2. Метод Эйлера

Метод Эйлера

– простейший численный метод решения сис-

тем обыкновенных

дифференциальных уравнений. Впервые опи-

В ряде случаев д фференциальное уравнение можно преобразо-

вать к в ду, в котором старшая производная выражена в явном виде.

Сэтом в правой части уравнения старшая производная отсутствует:

y

n

n 1

.

F x, y, y ,..., y

Аy f x, y ;

y

x

y

0 .

0

И

Необходимо решение уравнения

y

f x, y

в виде функ-

ции y(x), удовлетворяющей начальномуДусловию y x y .

0

0

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную

кривую y(x),

проходящую через точку M0 x0 , y0 при выполнении

условия y

f x, y .

Численный метод решения задачи Коши означает, что требуется

построить таблицу значений функции y(x),

удовлетворяющей урав-

нению y f

x, y и начальному условию y x0 y0

на отрезке [ a ; b ]

Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим спосо-

бом приближенное значение решения в некоторой точке x1 x0 h ,

где h –

достаточно малый шаг. Уравнение y f x, y вместе с на-

чальным услов ем y x0 y0 задают направление касательной иско-

мой интегральной кр вой в точке M0 x0 , y0 .

Уравнен е касательной имеет вид

С

y y0 f x0 , y0 x x0 .

Дв гаясь вдоль этой касательной, получим приближенное зна-

решен я в точке x1 x0 h :

чение

y1 y0 f x0 , y0 x1 x0 ,

или

б

y1 y0 f x0 , y0 h .

Зная приближенное решение дифференциального уравнения в

точке M1 x1, y1 , можноАповторить описанную ранее процедуру: по-

строить прямую, проходящую через эту точку с угловым коэффици-

ентом

f

x1, y1 , и по ней найти приближенное значение решения в

точке

x2

x1 h . Заметим, что эта прямая не является касательной к

И

реальной интегральной кривой, поскольку точка M x , y не лежит

Д1 1 1

С

Рис. 10

Получен е та л цы значений искомой функции y(x) методом

Эйлера заключается в последовательном применение формулы

yi 1 yi yi yi

f xi , yi h , i 0; 1;...;n .

(6)

и

В основе метода Эйлера лежит аппроксимация производной от-

ношен ем конечных приращений зависимой y и независимой x пере-

менных между узлами равномерной сетки:

б

y

d y

y

yi 1 yi

f xi , yi ,

x

d x

xi 1 xi

А

где yi 1 – искомое значение функции в точке xi 1 .

Методы численного интегрирования дифференциальных урав-

нений, в которых решения получаются от одного узла к другому, на-

зываются пошаговыми. Метод Эйлера самый простой представитель

пошаговых методов. ОсобенностьюДлюбого пошагового метода явля-

ется то, что начиная со второго шага исходное значение yi

в форму-

ле (6) само является приближенным, то есть погрешность на каждом

3. Улучшенный метод Эйлера

Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (5) оче-

редное

значение yi 1 yi f xi , yi h будет точнее, если

значение

производной, то есть угловой коэффициент прямой, замещающей ин-

тегральную кривую y(x) на отрезке [ xi , xi 1],

будет вычисляться не по

левому краю (то есть в точке xi ), а в центре отрезка

[ xi , xi 1]. Но так

как значен е про зводной между точками xi и xi 1

не вычисляется, то

перейдем к сдвоенным участкам [ xi 1, xi 1 ], центром которых является

точка xi . П

этом уравнение касательной принимает вид

С

y yi 1 f xi , yi

x xi 1 ,

а формула (6) – в д

ри

yi 1 yi yi yi 1 f xi , yi

2h ,

i 1; 2;...;n .

(7)

Формула (7) применима только при i 1,

следовательно,

значе-

ния y1

б

y1

находят по методу Эйле-

по ней получить нельзя, поэтому

ра, при этом для получения

олее точного результата поступают так:

сначала по формуле (5) находят значение

y

y

f x , y

h

в

1

0

0

0

2

2

x

h

А

h

точке x

1

0

, а затем находят y

по формуле (7) с шагом

:

2

1

2

2

y y

Д

h f

x

, y

.

