1

sin

xn 1

xn 1

xn xn 1

180

.

1

cos

xn 1

180

x2

180

n 1

4. Метод секущих (метод хорд) решения уравнения

Пусть функц я y f x непрерывна на отрезке [ xn 1

, xn 2 ], где

xn 1 ,

xn 2 – пр

бл женные значения корня уравнения f x 0 , и вы-

полняется услов е f xn 1 f xn 2 0.

точки xn 1 ; f xn 1

Проведем

хорду,

соединяющую

xn 2

; f xn 2 . Уравнение хорды

y f xn 2

x

x xn 2

.

f x

n 1

f x

n 1

x

n 2

n 2

Найдем координату пересечения хорды с осью Оx:

xn xn 1

f xn 1

xn 1 xn 2 .

f xn 1 f xn 2

Получили рекуррентное соотношение для нахождения корня

уравнения f x

0 методом хорд.

цов отрезка закреплен, то есть вычисление приближения корня урав-

СибАДИ

нения f x 0

производят по формуле

xn xn 1

f

xn 1

xn 1 x0 .

f xn 1 f x0

1

Пр мер.

Для уравнения

f x sin

x

0 рекуррент-

180

x

ные формулы пр л жения решения методом хорд имеют вид

sin xn 1

1

xn xn 1

xn 1

xn 1 xn 2 .

1

1

xn 2

sin xn 1

f

xn 1

xn 2

уравнения

Пусть

функция y f x

непрерывна на отрезке [ x0 , x1 ].

Ес-

ли x0 , x1 – приближенные значения корня уравнения

f x 0

вы-

полняется

условие f x0 f x1 0, то последующие

приближения

находится по формуле

xn 2

xn xn 1

2

рис. 4.

СибАДИ

Рис. 4

6. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

значений функции одной переменной

Пусть функция

y f (x) имеет в точке x отличную от нуля про-

изводную

lim

y

x

y x 0 . Тогда стоящее под пределом отноше-

x 0

y

y

ние x можно

представить в виде суммы x y x x , где

x является

бесконечно малой величиной при

x 0 ,

то есть

lim x 0 .

Это означает, что приращение функции y

можно

x 0

представить в виде

y y x x x x .

Таким образом,

приращение функции y представляет собой

СибАДИ

Поскольку приращение аргумента равно дифференциалу аргу-

мента dx= x , дифференциал функции одной переменной можно за-

писать в в

де

dy= y x d x .

Если пр ращен е аргумента x мало по абсолютной величине,

то dy y ,

мы получаем y y x x y x d y y x x

y x0 x y x0

(1)

y

x0 x .

Это

формула

при лиженного вычисления значения функции

y f (x)

в точке x0

x .

Примеры. 1. Покажем, как производятся приближенные вычис-

ления на примере вычисления 4 620 .

Решение.

Вычислять 4 620 будем по формуле (1). Рассмотрим

функцию y 4

x при x 620 625 5. То есть

x 625 ;

x 5 .

0

Находим y x y 625 4 625 5. Вычисляем производную:

0

4

1

1

1

y

x

;

y 625

.

Теперь

подставляем

44 x3

44 6253

4 125

найденные значения в формулу (1):

4 620 5

1

5 5 0,01 4,99.

4

125

Итак, 4 620 4,99.

2. Теперь по формуле (1) вычислим приближенно sin 183o .

Решение.

Используем

функцию

y sin x при

x 183o

180o 3o. То есть

x 180o ;

x 3o

3 .

0

180

60

Находим y x

sin 180o 0.

0

o

Вычисляем

производную:

y

sin x cos x ;

y 180

cos180o 1. Теперь используем формулу (1):

sin 183o

0

1 0,052.

СибАДИ

60

Получ ли sin 183o 0,052.

7. Пр бл женные вычисления с помощью дифференциала

значен й функц

нескольких переменных

По аналог

с л неаризацией функции одной переменной мож-

но при пр бл женном вычислении значений функции нескольких пе-

ременных, д фференц руемой в некоторой точке, заменять ее прира-

щение д фференц алом.

Полный дифференциал функции

z f (x1, x2 ,..., xn )

n перемен-

ных имеет вид

dz fx1 d x1

fx2

dx2 ... fxn dxn .

Поскольку dz z ; dxi

xi

при i 1, 2,..., n, получаем форму-

лу для приближенных вычислений

z fx1 x1

fx2

x2

... fxn xn .

x0 ; y0

y .

(2)

z x0 x; y0 y z x0 ; y0 fx

x0 ; y0 x f y