Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4613 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
2343.pdf
Скачиваний:
43
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
5.89 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Раздел VI. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

1. Уравнения эллиптического типа и краевые задачи для них

Каноническая форма уравнения эллиптического типа имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(114)

 

 

 

U xx U yy F x, y, U , U x , U y ,

 

фильтрац

 

 

 

 

 

 

Сгде U (x, y) – дважды дифференцируемая функция двух независи-

мых переменных x

y.

 

 

 

 

 

 

Уравнен е (114) описывает двумерные стационарные процес-

 

б

 

 

 

 

сы, напр мер, провод мость тепла в пластине,

процессы диффузии,

 

,

распространение

 

электромагнитных волн. Введем в

рассмотрен

е

лаплас ан

 

 

 

 

(для плоскости),

U U xx

U yy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U U xx U yy

U zz (для пространства).

 

 

 

Наиболее простыми представителями уравнений эллиптиче-

ского типа являются уравнение Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

U 0

 

 

 

 

(115)

 

 

 

 

 

 

Д

и уравнение ПуассонаА

 

 

 

 

 

U f (x, y) .

 

 

 

(116)

Для определения единственного решения уравнения (114) в замкнутой плоской области (x, y) D с непрерывной границей Г ставятся следующие краевые задачи.

Задача Дирихле.

 

В области D найти непрерывную, дважды дифференцируемую

функцию, удовлетворяющую уравнению (114И) и следующему гра-

ничному условию:

 

U (x, y) Г (x, y) , (x, y) Г

(117)

149

(на границе области известны значения искомой функции).

Задача Неймана.

Найти решение уравнения (114), удовлетворяющее следующему граничному условию:

С

 

 

 

 

 

(x, y) ,

(x, y) Г ,

(118)

U n (x, y)

Г

 

 

 

(на гран це области известна производная искомой функции по нормали. n – внешняя нормаль к границе Г в точке (x, у)).

Найти

 

 

 

мешанная задача.

 

 

 

решен е уравнения (114), удовлетворяющее условию

 

Г K U

Г (x,

y) ,

(x, y) Г ,

(119)

U n

б

 

 

где n – внешняя нормаль к границе области.

 

2. Задачи, пр водящие к решению уравнения Лапласа

 

 

А

 

Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к решению урав-

нения Лапласа (115):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U U xx U yy U zz 0.

 

Функции U, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называ-

ются гармоническими функциями.

 

И

2

 

Стационарное (установившееся ) распределение

 

температурыДв однородном теле

 

Пусть имеется однородное тело, ограниченное поверхностью Г. Температура в различных точках тела удовлетворяет уравнению

 

a

 

 

 

Ut

U xx U yy U zz .

Если процесс установившийся,

 

то есть если температура не

150

зависит от времени, а зависит только от координат точек тела, то Ut 0 и, следовательно, температура удовлетворяет уравнению Лапласа (115)

 

 

 

U xx U yy U zz 0.

Чтобы температура в теле определялась однозначно из этого уравнен я, нужно знать, например, температуру на поверхности Г:

С

U (x, y)

 

Г (x, y) .

 

 

 

 

 

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой

задачей.

 

 

 

на поверхности тела температура неизвестна, а известен

Если тепловой потокбв каждой точке поверхности, который про-

порционален U , то на поверхности Г вместо краевого условия

n

(117) будем меть условие (118):

АU (x, y) .

n Г

Задача нахождения решения уравнения (115), удовлетворяющего краевому условию (118), Дназывается задачей Неймана или

второй краевой задачей.

Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности

Пусть внутри объема , ограниченногоИповерхностью Г (в частности, может быть и неограниченным), происходит течение жидкости. Пусть – плотность жидкости. Скорость жидкости обозначим

x i у j z k ,

где x , y , z – проекции вектора на оси координат.

151

Выделим в теле малый объем , ограниченный поверхностью S. Через каждый элемент ∆S поверхности S за время ∆t пройдет количество жидкости

С

Q n S t ,

 

 

 

 

 

где n – единичный вектор, направленный по внешней нормали к

поверхности S.

 

 

 

 

Общее кол чество жидкости, поступившей в объем (или

дкости

 

 

 

вытекшей з объема ), выражается интегралом

 

Q t n dS .

