Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2343.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

5.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3327 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Для сравнения по формуле (180) получим оценку

(t) (t) 0;

f (4) (x) 4 sin x ; M

4 .

0,025

U U

97,22 0,01 0,0081.

5. Метод прогонки для уравнения теплопроводности

ями

0 t T найти решение

Пусть требуется в полосе 0 x а ,

уравнен (170) t

x 2

, удовлетворяющее условиям (171), (172).

Выб раем шаги h и l по аргументам x и t соответственно, в каж-

дом внутреннем узле заменяем производные конечно-разностными

отношен

, выч сляем значения функций f (x) ,

(x) , (x)

в гра-

ничных узлах

, о означив

, получаем разностную схему

Ui 1, j 1

(2 S)Ui, j 1

Ui 1, j 1

SUi, j

0 ,

(183)

i = 1, 2, … , n;

j = 0, 1, 2, … ,

причем

Ui,0 f (xi ) ;

(184)

0, j

Д(t ) ;

(185)

U n, j

(t j ) .

(186)

Метод прогонки решения системы (183) – (184) заключается в

том, что уравнение (183) приводится к виду

Ui, j 1

ai, j 1 bi, j 1 Ui 1, j 1 ,

(187)

где числа ai, j 1, bi, j 1

определяются последовательно по формулам

188

;

) SU ;

(188)

j 1

ai, j 1

;

bi, j 1

ai 1, j 1 bi 1, j 1 SUi, j .

(189)

ai 1, j 1

Затем из краевого условия (186) находим U n, j 1 (t j 1 ) и по-

следовательно определяем значения U i, j 1 , i = n–1, … , 1 по формуле

(187).

если

Так м образом, метод прогонки позволяет определить значения

U (x, t) на слое t

t j 1 ,

известны ее значения на слое t t j .

Порядок решения задачи

Прямой ход. Используя краевые условия (185), по формулам

(188), (189) наход м ч сла a1, j 1 , b1, j 1 ,

ai, j 1, bi, j 1, i = 2, 3, … , n.

Обратный

ход.

Из краевого

условия

(186) получаем

n, j 1

(t ) . Затем по формуле (40) вычисляем

бj 1

Un 1, j 1

Un, j 1

bn 1, j 1

an 1, j 1;

n 2, j 1

n 1, j 1

2, j 1

n 2, j 1

(190)

. . .

1, j 1

2, j 1

1, j 1

Пример. Методом прогонки найти решение уравнения

x 2

удовлетворяющее условиям

U (x, 0) 4x(1 x) ;

U (0, t) U (1, t) 0.

189

			Решение. Выберем h 0,1;																	l 0,01. Следовательно,											S		h2	1.
			Решение. Выберем h 0,1;																	l 0,01. Следовательно,											S		l	1.
																																	l
	Найдем методом прогонки значения функции U (x, t) на слое t 0,01.
			Прямой ход. Записываем в строке Ui,0 табл. 32 значения на-
С													0, 1, … , 10. Находим по формулам (188)
	чальной функции							f (xi ), i					0, 1, … , 10. Находим по формулам (188)
	при j		0 ч сла а							1		;	b		U							0,36 . Затем по формулам (190)
							1,1		3				1,1						1,0
		j 0 последовательно вычисляем																						bi,1 :
									а							1								3	0,375 ;
									а		2,1				3 a1,1										0,375 ;
											2,1												8
																							8
				б																						0,64		0,76 ;
					b			a				b			U		2,0						0,12			0,64		0,76 ;
	при2,1 1,1 1,1																2,0
									А
									а3,1					1									1			0,381 ;
													3 a2,1									2,625
				b3,1	a2,1 b2,1							U3,0				0,375 0,760 0,840													1,125 .
																		Д
			Результаты вычислений вносим в табл. 32.
																																Таблица 32
	i	0		1	2				3					4								5				6		7		8		9			10
	Ui,0	0		0,360	0,640				0,840					0,960							1,000					0,960		0,840		0,640		0,360			0
	аi,1																										И
	аi,1	0		0,333	0,375				0,382					0,382							0,382					0,382		0,382	0,382		0,382			0
	bi,1	0		0,360	0,760				0,125					1,389							1,153					1,544		1,430	1,186		1,813			0
	Ui,1	0		0,310	0,572				0,764					0,882							0,921					0,882		0,764	0,571		0,310			0
			Обратный ход. Из краевых условий получаем U10, 1 0 . Значе-
	ние Ui,1 , i 9,8,…,1 вычисляем по формулам (190) при j 0:
				U9,1		(U10,1 b9,1 )a9,1															0,813 0,382 0,310 .
				U8,1 (U9,1					b8,1 )a8,1							(0,313 1,186) 0,382													0,571 .

190

. . .

U1,1 (U 2,1 b1,1 )a1,1 (0,572 0,360) 0,333 0,310 .

6. Решение уравнения движения грунта

Пусть одномерное перемещение частиц пластически сжимаемого грунта происходит параллельно оси x (рис. 22), тогда это движение описывается уравнен ем в частных производных

С					P	,	(191)
						,	(191)
		t		x	x
где Р, , – давлен		е, плотность и скорость движения частиц грун-
та; t – время.
и							B

б
б
	x			0
	x
	А
			Рис. 26

Такое движение грунта имеет место, например, при его взаимодействии с рабочими органами дорожно-строительных машин.

