- •Введение
- •Раздел I. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
- •1. Приближенное решение уравнения
- •2. Метод последовательных приближений решения уравнения
- •3. Метод Ньютона (метод касательных) решения уравнения
- •4. Метод секущих (метод хорд) решения уравнения
- •8. Приближенные вычисления значений функций с помощью рядов
- •9. Приближенные вычисления пределов с помощью рядов
- •10. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел II. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
- •1. Квадратурные формулы
- •3. Формула трапеций
- •4. Метод парабол (метод Симпсона)
- •5. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
- •6. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел III. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •1. Метод Пикара последовательных приближений
- •2. Метод Эйлера
- •3. Улучшенный метод Эйлера
- •4. Метод Эйлера–Коши
- •5. Метод Рунге–Кутта
- •6. Метод Адамса
- •8. Метод конечных разностей решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •10. Метод наименьших квадратов
- •11. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел IV. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
- •1. Виды уравнений математической физики
- •2. Вывод уравнения колебания струны
- •7. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел V. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
- •4. Распространение тепла в неограниченном стержне
- •6. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел VI. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
- •1. Уравнения эллиптического типа и краевые задачи для них
- •3. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
- •5. Примеры решения задач
- •6. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
- •1. Метод сеток численного решения дифференциальных уравнений с частными производными
- •3. Метод сеток для уравнения гиперболического типа
- •5. Метод прогонки для уравнения теплопроводности
- •6. Решение уравнения движения грунта
- •7. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел VIII. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
- •1. Некоторые сведения из функционального анализа
- •2. Теоретические основы метода Ритца
- •5. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел IX. КОРРЕЛЯЦИЯ
- •1. Понятие корреляции
- •4. Корреляция
- •5. Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
6.Задачи для самостоятельного решения
1.Найти стационарное распределение температуры на однородной
тонкой круглой пластинке радиусом |
R, если U (r R, ) cos , |
||||
0 2 . |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
2. Найти |
стационарное распределение температуры на однородной |
||||
тонкой круглой пласт нке радиусом R = 2, верхняя половина кото- |
|||||
рой поддерж вается при температуре 3 оС, а нижняя – при темпе- |
|||||
Найти |
|
|
|
|
|
ратуре – |
3 о . |
|
|
|
|
3. |
стац онарное распределение температуры на однородной |
||||
тонкой круглой пласт нке радиусом R=5, левая боковая половина |
|||||
которой |
поддерж вается при |
температуре 1 оС, а |
правая – при |
||
4 оС. |
|
|
|
|
|
4. Найти решен е уравнения Лапласа для внутренней части кольца |
|||||
1 r 2, |
А |
U (r 1, ) 0 ; |
|||
удовлетворяющее |
краевым |
условиям |
|||
U (r 2, )бy . |
|
||||
5. Найти решение уравнения Лапласа в круге, удовлетворяющее |
|||||
|
|
Д |
|||
краевым условиям U (r 1, ) x . |
|
|
|
||
6. Найти стационарное распределение температуры на однородной |
|||||
тонкой круглой пластине радиусом R при условии |
|
||||
|
|
10, |
0; |
|
|
|
U (r R, ) 12, |
|
И |
||
|
0 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
7. Найти решение уравнения Лапласа в круге, удовлетворяющее условиям U (r R, ) e .
167
Вопросы и задания для самопроверки [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10]
1. |
Напишите уравнение Лапласа, уравнение Неймана. |
2. |
Какие типы задач ставятся для уравнения гиперболического |
типа? |
|
С |
|
3. |
Запишите уравнение Лапласа в цилиндрических координа- |
тах. |
|
4. |
Как решается задача Дирихле для круга? |
5. |
По какому закону происходит распространение тепла в пло- |
ской пласт не? |
|
мени |
|
7. Т повой расчет по разделу «Уравнения математической |
|
физ ки» |
|
|
б |
1. Для каждой точки есконечной струны в начальный момент вре- t 0 заданы отклонение от положения равновесия f (x) и скорость дв жен я каждой точки (x) . Определить отклонение стру-
ны от положения равновесия в момент времени t Т, если скорость распространения волны для данной струны равна a. При отклонении струны от положения равновесия более чем на 17 единиц на
участке x [ 3;12 ] |
произойдет авария. Струна должна находиться |
под наблюдением |
при отклонении на этом участке более чем на |
14 единиц. ОценитьАстепень опасности. |
|
2. Стержнь длиной l с коэффициентами температуропроводности а |
|
|
И |
при эксплуатации нагревается Ддо температуры f (x) . Концы стержня поддерживаются при температурах U1 и U2. Найти распределение температуры в стержне в любой момент времени t 0. В середине стержня температура должна быть от 11 до 15 оС. Этого
можно добиться, изменяя температуру на правом конце стержня. При этом перепад температур на концах стержня не должен превышать 8 оС . Возможна ли эксплуатация стержня?
