5. Примеры решения задач

однородной круглой пластине радиусом R, верхняя половина кото-

рой поддерживается при температуре 1 °С, а нижняя – при темпера-

С

туре 0 ° .

Решение. Краевая задача имеет вид (137)

2

r Urr rUr

U 0, при

0 r R ,

0 2 ;

решение

1,

0 ;

U (r R,

)

0.

0,

б

Найдем сначала

в виде ряда (146) с коэффициентами

(147). Для нашего случая коэффициенты разложения примут вид

A0 1 d 1;

B0 0

;

А

0

1

1

An

cos n d

sin n

0

;

Rn

Д

0

0

1

1

0,

n 2k;

Bn

Rn

sin n d

Rnn

cos n

2

,

n 2k 1.

0

0

n

R

n

И

Окончательно решение задачи получим в виде

1

2

r

U (r, )

sin( 2k 1) .

2

k 0 R2k 1 (2k 1)

1

R2 r 2

U

d .

2

2

2

0

R

2Rr cos(

)

r

0 ;

тогда

изменяется от – до – , и этот интервал

не содерж

т точек . Поэтому введем подстановку

1 t 2

2dt

Сtg t , откуда cos( )

1 t 2

;

d

1 t 2

2

1 ctg 2

R2 r 2

1

R r

ctg

2

R

2

А

1

R r

R

r

arctg

arctg

tg

R

r

2

R

r 2

Д

R r

tg

ctg

2

r

2

1

arctg

R r

2

2

1

arctg

R

,

R r 2

2Rr sin

1

И

R r

или tg(U )

R2 r

2

.

2Rr sin

творяет неравенствам

1

2

tg( U )

R

2 r

2

,

2Rr sin

или

U 1

1

arctg

R2 r

2

, 0 .

2Rr sin

Если

же

точка

расположена

в нижнем

полукруге, т.е.

2

, то

нтервал

( , )

изменения содержит точ-

и

Ску – , но не содерж

т 0, можно сделать подстановку сtg t ,

2

1 t

2

2dt

откуда cos( )

1

t

2

;

d

t 2

. Тогда для этих значений

1

имеем

tg

2

2

2

А

U (r, )

1

R

r

d

(R r)

(R r) t

ctg 2

1

R r

R r

arctg

tg

arctg

ctg

.

R r

2

R r

2

1

2

2

И

R r

Д

U

arctg

2Rr sin

,

2 .

Так как правая часть теперь положительна (sin 0) , то

0 U

1

.

2

2

2.

Найти решение уравнения

r Urr

rUr

U 0, удовле-

творяющее граничному условию

U (r R,

)

2,

0 ;

0.

10,

Решение. Найдем решение

в виде ряда (146), где коэффици-

енты пр мут в д

и

A0

f ( )d

10d 2d

0 ;

0

1

1

0

An

б

R

R

0

1

0

2sin n

0;

А

R

n

n

0

1

1

0

Bn

n

f ( ) sin n d

n

R

R

0

1

10 cosn

0

2 cosn

1

(8cos 0 8cos n )

R

n

0

R

n

n

n

И

1 ( 1)n

0,

n Д2k;

8

16

n 2k 1.

R

Решение нашли в виде ряда

16

2k 1

sin( 2k 1)

U (r, )

6

r

R2k 1 (2k 1)

.

k 0