СибАДИ

Рис. 6

Получ ли формулу трапеций

b

n 1 f x

f x

f x d x

i

i 1

x

a

i 0

2

f x f x0 2 f x1 f x2 ... f xn 1 f xn b a .

b

n 1

a

i 0

2n

Полученная приближенная формула оказывается тем более точ-

ной, чем больше число п.

Ошибка, которую мы допускаем при вычислении, не превышает

b a 3

M ,

n

12n2

где M – наибольшее значение

y

на отрезке [ a ; b ].

f x

b

f x d x .

ся вычислить определенный интеграл

a

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заме-

нить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких

точек используют концы отрезка и его среднюю точку.

Докажем предварительно две теоремы.

СибАДИлой, если =0, то прямой.

Теорема 1. Через

любые

три

точки

М1

(х1; у1), М2 (х2; у2),

М3 (х3; у3) с разл чными абсциссами можно провести единственную

кривую в да

у=Ах2+Вх+С .

Доказательство. Подставим в уравнение параболы у=Ах2+Вх+С

коорд наты точек М1 , М2 , М3 , получим систему трех уравнений пер-

вой степени с тремя не звестными А, В, С:

Ax2 Bx C y ;

1

1

1

Ax22 Bx2 C y2

;

Ax2 Bx C y

.

3

3

3

Так как числа х1, х2, х3 различны, то определитель этой системы

отличен от нуля:

x2

x

1

1

1

x

x x x

x x 0 .

x2

x

2

1

2

2

2

1

3

3

1

x2

x

1

3

3

Следовательно, данная система имеет единственное решение,

т.е. коэффициенты

,

В,

С определяются

однозначно и парабола

у=Ах2+Вх+

будет единственной.

S

h

y 4 y

y

.

2

3

1

3

Доказательство. Подставляя

в

уравнение у A x2 B x C

СибАДИ

у

Ah2

B h

C ;

1

у2= С;

у

Ah2

B h C ,

3

откуда следует, что

2Ah2 2C y y

; = у2 .

1

3

Поэтому получаем

h

h

h

h

S

Ax2 Bx C d x

Ax2 C dx B x dx 2 Ax2 C dx

h

h

h

0

h

2Ah

2 6C

h

y 4 y

y

.

2

3

3

1

3

Теорема доказана.

Разобьем

отрезок [ a ; b ]

на

n

отрезков

[ x2i 2 ; x2i ],

i 0; 1;...;n

длины 2 x 2h b a точками a= x

0

< x

2

< x

4

<…< x

2n

=b.

n

Пусть

точки

x2i 1 ,

i 0; 1;...; n являются

серединами отрез-

ков [ x2i 2 ; x2i ], i 0; 1;...;n соответственно. В этом случае все «узлы»

определяются из равенства

xi

a ih ,

i 0; 1;...;2n .

Суть

метода

парабол:

на

каждом

отрезке

[ x2i 2 ; x2i ],

i 0; 1;...;n

подынтегральная

функция

приближается

квадратичной

параболой у A x2 B x C ,

проходящей

через

точки

x2i 2 ;

f x2i 2 ;

x2i 1;

f x2i 1 ,

x2i ;

f x2i . Отсюда и название ме-

x2i

f x d x взять

x2i

Ai x2 Bi x Ci d x , который мы

ния интеграла

x 2i -2

x2i 2

можем вычислить по формуле Ньютона–Лейбница. В этом и заключа-

b

n

x2i

n 1

x2i

Ai x2 Bi x Ci dx .

f x d x

f

x dx

a

i 1 x2i 2

i 0 x2i 2

x2i

Ai x2 Bi x Ci d x най-

Значение определенного интеграла

x2i 2

дено в теореме 2:

x2i

Ai x2 Bi x Ci d x

h

f x2i 2 4 f x2i 1 f x2i .

x

3

Таким образом, можно вывести формулу метода парабол

b

n 1

x2i

Ai x2 Bi x Ci dx

f x d x

a

i 0

x2i 2

n

h

f x2i 2 4 f x2i 1

f x2i

i 1 3

h

f

x

4 f x

f x

f x

4 f x

f (x

3

0

1

2

2

3

4

СибАДИ

...

f x2n 2

4 f x2n 1

f x2n )

h

n

n 1

3

f x0

4 f x2i 1

2 f x2i

f x2n .

i 1

i 1

b

f x d x

h

n

n 1

f x0

4 f x2i 1

2

f x2i f x2n .

a

3

i 1

i 1

Абсолютная погрешность метода Симпсона оценивается как

n

b a 5

M ,

180n4

где M – наибольшее значение

y 4

f 4 x

на отрезке [ a ; b ].