Важным для практических приложений, в частности для описа-
		Д
ния динамики какого-либо процесса взаимодействия, изменяющегося
во времени, является случай нестационарного движения, когда
	t, x0 0		t .		(192)
				И
В этом случае решение дифференциального уравнения (191), за-
писанного в виде
	G t Ф x		G t H x 2 ,		(193)
t	G t Ф x	x	G t H x 2 ,		(193)
t		x

191

где Ф(х), H(х) и G(х) – некоторые известные функции, удовлетворяющие начальному условию (192), можно получить в виде неявной функции

h(x)

f (x)

h(x

)

g1 0

0 ,

(194)

g1 (t)

f2 (x)

H ( x)

2 (x)

Ф( x)

где f2 (x) e

;

h(x)

dx;

g1 (t) G(t)dt ;

– об-

при

Ф(x)

ратная функц я для .

Выражен е (194) представляет собой решение задачи Коши для

уравнен я (193)

начальном условии (192).

Пр мер. Пусть нестационарное движение грунта представлено

дифференц альным уравнением

t 2 ,

(195)

бt x x

решение которого удовлетворяет начальному условию

t, 1 t .

(196)

Найти решение задачи (195), (196).

Решение. Найдем решение по формуле (194).

Для задачи (195), (196) вид используемых функций

Ф(x) x

1; H (x) 1; G(t) t ;

f (x)

2 1

;

(1) 2

; h(x) x

2 ;

h(1) 2

2 ;

g(t)

Тогда искомое частное решение задачи (195), (196) по формуле (194) будет иметь вид

192

t 2

Или в явном виде

2 x2 1

2 2

представить

Постав м теперь олее о щую задачу. Пусть функции (x, t) и

P(x, t) можно

как

(x, t) (x), (x);

P f (x)g(t) 2 ,

где (x) , (x) ,

f (x) , g(t) – некоторые заданные функции.

Тогда уравнен е (191) примет вид

2 g(t)

df (x)

2 f (x)g(t)

(197)

(x) (t)

Введем обозначения

Аdf (x)

2 f (x)

F (x) ;

g(t)

G(t) ;

H (x) .

(198)

(x)

(t)

(x)

С учетом обозначений (198) уравнение (197) примет вид

1 F x G t

H x G t 2 .

(199)

Нахождение решения уравнения (199) в явном виде сопряжено со значительными трудностями, кроме того, неизвестно, существуют ли вообще такие решения. Поэтому рационально найти приближенные решения этого уравнения, содержащие произвольные константы.

С этой целью рассмотрим уравнение (193). Его решение будем искать методом Фурье в виде

193

u(x)g(t) ,

(200)

здесь u(x) и g(t) – некоторые функции.

Подставим выражение (200) в уравнение (199), получим

dg(t)

du(t)

G(t)g

(t) Ф(x)

H (x)u(x) 0 .

(201)

Подберем теперь функцию u(x) таким образом, чтобы выпол-

нялось равенство

Ф(x)

du(x)

H (x)u(x) C

(202)

где С1 – про звольная константа.

Решая д фференц альное уравнение (202), получаем решение в

виде

H ( x)

Ф( x)

u(x) C1e

dx C2

Ф( x)

(203)

Ф(x)

здесь С2 – произвольная константа.

Подставив u(x)	в уравнение (201), получим уравнение для на-
хождения функции g(t) :					И
хождения функции g(t) :
		dg(t)	C G(t)g 2		(t) 0.
			C G(t)g 2		(t) 0.
		t		1
		t
Откуда найдем вид g(t)
					1
	g(t) C1 G(t)dt C3					,	(204)

где С3 – произвольная константа.

Решение уравнения (191), содержащее три произвольные кон-

194

станты согласно формулам (200), (203), (204), имеет вид

H ( x)

Ф( x)

C e

dx C2

(205)

Ф(x)

G(t)dt C

Используя решение (205), найдем приближенные решения урав-

нения (199).
Решен е будем						скать в прямоугольнике a x b ; c t d . Ра-
вычисл
зобьем прямоугольн к a,b c, d на n m равных прямоугольников
Си м значен я функций F(x) и G(t) в узлах построенной сетки:
		x a					b a	i ,	i 0, 1, 2, ..., n ;
		x a						i ,	i 0, 1, 2, ..., n ;
	подберем
				i			n
		t	i		c d c j ,				j 0, 1, 2, ..., m.
			i				n
							n
					А
Затем						значения функции Ф(x), удовлетворяющие ра-
венству
					1 f (x)G(t) Ф(x)G(t) ,					(206)
								Д
и, вычислив значения						H (x) в точках xi , произведем интерполяцию
функций	H (x)	и Ф(x) полиномами, например, применяя метод наи-
	Ф(x)

меньших квадратов.

Таким образом, общим решением дифференциального уравне-

ния (199) является функция (205), в которой функции			H (x)	и Ф(x)

			Ф(x)
интерполированы полиномами для значений функции		Ф(x) , удовле-
творяющих равенству (206).	И

Решение (205) определяет скорость движения частиц сжимаемого грунта как функцию переменных х и t. Задавая начальные и граничные условия, можно найти скорость и давление на поверхности рабочего органа рассматриваемой дорожной машины.

195

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3327 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20215.77 Mб62339.pdf
#
07.01.2021362.66 Кб2234.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42340.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42341.pdf
#
07.01.20215.83 Mб912342.pdf
#
07.01.20215.89 Mб432343.pdf
#
07.01.20215.94 Mб52344.pdf
#
07.01.20215.95 Mб102345.pdf
#
07.01.20215.98 Mб362346.pdf
#
07.01.20216.02 Mб292347.pdf
#
07.01.20216.07 Mб442348.pdf