1

0

1

1

2

2

И

Пример.

Найдем

решение

дифференциального

уравнения

y

6x y 3

с начальными

условиями y 0 1 на отрезке [ 0, 4 ] с

5y 2x

точностью 0,1.

Решение. Сначала выберем шаг h 1 и определяем n:

С

a

4 0

6x y

3

n

b

4 ,

f x, y

.

h

1

5y 2x

и

Наход м значен я x:

xi

x0 i h , i 0; 1;...;4 . Получаем

x0 0; x1 1; x2 2 ; x3 3; x4 4 .

б

Теперь выч сляем значения искомой функции. Делаем расчеты:

y1 y0 f x0 , y0

h

6 0 1 3

1 0,5

0,8 .

А

2

2

5 1 2

0

Определяем x

x

h

0 0,5 и находим

y ,

y

, y

:

1

2

4

0

2

1

2

6 0,5 0,8 3

y

y

h f x

, y

1 1

1,16

;

1

0

1

1

5 0,8 2 0,5

2

2

И

x , y

2h 1

6 1 1,16 3

y

2

y

0

f

2

2,07

;

1

1

Д

5 1,16 2

1

f x2 , y2

2h

6 2 2,07 3

y3 y1

1,16 2

2,7 ;

5 2,07 2 2

y4 y2

f x3 , y3

2h

2,07

6 3 2,7 3

3,89 .

2

5 2,7 2

3

Таблица 3

№

1

2

3

4

xi

1

2

3

4

yi

1,16

2,07

2,7

3,89

С

h

1

0,5

Теперь берем шаг h

и находим n:

1

2

2

n

b a

4 0

8 ,

f x, y

6x y 3

.

и

5y 2x

h

0,5

Наход м значен я x:

xi x0 i h ,

i 0; 1;...;8. Получаем

б

x0

0;

x1

0,5;

x2

1; x3 1,5;

x4 2 ;

x5 2,5;

x6 3; x7

3,5 ; x8

4.

А

Находим значения искомой функции

y

y

f x , y

h

1 0,25

6 0 1 3

0,9 .

1

0

0

0

5 1 2 0

2

2

Д

Определяем x

x

h

0 0,25 0,25 и находим y , y

, …,

1

2

0

2

1

И

2

y8 :

6 0,25 0,9

3

y y

h

f

x

, y

1 0,5

0,94 ;

1

0

1

1

5 0,9 2 0,25

2

2

6 0,5 0,94 3

y2 y0 f x1, y1

2h 1 1

1,16 ;

5

0,94 2 0,5

…

y8 y6 f x7 , y7

2h

6 3,5 3,18 3

2,75

1

3,67 .

5 3,18 2 3,5

Таблица 4

№

1

2

3

4

5

6

7

8

xi

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

yi

0,94

1,16

1,47

1,88

2,28

2,75

3,18

3,67

С

Находим максимум разностей значений y (сравниваем значения

из табл. 3 4):

и

y1

y2

1 1

0;

0

0

y1

y2

1,16 1,16

0 ;

1

2

б

y1

y2

2,07 1,88

0,19

;

2

4

y1

y2

2,7 2,75

0,05 ;

3

6

y1

y2

3,89 3,67

0,22 .

4

8

Д

Так как наибольшая

из

разностей yi

0,22

больше, чем за-

данная

точность А0,1, мы не достигли необходимой точности вы-

числений, поэтому продолжаем процедуру нахождения значений ис-

комой функции.

И

Находим шаг h

h1

0,5

0,25

и n:

2

2

2

n

b a

4 0

16 ,

f

x, y 6x y 3 .

h

0,25

5y 2x

Находим значения x: xi

x0 i h , i 0; 1;...;16 . Получаем

x0 0; x1 0,25 ;

x2 0,5;

x3 0,75 ; x4 1;…;

x13 3,25 ;

x14

3,5;

x15 3,75 ;

x16 2 .

y0 f x0 , y0

h

6 0 1 3

y1

1 0,125

0,95 .

5 1 2 0

2

2

С

x

h

0 0,125 0,125

и находим y ,

Определяем

x

1

y

2

, …,