убедиться в сходимости ряда, возможности его почленного дифференцирования, а также доказать непрерывность функции (5.67) на границе круга.

Для этого подставим выражения (5.69) для коэффициентов Фурье в решение (5.67). Получим

Таким образом, имеем

. (5.70)

Используя формулу Эйлера

,

выражение в квадратных скобках (5.70) можно записать так:

(5.71)

Здесь использовалась формула для суммы геометрической прогрессии

, ,

при .

Упростим выражение (5.71), приведя к общему знаменателю. Учитывая

и приведенную выше формулу Эйлера, получим окончательный вид решения (5.70)

. (5.72)

Полученная формула, дающая решение задачи Дирихле внутри круга, называется интегралом Пуассона. Подынтегральное выражение

=

называется ядром Пуассона. Отметим, что >0 при . Анализ интеграла Пуассона показывает [1], что если функция непрерывна, то функция , определенная формулой (5.72), удовлетворяет уравнению Лапласа и при выполняется . Таким образом, интеграл Пуассона является решением задачи Дирихле для круга.