Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2343.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

5.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 338 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Вычислим теперь исходный интеграл по формуле Ньютона– Лейбница:

sin

1		2
	d x		cos
	d x		cos
2		3

3x	1


		x

2	2		0

СибАДИ
	2		3	2		3	0	0		2
		cos			cos						2,237463 .
	3		2 2	3			2	2	2 3

Результаты совпадают с точностью до десятитысячных. Точность метода Симпсона (парабол) выше точности метода

прямоугольн ков трапеций для заданного n (это видно из оценки абсолютной погрешности), так что его использование предпочтительнее.

Следует помн ть о влиянии вычислительной погрешности на результат при больш х n, что может отдалить приближенное значение от точного.

5. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов

При вычислении определенных интегралов иногда удобно разложить функции в степенные ряды.

Рассмотрим примеры приближенного вычисления определенных интегралов.

Примеры.

					0,3			dx
1. Вычислим интеграл								dx			с точностью до 0,0001.

						3 1 x2
					0,2	3 1 x2
Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной
ряд, пользуясь биномиальным разложением:
					1		4					1		4	7
	1

			1		3		3			2		3		3	3			3
			1		3		3			2		3		3	3			3
1 x	3	1		x					x								x
1 x	3	1	3	x	2				x				6				x
			3		2								6
1 n 1 4 7 3n 2 xn (разложение верно при																1 x 1).
		3n n!

Теперь подставим x2 вместо x , получим

1 x2	1		1 n 1 4	7	3n 2 x2n
1 x2	3	1	1 n 1 4	7	3n 2 x2n	, при 1 x 1.

		n 1			3n n!

СибАДИ
	Воспользуемся возможностью почленного интегрирования сте-
пенного ряда:
0,3	dx

0,2 3 1 x2
0,3			1		2		2				4		14			6		n 1 4 7 3n 2		2n
	1			x					x						x		1		x		dx
0,2			3				9						27					3n n!
		1		3		2				5			2		7			0,3
x			x					x						x				0,1 0,00211 0,00009 0,09798
		9				45						81						0,2
																		0,2

0,0980.

После почленного интегрирования получили знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Восполь-

зуемся оценкой остатка сходящегося			знакочередующегося ряда
	Rn	an 1 . Поскольку четвертый член	ряда по модулю оказался

меньше заданной точности 0,0001, то для вычислений достаточно взять сумму первых трех слагаемых.

Итак,

0,3		dx	0,0980.

	3	1 x2
0,2

Отметим, что если после почленного интегрирования получится знакоположительный ряд, то для определения необходимого для вычислений числа слагаемых проводят оценку остатка ряда (обычно

оценивают с помощью геометрической прогрессии).

														1
2. Вычислим интеграл e x3 dx с точностью до 0,0001.
														0
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд, исполь-
зуя разложение в ряд Маклорена функции ex ,																								заменяя x на x3 . По-
лучим
СибАДИ
1	x	3				1					x3		x6			x9			x12			x15		x18
e			dx
e			dx				1				1!		2!		3!				4!		5!			6!	dx
0						0					1!		2!		3!				4!		5!			6!
					4					7			10		13						16			19			1
x				x					x				x				x				x			x
				4 1!				7 2!				10 3!			13			4!		16 5!				19 6!
		1			1			1				1			1					1							0
1
		4		14				60			312			1920					13680
1 0,25 0,07142												0,01666						0,00320					0,00052			0,00007
0,80744 0,8074 .

Поскольку мы использовали знакочередующийся ряд, то для достижения точности вычислений необходимо было найти слагаемое меньшее точности по модулю, отбросить его и остальные члены ряда.

Так как 1 0,00007 0,0001 , то можно отбросить это слагаемое

13680

все остальные. Возникающая при этом погрешность будет меньше, чем 0,00007, то есть меньше 0,0001. Все вычисления мы проводили с пятью знаками после запятой, результат округлили до четырех знаков после запятой.

Итак,

1 e x3 dx 0,8074

2 sin x

3. Вычислим

теперь

интеграл

точностью

до

0,5 10 3 .