5

x

Примеры. 1.

Вычислить определенный интеграл

d x

0 x4

4

методом

импсона, разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение. Из

условия

мы знаем, что a =

0;

b

=

5;

n

= 5;

f x

x

.

x4

4

СибАДИ

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид

b

h

n

n 1

f x d x

f x0

4 f x2i 1 2 f x2i

f x2n .

a

3

i 1

i 1

Для ее пр менен я нео ходимо вычислить шаг h

b a

,

найти

2 n

узлы xi a ih , i 0; 1;...;2n

и вычислить соответствующие значения

подынтегральной функции f xi f a ih , i 0; 1;...;2n .

Промежуточные вычисления будем проводить с точностью до

четырех знаков (округлять на пятом знаке).

Итак, вычисляем шаг h

b a

5 0

0,5.

2 n

2 5

Теперь находим узлы значения функции в них:

x0 a ih 0 0 0,5 0 f

x0 f 0

0

0 ;

04

4

x1 a ih 0 1 0,5 0,5 f x1 f 0,5

0,5

0,12308 ;

0,54 4

…

x10 a ih 0 10 0,5

5 f x10 f 5

5

0,00795 .

4

5

4

Результаты расчетов приведены в табл. 1.

Таблица 1

i

0

1

2

3

4

5

xi

0

0,5

1

1,5

2

2,5

f xi

0

0,12308

0,2

0,16552

0,1

0,04806

i

6

7

8

9

10

xi

3

3,5

4

4,5

5

f xi

0,03529

0,02272

0,01538

0,01087

0,00795

Подставляем полученные результаты в формулу метода пара-

СибАДИ

бол:

5

x

h

n

n 1

x4 4

d x

f x0

4 f x2i 1 2 f x2i f x2n

0

3

i 1

i 1

0,12308 0,16552

0,2 0,1

0,3

0

4

0,04806 0,02272

2

0,03529

0,00795

3

0,01087

0,01538

5

x

Заметим,

что определенный интеграл

d x

можно вы-

0

x4 4

числить точно по формуле Ньютона–Лейбница:

5

x

1

5

d x2

1

x2

5

1

25

4

d x

2

arctg

arctg

0,37274 .

4

2

4

2

2

0 x

0

x2 4

0

4

Результаты совпадают с точностью до сотых.

3x

1

2. Вычислим теперь определенный интеграл

sin

d x

0

2

2

методом Симпсона с точностью до 0,001.

Решение.

В

нашем примере a

=

0;

b ;

f x sin

3x

1 ;

2

2

n

b a 5

M ,

180n4

где M – наибольшее значение

y 4

f 4 x

на отрезке [ 0; ].

Найдем такое n, для которого будет выполняться неравенство

СибА

ДИ

n

b a 5

M 0,001.

180n4

n4

b a 5

M .

0,18

рования.

3x

1

3

3x

f x

sin

cos

2

2

2

2

f

3

3x

9

3x

cos

sin

x

2

2

4

2

f

9

sin

3x

27

cos

3x

x

4

2

8

2

27

81

3x

f 4 x

3x

cos

sin

.

8

2

16

2

Областью значений функции f

4 x

81

sin

3x

является интер-

16

2

81

81

интегрирования [ 0; ] содержит

вал

;

, при этом отрезок

16 16

точки экстремума, поэтому M

81

.

16

Подставляем найденное значение в неравенство для нахождения

n и реш м его:

n4

b a 5

M

n4

0 5

81

0,18

0,18

16

n4 8606,8037

n 9,6319 .

ных вычислениях округление

удем проводить на шестом порядке.

Вычисляем шаг h

b a

0

.

2 n

2 10

20

Теперь находим узлы

значения подынтегральной функции в

узлах:

x

a ih 0 0

0 f x

f 0 sin