Раздел IX. КОРРЕЛЯЦИЯ

выявлен я связи между случайными переменными и оценки ее тесно-

ты. В общем случае две величины могут быть связаны функциональ-

ной зав мостью, л бо зависимостью другого рода, называемой ста-

С

,

л

зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изме-

нение распределен

я другой. Статистическая зависимость, при кото-

рой изменен

одной з величин влечет изменение среднего значения

Междубвеличинами, характеризующими экономические явле-

ния, в большинстве случаев существуют зависимости, отличные от

функциональных. Действительно, в экономике закономерности не

проявляются так же точно и неизменно, как, например, в физике, хи-

мии или астрономии.

А

Коэффициент корреляции – это числовая характеристика, тесно

связанная с понятием случайной величины, а точнее, с системой слу-

чайных величин. Поэтому для введения и определения их значения и

роли необходимо пояснить понятие системы случайных величин и

указать некоторые свойства, присущиеДим.

Две или более случайные величины, описывающие некоторое

явление, называют системой или комплексом случайных величин.

Систему нескольких случайных величин X ,Y , Z,...,W принято обо-

висимости – вероятностной зависимостью. Если величина Y связана с

величиной Х вероятностной зависимостью, то, зная значение Х, нель-

А

зя точно указать значение Y , а можно указать её закон распределения,

зависящий бот того, какое значение приняла величина Х.

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной,

по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все бо-

лее приближается к функциональной. Функциональную зависимость

можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тес-

ной вероятностной зависимости.

крайний случай – полная не-

Функцией распределения двумерной случайной величины назы-

вается

функция F x, y p{X x ; Y y} p X x & Y y . Гео-

метрически это означает, что значение F x, y равно вероятности по-

С

падания в часть плоскости, находящуюся ниже и левее точки с коор-

динатами точки x, y .

войства функц

распределения F x, y :

1.

0 F x, y 1

[так как F x, y – это вероятность].

Например

2.

При ф кс рованной одной переменной F x, y не убывает по

другой переменной.

, если y фиксирован и если x1 x2 , то

F x1, y F x2 , y .

3.

F ; y F x; F ; 0 .

4.

F ; 1.

5.

F x; F1 x – функция распределения случайной величи-

ны X ;

F ; y F2 y – функция распределения случайной величи-

6. p x X x ; y Y y

F x : y

F x ; y

F x1; x2 .б1 2 1 2 2

2

1

2

2 1

Понятие функции распределения может быть определено как

ДF

для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Функция распределенияАнепрерывной двумерной случайной ве-

личины непрерывно дифференцируема, для нее определена произ-

водная второго порядка Fxy x, y .

Плотностью распределения непрерывной двумерной случайной

2

величины называется функция f

x, y

x

y

x, y Fxy x, y .

Свойства плотности распределения f x, y :

1.

f x, y 0 .

И– плоская область.

2.

p x, y D f x, y dx dy , D R

2

D

x

y

3. F x, y dx f x, y dy .

x, y dy 1 – площадь подграфика равна 1.

4.

dx f

x, y dy f1 x – плотность распределения случайной ве-

5.

f

С

x, y dx f2 y – плотность распределения случайной

личины X ;

f

величины Y .

если

лучайные вел ч ны

X

и Y

называются независимыми, если

событ я X x

Y y

независимы.

Теорема. С стема случайных величин X ,Y независима, если и

только

выполняется одно из условий:

F x, y F1 x F2

y или

f x, y f1 x f2

y .

3. Ч словые характеристики случайных величин

Числовыебхарактеристики случайных величин служат для ис-

следования свойств как отдельных случайных величин, так и их сис-

темы.

Д

МатематическоеАожидание двумерной случайной величины:

а) если X ,Y – дискретная двумерная случайная величина, то

n

m

n

m

M X mx xi pij ;

M Y my yi pij ,

i 1 j 1

i 1 j 1

где pij

p X xi ,Y y j ;

б) если X ,Y – непрерывная двумерная случайная величина, то

M X m

x

x, y dx;

y

dx

x f

M Y Иm dx y f x, y dx.