Решение.

Заметим,

что неопределенный интеграл

sin x

не

СибАДИ

вычисляется в конечном виде («неберущийся» интеграл).

Разлож м sin x в ряд и поделим почленно на x . Получим ряд

sin x

сходящ йся при лю ом значении x .

нтегрируя, получим

2 sin x

dx x

5 5!

600

35280

1,5708 0,2153 0,0159 0,0007 1,3707

1,371.

Первый отброшенный член

много меньше,

чем 0,5 10 3 .

9 9!

Итак,

2 sin x

dx 1,371 .

6. Задачи для самостоятельного решения

1. Написать формулу прямоугольников приближенного вычисления определенного интеграла, соответствующего рис. 8.

	y2
y1	y3

Си0 бАДИ значением интеграла.

x0	x1	x2		x3	x
				Рис. 8
2. Выч сл ть	нтеграл	0,2 sin x		dx :
2. Выч сл ть	нтеграл		x	dx :
		0	x
а) по формуле прямоугольников;
б) по формуле трапеций;
в) по формуле Симпсона.
		2	x sin x 2 dx:
3. Вычислить интеграл			x sin x 2 dx:
		0
а) по формуле прямоугольников;
б) по формуле трапеций;
в) по формуле Симпсона.
4. Применяя формулу прямоугольников (n=12), приближенно вычис-
	2
лить интеграл	x sin x dx		результат вычислений сравнить с точным

5. С помощью формулы трапеций вычислить интегралы и оценить их погрешности:

1	1
а)		dx (n=8);
	1 x
0

	1	1
б)		1			dx		(n=12);

		1 x3
	0	1 x3

	2		1	1		sin 2 x dx (n=6).
в)				1
в)				4
	0			4
СибАДИ
6. помощью формулы Симпсона вычислить интегралы:
	9
а)			x dx (n=4);
	1

	2 sin x
б)			x	dx			(n=10);
	0
			3 cos x dx (n=6);
в)			3 cos x dx (n=6);
	0
	1		x
г)			ln 1 x				dx (n=6).
	0

7. Вычислить определенные интегралы с точностью , раскладывая подынтегральную функцию в ряд:

	0,2 sin x					, 0,0001 ;
а)				dx
а)			x	dx
	0		x
)	0,5	1 cos x				dx , 0,0001 ;
)			x2			dx , 0,0001 ;
	0		x2
	0,1 ex 1				dx, 0,001 ;
в)
в)			x
	0		x
	0,1 ln 1 x					dx , 0,001 ;
г)
г)			x
	0		x
	0,5		x ln 1 x2 dx, 0,001 ;
д)			x ln 1 x2 dx, 0,001 ;
	0
	1
е)	e x 2 dx ,					0,001 .
	0

Ответы:

4.6,2832 ;

5.а) 069315;

б) 0,83566; в) 1, 4675.

СибАДИ6. а) 17,333; б) 5,4024;

в) 1,37039; г) 0,2288.

7. а) 0,1996;

б) 0,2483; в) 0,102; г) 0,098; д) 0,015; е) 0,747.

Вопросы задан я для самопроверк [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10]

1. Как составляется интегральная сумма?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. В чем заключается метод Эйлера приближенного вычисления определенного интеграла?

4. В чем заключается метод парабол приближенного вычисления определенного интеграла?

5. В чем заключается метод трапеций приближенного вычисления определенного интеграла?

6. В чем заключается метод приближенного вычисления определенных интегралов с помощью рядов?

7. Какова точность различных методов приближенного вычисления определенного интеграла?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 338 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20215.77 Mб62339.pdf
#
07.01.2021362.66 Кб2234.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42340.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42341.pdf
#
07.01.20215.83 Mб912342.pdf
#
07.01.20215.89 Mб432343.pdf
#
07.01.20215.94 Mб52344.pdf
#
07.01.20215.95 Mб102345.pdf
#
07.01.20215.98 Mб362346.pdf
#
07.01.20216.02 Mб292347.pdf
#
07.01.20216.07 Mб442348.pdf