3. Эксплуатация детали в виде круглой пластины возможна, если только перепад температур внутри части этой детали – круга с ра-
168
диусом R 3 , центр которого совпадает с центром детали, не более
6,7 оС. Найти стационарное распределение температуры в каждой точке детали – однородной круглой пластины радиусом R, – если верхняя половинка пластины поддерживается при температуре U1, а
|
нижняя – при температуре U2. Возможна ли эксплуатация детали |
||||||||||
СибАДИ |
|||||||||||
|
при таких условиях? |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Значен я функц й параметров для задач 1–3 указаны в табл. |
|||||||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 28 |
||
|
№ |
а |
f (x) |
|
(x) |
Т |
l |
U1 |
U2 |
R |
|
|
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
1 |
|
1+cosx |
20 |
1 |
1 |
10 |
2 |
|
|
2 |
12 |
2x–1 |
|
1–2cosx |
10 |
0,5 |
0 |
10 |
1 |
|
|
3 |
10 |
0 |
|
3sin x |
3 |
1 |
–2 |
20 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
25 |
|
x |
15 |
8 |
0,1 |
10 |
3 |
|
|
5 |
6 |
1–3x |
|
cos x |
0,5 |
10 |
0 |
–10 |
4 |
|
|
6 |
4 |
20 |
|
1–2x |
10 |
100 |
10 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
11 |
–x |
|
4 x |
1 |
3 |
100 |
10 |
4 |
|
|
8 |
4 |
50 |
|
2 x |
4 |
5 |
10 |
25 |
3 |
|
|
9 |
8 |
1+2x |
|
1 3x |
2 |
4 |
100 |
200 |
2 |
|
|
10 |
5 |
1–4x |
|
cos 2x |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
3 |
2x |
|
1+x |
1 |
1 |
10 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
1 |
|
e x 1 |
2 |
14 |
–1 |
10 |
3 |
|
|
13 |
5 |
–50 |
|
x |
10 |
3 |
10 |
100 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
7 |
25 |
|
sin 2x |
|
8 |
3 |
13 |
5 |
|
|
|
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
2 |
8x |
|
1 sin x |
|
10 |
25 |
50 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
8 |
–100 |
|
2 sin x |
|
0,2 |
–50 |
100 |
3 |
|
|
|
8 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169
Окончание табл.28
№ |
а |
f (x) |
(x) |
Т |
l |
U1 |
U2 |
R |
|
п/п |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
13 |
0 |
x sin x |
|
100 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
1 |
e2 x |
1 |
0,1 |
10 |
–10 |
1 |
|
3 |
1 |
1–x |
–1 |
10 |
0,1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
3x |
1+cosx |
|
40 |
0 |
–1 |
3 |
|
12 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
1 |
4x |
1–x |
100 |
3 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
x |
sin x |
|
10 |
0 |
–100 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 |
0 |
1+x |
100 |
2 |
10 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
11 |
1 |
1 x |
10 |
1 |
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
9 |
9 |
100 |
3x |
1 |
5 |
1 |
10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
4 |
1–5x |
2x+1 |
25 |
4 |
2 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
10 |
5 |
1–x |
10 |
3 |
–1 |
10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
2 |
–3x |
2 sin x |
|
2 |
8 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
6 |
2x |
1 sin x |
|
3 |
–2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
14 |
3 |
3 |
x+4 |
6 |
1 |
1 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170