С

и

Рис. 14

~ 2

Судя по остаточной сумме квадратов отклонений y y

из

табл. 22 и 23, квадратичная зависимость несколько лучше аппрокси-

мирует экспериментальные данные, так как для неё остаточная сумма

б

квадратов отклонений меньше, чем для линейной функции.

11. Задачи для самостоятельного решения

А

1. Дано дифференциальное уравнение y 3x y2 с начальным ус-

ловием y(0) 1. Найти первые четыре члена разложения решения в

степенной ряд.

Д

2. Дано дифференциальное уравнение y 5x y2 с начальным ус-

ловием y(0) 1. Найти первые четыре члена разложения решения в

y ychx 0;

б)

y(0) 1;

y x y;

в)

y(0) 1;

С

;

y

2x cos x2

г)

1.

y(0)

4. Найти пр бл женное решение уравнения

y x y ,

удовлетво-

ряющее начальному условию y(0) 0 , методом:

а) Эйлера;

б) улучшенным методом Эйлера;

в) Эйлера-

;

г) Пикара.

Коши

5. Найти пр

женное решение уравнения

y x y 2 ,

удовлетво-

ряющее начальному условию

y(0) 1, методом:

а) Эйлера; бл

б) улучшенным методом Эйлера;

в) Эйлера-Коши;

А

г) Пикара.

6. При x 0,7 найти методом Эйлера приближенное значение реше-

1

ния уравнения

y

2 y x в промежутке (0; 1),

удовлетворяющее на-

чальному условию y0 1 при

x0

0.

Д

7. Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой

y 1

дифференциальным уравнением

y

y x

при начальном условии

y(0) 1 (шаг 0,1). Ограничиться нахождением первых четырех значе-

ний y.

И

8. Методом Рунге-Кутта найти на отрезке 0,

0,5 решение диффе-

С

10.

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой

уравнением y 1 x y 2 , при начальном условии y(0) 1,

полагая

h 0,1.

2 y

11. Методом Эйлера найти численное решение уравнения

y

y

x

при

начальном услов

y(2) 4 , полагая h 0,1 (четыре значения).

12.

Методом Эйлера найти численное решение уравнения

б

y (x y)(1 xy)

на отрезке 0, 1

при начальном условии

y(0) 1,

x 2 y

А

полагая h 0,2 .

13.

Составить та лицу значений функции y,

определяемой уравнени-

2x

1 в промежутке 0, 1 ;

ем

y

y y , при начальном условии y(0)

шаг h 0,2 (применить метод Рунге–Кутта).

Д

14.

Методом Рунге–Кутта проинтегрировать уравнение

x2 y xy 1

при начальном условии

y(1) 0 в

промежутке 1, 2 ;

шаг

h 0,2

(точное значение y (x2

1) (2x) ).

Иx

15.

Методом

Рунге–Кутта

проинтегрировать

уравнение

4 y y 2

4x2 , y(0) 1

в промежутке 0, 1

с шагом h 0,1. Вычис-

ления выполнять с тремя верными знаками.

16.

Методом Рунге–Кутта проинтегрировать уравнение y

y 0,5y ,

y(0) 1

в промежутке 0, 1 с шагом h 0,1. Вычисления выполнять с

тремя верными знаками.

17.

Найти методом Адамса приближенные значения решения

урав-

нения y y 2 x2 , удовлетворяющего начальному условию

y(0) 0 .

Значения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

18. Найти методом Адамса приближенные значения решения уравне-

ния

y y 2

x ,

удовлетворяющего

начальному условию

y(0) 1.

С

Значения найти при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5.

19. Найти методом Адамса

приближенное значение y(1, 4)

решения

1

Найти

уравнен я

y

x

y e x , удовлетворяющего

начальному

условию

y(1) 1. равн ть полученный результат с точным решением.

бл

20.

пр

женные значения

x

t 1,4 и y

t 1,4 решений системы

уравнен й

dx y x;

dt

А

dy

x

3y,

dt

удовлетворяющих начальным условиям x 0;

y 1 при t 1.

21. Найти приближенные значения x(0, 2) и y(0, 2) решений системы

уравнений

И

dx

2x 3y;

Д

dt

dy

5x 6 y,

если

y(0) 1;

x(0) 1.

dt

22. Решить методом конечных разностей краевые задачи:

(2x 4) y x y 5x3 ;

а) y 0 2;

y

2 5;

(3x

2

7) y

x

3

y

5x 1;

б) y 1 2;

y 4 6;

x4 y

5x y 2x 11;

С

в)

y 1

12;

y 3 7;

Построи

23. Построить

нтерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона

по табл. 24.

Таблица 24

x

3,9

5,4

7,3

10,7

f(x)

3,84

6,53

7,04

8,50

б

24.

ть

нтерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона

по табл. 25.

Таблица 25

x

3,1

4,6

6,5

10,9

f(x)

2,84

4,53

6,04

5,50

25. В результате эксперимента получены значения искомой функции у

при нескольких значениях аргумента x (табл. 26).

Таблица 26

Д

x

1

2

3

4

5

6

7

А

y

7,8

7,9

6,8 7,5 6,8

7,9

8,0

Используя метод наименьших квадратов необходимо найти

функциональную зависимость между x и у

в виде линейной функции

у = ах + b.

И

26. В результате эксперимента получены значения искомой функции у

при нескольких значениях аргумента x (табл. 27).

Таблица 27

x

- 1

1

2

3

4

5

6

y

5,2

6,0

4,7

5,3

3,8

6,1

2,7

1.

Какие методы численного интегрирования обыкновенных

дифференциальных уравнений вы знаете?

2.

В чем заключается метод Пикара интегрирования обыкновен-

С

ных дифференциальных уравнений?

3. В чем заключается метод Эйлера и улучшенный метод Эйлера

интегр рован я обыкновенных дифференциальных уравнений?

4.

В чем заключается метод Эйлера – Коши интегрирования

фференциальных

обыкновенных д

уравнений?

5.

В чем заключается метод Рунге – Кутта интегрирования

обыкновенных д

уравнений?

6. В чем заключается метод Адамса интегрирования обыкновен-

ных д фференц

уравнений?

7.

В чем заключается метод приближенного решения системы

обыкновенных д

уравнений?

8.

В чем заключается метод конечных разностей решения обык-

новенного д фференц ального уравнения?

А

9. Что такое интерполяция?

10. В чембзаключается метод наименьших квадратов?

Д

И