Раздел V. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

температуры, то dQ 0, если

U

0 , и dQ 0, если

U

0 .

n

n

чаемой элементом dV

за время dt , пропорционально повышению

температуры в этом элементе и массе самого элемента, то есть

dQ Ut dt dV

,

(75)

СибU dV Аa U ДU U dVИ,

сти, называемый теплоемкостью вещества.

Из равенства (75) следует, что

Q dt Ut dV .

V

Так м образом, получаем

Ut dV a2

U dS ,

V

S

n

где

a 2

k

.

Учитывая,

что

U

gradU

n

gradU U x i U y

j U z k , преобразуем полученное равенство к ви-

ду

a

2

cos

Ut dV

U x

U y cos U z cos dS .

V

S

Заменив правую часть с помощью формулы Остроградского-

Гаусса, имеем

2

t

xx

yy

zz

V

V

или

U t

a

2

U xx U yy U zz dV 0

Ut a

2

U xx U yy U zz ,

2

(76)

Ut a U xx .

Для уравнен я (76)

можно поставить следующие краевые за-

дачи:

Первая краевая задача.

Для воспро зведен я в део нажмите на кнопку

Найти решение уравнения (76), удовлетворяющее начальному

условию

U (x, 0) f (x)

(77)

(в начальный момент времени t

0 задано распределение темпера-

туры по всей длине стержня 0 x l )

и граничным условиям

U (0, t) U1;

U (l, t) U 2

(78)

(на концах стержня x 0

x l

в любой момент времени t 0 из-

~

0 U

~

l U l, t 0

;

U x (0, t) h U

0, t 0; U x (l, t) h U

(на концах

x 0 и

x~ l

задан теплообмен со средой; h – коэффи-

С

циент теплообмена; U – температура среды).

ничным

2. Решен е первой краевой задачи для уравнения

параболического типа методом Фурье

б

Краевую задачу (76), (77), (78) будем решать методом разде-

ления переменных (метод Фурье), представляя искомое решение в

виде произведения двух функций

А

(80)

U (x, t)

X (x) T (t) .

Вместо граничных условий (5) рассмотрим вначале нулевые

граничные условия

Д

U (0, t) U (l, t)

0 .

(81)

Предполагаемое решение (80)

подставим в уравнение (76),

получим X (x) T (t) a

X (x). Или, разделяя переменные,

И

T (t)

X (x)

2 0,

(82)

a 2T (t)

X (x)

an 2

n x

С

t

l

U (x, t) Cn е

sin

,

(89)

n1

l

где

n C1C3 . Коэффициенты Сn для каждого n определим из на-

чального услов я (77):

выражение

n x

U (x, 0) Cn

sin

l

f (x) .

(90)

n1

Рассматр вая

(90) как разложение в ряд Фурье не-

б

четной на l, l пер одической функции

f (x) , найдем коэффици-

енты разложен я в

де

2 l

n

Cn

f (x) sin

x dx,

n = 1, 2, … .

(91)

l

l

0

Д

Найдем решение первой краевой задачи с ненулевыми гра-

U (x,

t) (x,

t)

U

(x) ,

(92)

где (x, t) удовлетворяет

И

уравнению (76), начальному условию

t) 0, t 0, а

функция U (x) , называемая стационарной температурой, удовлетво-

ряет уравнению

(93)

и ненулевым граничным условиям (78):

U

(0) U1 ;

U

(l) U 2 .

0 x l ,

U

(x) ax b ,

ных условий (77):

U

(0) b U1 ;

U

(l) al b U 2 .

Отсюда b U1 ;

a U 2 U1 l .

Тогда решение уравнения (93) с условиями (77) запишется в

виде

С

U 2

U1

x U

, 0 x l ,

(94)

U (x)

1

и

U

an 2

n

U

2

1

t

U (x, t) U1

x

Cn

е

l

sin

x ,

(95)

l

l

n1

где Сn находятся по формуле (91).

А

3. Решение второй краевой

задачи

для

уравнения

Общее решение уравнения теплопроводности (76) имеет вид

Д

(87). Коэффициенты , С1, С2, С3 определим из граничных условий

(79) и начального условия (77). Производная по x решения (89)

имеет вид

a2 2t

( C3 cos x C2

sin x)

.

(96)

U x (x, t) C1е

И

Подставим выражение (96) в граничные условия (79):

a2 2t

C3

0 .

(97)

U x (0, t) C1е

Соотношение (97) выполняется для любого t 0

при С3

0.

C2 sin x 0 .

(98)

U x (l, t) C1е

Предполагая

С2

0

(иначе получим

тривиальное решение

U (x, t) 0), из равенства (98) имеем sin l 0 , или

n

, где n =

l

= 1, 2, … . Итак, решение второй краевой задачи имеет вид

С

a

2 n 2

n

t

U (x, t)

C1е

l

C2 cos

x при n = 0, 1, 2, … .

l

снова получим ре-

виям n0

l

шен е д фференц ального уравнения (76), удовлетворяющее усло-

(79):

an l

2

n x

U (x, t) Cn е

t

cos

,

(99)

где Сn C1C2 . Коэффициенты Сn ряда (99) определим из началь-

ного услов

я (77):

U (x, 0) Cn

cos

l

f (x) .

(100)

n0

Д

ряд Фурье периодическойА, четной на l, l функции f (x)

с коэф-

фициентами Сn , которые, как известно, определяются по форму-

лам:

И

1 l

n 0;

C0

f (x)dx

при

0

(101)

2 l

n

Cn

f (x) cos

x dx

при

n 1, 2, ... .

l

0

l