1

1

3 130 3 53 5 5 3 1

5 1 0,04

3

25

1

1

1

2

5

1

СибАДИ

5 1

1

0,04

3

3

0,0016

3

3

3

0,000064

3

2!

3!

5

1

0,02

1

0,008

5

0,00032 .

3

9

8!

3 130 5 0,0667 0,0009 5,066.

Отметим, что при решении ыло использовано разложение в ряд

1

функции 1 x

. Нашли, что 3 130 5,066.

3

степенные ряды. Покажем это на примерах.

Примеры.

1. Найти lim

sin x arctg x

.

x 0

x3

Используем разложения в ряды по степеням x функций sin x и

arctg x . Получаем

x

x3

x5

x

x3

x5

sin x arctg x

lim

lim

3!

5!

3 5

x3

x3

x 0

x 0

Заменяем функции ex и sin x

на их разложения в ряды Макло-

СибАДИ

рена, получаем

2 1 x

x

2

x

3

2e

x

2 2x x

2

2!

3!

lim

x sinx

lim

x

3

x

5

x 0

x 0

x

x

3!

5!

2x3

2x4

2

2x

3!

4!

3!

4!

lim

lim

2 .

x 0

x3

x5

x 0

1

x2

3!

5!

3!

5!

г) методом половинного деления.

4. Определить интервал длиной не больше 0,01, которому принадле-

жит действительный корень уравнения

1

ex x

1

0 .

4

4

СибАДИ

5. Провести три итерации метода половинного деления для решения

уравнен я x2 37,3 0

на отрезке 0;8 .

6. Нап сать формулу для вычисления с помощью полного дифферен-

циала значен я функц

y 4 x в точке x x .

0

13. На сколько изменятся диагональ и площадь прямоугольника со

СибАx Д2xИ

сторонами

x 6 м;

y 8 м, если первая сторона увеличится на 2 мм,

а вторая сторона уменьшится на 5 мм?

14. Центральный угол сектора

60o увеличился на

1o . На

сколько следует уменьшить радиус сектора R 20 см, чтобы площадь

сектора осталась ез

зменения?

15. Раскладывая функц ю в ряд, вычислить ее приближенное значе-

ние с точностью :

а) sin

1

; 0,001 ;

2

б) ln 1,04 ; 0,0001 ;

в) 5 1,1; 0,0001 ;

г) ln 2 ; 0,0001 ;

д) sin 9o ; 0,0001 ;

е) 3 1,06 ; 0,0001 .

16. Раскладывая функцию в ряд, вычислить пределы:

sin

x2

sinx

6

x2

1 cosx

а)

lim

;

) lim

2

2 ;

x6

x 0 ex 1 x

n

в)

lim

x arctgx

;

г) lim

e2 x3 cosx3

.

3

3

x 0

n

го дифференциала);

точное значение 1,0355.

10.

а)

x1 2,602 ;

x2 0,340 ; x3

2,262 ;

б)

x1 0,724 ;

x2 1,221;

в)

x 2,087 arctg119

o

35 ;

г) 0,824 .

11.

а)

x1 0,472 ; x2 9,999 ;

б) x 2,5062 ;

в) x 0,56715 ;

г) 1,199678 .

12.

а) 108,972 ;

б) 2,95 ;

в) 0,502 ;

г) 0,97 .

13.

Диагональ уменьшится при лизительно на 3 мм, площадь умень-

шится приблизительно на 140 см2.

14. Уменьшить на 1,7 мм.

15.

а)

0,479;

б) 0,0392;

в) 1,0192;

г) 0,6931;

д) 0,1564;

е) 1,0196.

16.

а) 1;

)

49

;

Си48 бАДИ

в)

1 ;

3

1.

Какие методы могут использоваться для уточнения корней

уравнения?

2.

В чем заключается метод последовательных приближений

(метод итераций) нахождения корней уравнения?

СибАДИ

3.

В чем заключается метод Ньютона (метод касательных) на-

хожден я корней уравнения?

4.

В чем заключается метод секущих (метод хорд) нахождения

корней уравнен я?

5.

В чем заключается метод половинного деления (метод дихо-

томии) нахожден я корней уравнения?

6.

Нап ш те формулу полного дифференциала для функции од-

ной действ тельной переменной.

7. Нап ш те формулу полного дифференциала для функции не-

скольк х переменных.

8.

Нап ш те формулу при лиженных вычислений с помощью

полного д фференц ала для функции одной действительной пере-

менной.

9.

Напишите формулу при лиженных вычислений с помощью