(120)

б

 

 

 

 

S

 

 

Кол чество ж

 

в о ъеме в момент t было d .

 

 

 

 

 

За время ∆t кол чество жидкости в силу изменения плотности

измен тся на вел чину

 

 

 

 

А

 

Q

 

d t

t d .

(121)

 

 

S

 

 

Предполагая, что в объеме нет источников, заключаем, что

 

 

Д

 

это изменение вызвано притоком жидкости, количество которой

определено равенством (120). Приравнивая правые части равенств

(120) и (121) и сокращая на ∆t, получаем

И

n dS t d .

(122)

S

 

 

 

 

Преобразуем поверхностный интеграл, стоящий слева, по

формуле Остроградского. Тогда равенство (122) примет вид

 

diν d t d ,

 

 

 

 

 

 

или

152

t diν d 0.

В силу произвольности объема и непрерывности подынте-

гральной функции получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

t diν 0

,

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нефти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t x x

y y

z z 0 .

(123)

Это

есть

уравнение

 

неразрывности течения сжимаемой

 

б

 

 

жидкости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечан . В некоторых задачах, например при рассмотрении

процесса дв жен

я

или газа в подземной пористой среде к

скваж не, можно пр нять

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

k

grad p ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где p –

давление; k –

коэффициент

проницаемости

t t ,

 

 

 

 

 

 

 

Д

const . Подставив в уравнение неразрывности (123), получим

 

 

t diν(kgrad p) 0,

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kp

 

 

 

 

 

(124)

 

 

x kp

y

kp z .

 

 

t

 

 

x

 

 

y

 

z

 

Если k – постоянная, то это уравнение принимает вид

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

pxx

pyy pzz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

153

и мы приходим к уравнению теплопроводности.

Вернемся к уравнению (123). Если жидкость несжимаемая, то

р const ; t 0 и уравнение (123) примет вид

 

С

diν 0 .

(125)

 

 

 

 

Если движение потенциальное, то есть вектор

есть градиент

некоторой функц φ

 

 

 

нимает

 

 

 

 

grad ,

 

то уравнен е (125) пр

вид

 

 

 

б

 

 

 

div( grad ) 0 ,

 

или

А

 

 

 

 

 

 

 

(126)

 

xx yy zz 0,

то есть потенциальная функция скорости φ должна удовлетворять уравнению Лапласа. Во многих задачах, как, например, в задачах фильтрации, можно принять

k1grad p ,

где p – давление; k1 – постоянная.

 

И

Получаем уравнение ЛапласаДдля определения давления:

 

 

 

(127)

рxx рyy

рzz 0.

Для уравнений (126) и (127) краевые условия могут быть поставлены в виде задачи Дирихле, задачи Неймана или в виде смешанной задачи.

154

Потенциал стационарного электрического тока

Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем V, проходит электрический ток, плотность которого в каждой точке

дается вектором

J J x i J y j J z k . Предположим, что плотность

С

 

 

 

 

 

тока не зависит от времени t. Предположим далее, что в рассматри-

ваемом объеме нет источников тока. Следовательно, поток вектора

J через любую замкнутую поверхность S, лежащую внутри объема

, будет равен нулю:

 

 

поверхности

 

 

 

 

 

 

J ndS 0 ,

 

 

 

 

 

 

S

 

 

где n

– ед

чный вектор, направленный по внешней нормали к

 

. Из формулы Остроградского заключаем, что

 

 

 

 

 

div J 0 .

 

(128)

 

 

 

 

А

 

На основаниибо о щенного закона Ома определяется в рас-

сматриваемой проводящей среде электрическая сила E:

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

E

J

,

 

(129)

 

 

 

 

 

 

 

 

или

J E ,

где – проводимость среды, которую мы будем счи-

тать постоянной.

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

Из общих уравнений электромагнитного поля следует, что ес-

ли процесс стационарный, то векторное поле

E безвихревое, т.е.

rot E 0 . Тогда аналогично тому, что мы имели при рассмотрении поля скоростей жидкости, векторное поле является потенциальным.

Существует функция , такая, что

 

E grad .

(130)

155

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности