Раздел I. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Различают два класса нелинейных уравнений – уравнения ал-

С

гебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями на-

зывают уравнения, содержащие только алгебраические функции –

целые, рац ональные, иррациональные, в частности многочлен.

Уравнен я, содержащ е тригонометрические, показательные, лога-

рифмическ е

другие неалгебраические функции, называются

При

трансцендентными.

Методы решен я нелинейных уравнений делятся на две группы:

точные методы

терационные методы.

способы

решен

уравнений итерационными методами за счет се-

рии последовательных при лижений получают решение с необходи-

мой точностью.

Точные методы решения основываются на поиске

мер, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с проти-

А

воположным знаком, деление

еих частей уравнения на одинаковое

число, не равное нулю. Точные

решений позволяют записать

ческие или численные методы приближенного решения с заданной

точностью. В первую очередь это относится к большинству трансцен-

дентных уравнений. Отметим, что доказан факт, что нельзя построить

И

формулу для решения произвольного алгебраического уравнения

выше четвертой степени.

Д

да f x 0 , где f x

– некоторая непрерывная функция, корень или

корни этого уравнения являются точкой или точками пересечения

графика функции с осью абсцисс.

С

Пусть имеется уравнение вида

f x 0 ,

чения

где

f x – алгебра ческая или трансцендентная функция.

Реш

ть уравнен

е –

значит найти все его корни, то есть те зна-

x,

которые

о ращают

уравнение в

тождество.

Если уравнен е достаточно сложно, то задача точного определения

б

корней является в некоторых случаях неразрешимой. Поэтому ста-

вится задача найти такое при лиженное значение корня xпр ,

которое

отличается от точного значения корня x0 на величину, по модулю не

превышающую указанной точности

(малой положительной вели-

чины), то есть

x0 xпр

.

Величину также называют допустимой ошибкой, которую

можно задать по своемуАусмотрению.

Рассмотрим задачу решения уравнения

s i nx

1

,

где угол x

x

задан в

градусах.

Это

уравнение

можно

переписать

в виде

И

1

0. Для графическогоДотделения корней достаточно

sin

x

180

x

1

построить график функции y sin

x

(рис. 1).

180

x

шения.

С

Функциональное

уравнение

может быть

записано в виде

f x x . Функцию

f

x

называют сжимающим

отображением.

Последовательность

ч сел

x0 , x1,…, xn

называется итерационной,

если для любого номера n 0 элемент xn

выражается через элемент

ли

xn 1 по рекуррентной формуле

xn f xn 1 ,

а в качестве x0

взято лю ое число из области задания функции

f x .

Получ

рекуррентное соотношение для нахождения корня

уравнен я f x 0 методом итераций.

А

Пример.

Для

решения

уравнения

sin x

1

построить

рекур-

рентную формулуб.

x

Решение. Уравнение перепишем в форме

x

1

. Ре-

sin

x

Д

180

куррентная формула решения уравнения методом последовательных

приближений имеет вид

И

xn

1

.

sin

xn 1

180

3. Метод Ньютона (метод касательных) решения уравнения

Пусть функция y f x непрерывна и дифференцируема на от-

резке [ a , b ] и выполняется условие

f a f b 0 . Предположим, что

известно начальное приближение x0

корня уравнения f x 0 ..Пусть

СибАДИ

x

n

x

n 1

f

xn 1

.

f

xn 1

Получ ли рекуррентное соотношение для нахождения корня

уравнен я f x

0 методом Ньютона.

Процесс продолжаем до тех пор, пока не будет достигнута тре-

буемая точность выч сления.

Граф ческая

нтерпретация метода касательных представлена

на рис. 2.

Рис. 2

1

Пример.

Для уравнения

f x sin

x

0 производная

180

x

1

равна f x

cos

x

.

180

x2

180