Раздел VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

замены про зводных конечно-разностными отношениями.

Пусть в

Оxy имеется некоторая область G с границей

СГ. Постро м на

два семейства параллельных прямых (рис.

19).

x x0 ih , i = 0, ±1, ±2, … ;

б

y y0 kl, k = 0, ±1, ±2, … .

y

O

А

x

Г

G

Д

U U (x, y)

в

узлах

сетки

будем

обозначать

В каждом внутреннем узле

(x0 ih, y0

kl) заменим частные

производные разностными отношениями на основании формул

U i 1, k U i 1, k

U i, k 1 U i, k 1

.

(149)

U x ik

2h

; U y ik

2l

С

При этом в граничных точках будем использовать разностные

производные в да

и

U i, k 1 U i, k

U i 1, k U i, k

;

ik

.

U x ik

h

U y

Аналог чно заменяются частные производные второго порядка:

1

U i 1, j 2U i, j

U i 1, j ;

U xx xi , y j

hx2

А

1

U i, j 1 2U i, j

U i, j 1 .

U yy xi , y j

h

2

y

2. Решение

задачи

Дирихле в

прямоугольнике

U

0 ,

U

(150)

xx

yyД

где U U (x, y) определена внутри прямоугольника G:

G (x, y) ,

a x b ,

c x d ,

если на границе Г области

x a;

x b;

c y d;

Г

y d;

y c;

a x b

заданы граничные условия

U (x, y) f (x, y) ,

(x, y) Г .

(151)

2.

Построение сетки.

С

h

b a

;

h

d c

.

wТочки(h , h ) (р с. 20).

y

x

M

N

делен я

о означим:

xi

a ihx ,

i 0,

1, 2,

… , М;

y j c jhy

, j 0, …

, N. Проведем прямые

x xi

и y y j , парал-

б

лельные осям коорд нат. Совокупность всех узлов образует сетку

x

y

А

y

yN d

Д

yj

y3

(i, j)

y2

y1

y0 c

x1

x2

x3

xi

b xM x

x0 a

Рис. 20

И

Узлы

(i, j) , i 1,

2, . . . , M 1;

j 1, 2, . . . , N 1

являются

внутренними,

а узлы (i,

j)

при i 0

и i М ,

j 1, . . . , N 1 и при

j 0 и

j М ,

i 1, . . . ,

M 1 –

граничными. Вершины прямо-

угольника – точки (0, 0), (0, N), (M, 0), (M, N) – угловые узлы.

3.

Сеточная задача.

Вместо непрерывной функции U (x, y) будем рассматривать ее

определенные

значения

в

узлах

сетки

–

сеточную

функцию

Uij U (xi , y j

) , i 0, 1, … ,

М; j 0, 1, … , N. Во внутренних узлах

1

U

2U

U

1

U

2U

U

0 (152)

hx2

i 1, j

i, j

i 1, j

hy2

i, j 1

i, j

i, j 1

для внутренн

х узлов i 1, 2, . . . ,

M 1;

j 1, 2, . . . , N 1.

Гран чные услов я (151) на сетке примут вид

и

СUi, j

fi,

j

(153)

б

j 1, 2,

. . . , N 1;

для гран чных узлов

(i, j) ,

i 0

и

i М при

j 0

j N , i 1, 2, . . . , M

1, где

fi, j

f (xi ,

y j ) .

взяв среднее ар фмет ческое двух значений, полученных при движе-

А

нии к вершине по вертикальной и горизонтальной границам.

4. Метод итераций.

Из сеточного аналога уравнения Лапласа (4) выразим U i, j :

1

Д

2

2

U i, j

2 h2 h2 hy U i 1, j U i 1, j

hx U i, j 1 U i, j 1 ,

(154)

x

y

i 1, 2, . . . , M 1;

j 1, 2, . . . , N 1.

Для вычисления по формуле (6) применяется так называемая

схема «крест»: срединное значение U i, j

рассчитывается по четырем

соседним узлам (рис. 21).

Иj+1

j

i–1

i

i+1

по следующему

терац онному алгоритму

(k 1)

U

(k )

U

(k )

U

(k )

U

(k )

,

(155)

СU

i 1, j

i 1, j

i, j 1

i, j

1

i, j

hy2

hx2

где

2 h2 h2

,

2 h

2

h2 , k 0, 1, 2, … , K.

x

y

x

y

Итерац онный процесс (155) продолжается до такого номера К,

А

пока не будет достигнута заданная точность , то есть. будет выпол-

U (k 1) U (k )

U (k )

.

(156)

i, j

i, j

i, j

i, j

Д

Тогда

полагаем

U

i, j

U (k 1)

,

i 1, 2, . . . ,

M 1,

i, j

j 1,

2, . . . , N 1. Решение задачи получается в виде таблицы значе-

ний функции.

И

5. Выбор начального приближения.

Для начала расчета по формуле (155) необходимо задать на-

чальное приближение U

(0) , i 1,

2, . . . , M 1;

j 1,

2, . . . , N 1. На

ij

границе значения функции заданы по условию (153): U (0)

f

ij

, i 0

ij

и i М при j 1, . . . , N 1;

j 0 и j N при i 1, . . . ,

M 1.

мерно меняются от значения U (0)

f

0 j

до значения U (0) f

Мj

при

ij

Мj

U (0)

f

f М 1 f01

i ,

i 0, 1, … , М.

(157)

С

Таким образом, вычислим значения во всех узлах горизонталь-

ного проф ля j 1 (на рис. 22

эти узлы отмечены ).

и

Аналог чно заполняем первый вертикальный профиль, то есть

линейно

меняется от U11(0) , полученного из расчетов на горизонтальном профи-

ле, до U (0)

f

:

1N

б

1N

(0)

U (0)

U (0)

f1N U11

( j 1) ,

j 1, 2, … , N.

1 j

11

N

1

А

j=N

Д

j=1

i=0 i=1

j=0

i=М

Рис. 22

И

На рис. 22

значения

первого вертикального профиля отмече-

ны кружками.

Далее

рассчитываем

следующий

горизонтальный

профиль

j 2, а затем вертикальный

i 2 и так далее, двигаясь из нижнего