На основании закона (129) получаем

J grad .

(131)

Из равенств (128) и (131) следует

div( grad ) 0,

или

ли

С

xx yy zz 0.

Получ

уравнение Лапласа.

б

найдем функц ю , а по формулам (131) и (130) найдем ток J и

электр ческую с лу E .

А

3. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Введем в рассмотрение цилиндрические координаты (r, , z):

x r cos ;

Д

x r sin ;

z z

или

r

x2 y2 ;

arctg

y

;

z z .

(132)

И

*

*

U

U x U r

rx

x ;

U

*

rr

2

U

*

2 U

*

r

U xx

rx

r

rxx

rx

x

С

U *

,

(133)

x

xx

аналог чно

U

*

2

U

*

2 U

*

r

U yy

rr

ry

r

ryy

ry

y

б

*

2

*

и

,

(134)

U

y

U

yy

кроме того,

*

.

(135)

U zz U zz

,

находим из ра-

венств (132). СкладываяАправые части равенств (133) – (135) и при-

равнивая сумму к нулю [так как сумма левых частей этих равенств

равна нулю в силу уравнения (115)], получаем

*

*

*

*

U

1

U

1

ДU U 0 . (136)

rr

r

r

r 2

zz

Если функция U не зависит от z и зависит от x и y, то функция

U * , зависящая только от r и , удовлетворяетИуравнению

U *

1

U *

1

U *

0 ,

(137)

rr

r

r

r 2

Найдем теперь решение уравнения

Лапласа

в области

D

(кольце),

ограниченной

окружностями

K :x2

y2 R2

и

1

1

K

2

: x2 y2

R2 , принимающее следующие граничные значения:

2

U

K1

U1 ;

(138)

U

U2 ,

(139)

и

K2

Сгде U1 U2 – постоянные.

Будем решать задачу в полярных координатах. Очевидно, что

решен е не зав с т от . Уравнение (23) в этом случае примет вид

1

0 .

U rr

r

U r

А

Интегрируя это уравнение, найдем

U C1 ln r C2 .

(140)

Д

Определим С1

и С2 из условий (24), (25):

U1 C1 ln R1 C2 ,

U2 C1 ln R2 C2 .

Отсюда находим

C

U 2 U1

;

C

U

U

U

ln R1

U1 ln R2 U 2 ln R1 .

2

1

2

1

1

R2

R2

R2

ln

ln

ln

R

R

R

1

1

1

Подставляя найденные значения С1Ии С2 в формулу (140),

ln

r

U

ln

r

U

ln

r

2

R1

R1

1

R2

U U

(U

U

)

.

(141)

1

2

R2

1

R2

ln

ln

R1

R1

2

r Urr rUr U 0 .

Решаем уравнение методом Фурье (разделение переменных).

Допустим, что частное решение ищется в виде U Q(r) T ( ) . То-

2

Разделяем переменные:

r

2

T ( )

Q (r) r Q (r)

.

ния

Q(r)

T ( )

Пр равн вая каждую часть полученного равенства к постоян-

ной k 2 , получаем два о ыкновенных дифференциальных уравне-

:

б

2

0 ;

T ( )

k T ( )

А

r

2

2

Q(r) 0 .

Q (r) r

Q (r) k

Отсюда при k 0 имеем

Д

T ( ) A B ;

(142)

Q(r) C Dln r .

(143)

Если k 0, то

И

T ( ) Acos k Bsin k ,

(144)

а решение второго уравнения будем искать в виде Q(r) r m , что

дает r 2m(m 1)r m2 rmr m1 k 2r m 0

или r m (m2 k 2 ) 0 ,

то есть

Q(r) Cr k Dr k .

(145)

и (145) должно быть

D 0,

так как в противном случае функция

С

имела бы разрыв в точке r 0 и не была бы гармонической в круге.

Итак, мы получили бесчисленное множество частных решений

уравнен я (115),

непрерывных в круге, которые можно записать в

виде

функцию

A0

U0 (r, )

2

;

U

n

n

n

б

Состав м теперь

A0

А

2

n1

n

n

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа

также служит его решением.

Д

Остается определить величины

0,

n, Вn так, чтобы эта функ-

ция удовлетворяла условию U

r R f ( ) , то есть

A0

f ( )

A cos n B sin n Rn .

2

n1

n

n

Здесь мы имеем разложение функции f ( ) в ряд Фурье в

промежутке

A0

1

f ( )d ;

1

f ( ) cos n d

An

;

Rn

И

(147)

1

Bn

f ( )sin n d .

Rn

С

1

1

r n

)

f ( )

cos n( ) d .

U (r,

2

n1 R

Упрост м

полученный

результат.

Полагая

r

;

t ,

R

представ м выражен е в квадратных скобках в виде

1

1

n cos nt n cos nt

.

2

2

n1

n0

и

Рассмотр м ряд

eit

n n cos nt i n sin nt .

n0

n0

n0

Этот ряд сходится при

1, и его сумма равна

1

1

.

it

1 cost i sin t

2

1

e

1

2

cost

А

Следовательно,

1

1 cost

1

1

2

n cos nt

2

2

2

2

cost

2

2

n0

1

2 1

cost

Д

или, возвращаясь к прежним обозначениям, получим

U (r, )

1

f ( )

R2 r 2

d .

(148)

2

R

2

)

2

2Rr cos(

r

И