Раздел IV. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

С

Дифференциальное уравнение второго порядка в частных

производных функции двух переменных имеет вид

(37)

AU xx 2ВU xt CUtt

F(x, t, U , U x , Ut ) ,

области

где А, В, – в общем случае функции переменных x и t из не-

которой

G. Из уравнения (37) решение определяется неод-

В зависимости от коэффициентов уравнения (37) возникают

различные краевые задачи. Рассмотрим величину D =B 2 – A C . Если

D >0 , то уравнение (37) называется уравнением гиперболического

А

типа; если D =0 , то параболического; если D <0 , то эллиптического

типа.

2

Д

Простейшей формой (каноническим видом) таких уравнений

являются следующие:

Utt

а U xx

q(x, t, U , U x , Ut ) – гиперболический тип;

2

Ut

а U xx

q(x, t, U , U x ) – параболический тип;

Utt

U xx q(x, t, U , U x , Ut ) – эллиптический тип.

Для каждого из уравнений поставим корректные краевые за-

дачи и найдем их решения.

И

вующих на элемент ММ′,

будет равна T sin( ) T sin . Так

как угол φ мал, то можно предположить,

что tg sin , поэтому

С

получаем

U (x x, t)

T sin( ) T sin Ttg( ) Ttg T

x

и

U (x, t)

T

2U (x x, t)

x

T

2U (x, t)

x,

0 1.

x

2

x

2

x

скобках

К выражен ю,

стоящему в

,

применили

теорему Ла-

гранжа.

Чтобы получ ть уравнение движения, нужно внешние силы,

А

приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – ли-

нейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет ρ∆x.

, следовательно, по принципу Далам-

Ускорение элемента равно U tt

бера, будем иметь xUtt TU xx x . Сокращая на ∆x и обозначая

T

a 2 , получаем уравнение движения

2

Utt a U xx .

И

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебания струны.

Функция U(x, t) описывает отклонениеДот положения равнове-

сия каждой точки x,

0 x l , струны в момент времени t 0, l –

длина струны; а2 характеризует скорость распространения волны.

Если на струну воздействует вынуждающая сила, мощность

источников которой характеризуется функцией q(x, t), то уравнение

колебания струны имеет вид

2

q(x, t) .

Utt

a U xx

(38)

С

U(x, 0) = f (x), x <0 < l .

(39)

− Задано отклонение каждой точки струны от положения равнове-

сия в момент времени t =0:

и

Ut (x, 0)

(x),

0 x

l .

(40)

− Заданы скорость каждой точки струны в момент времени t =0 и

гран чные услов я:

б

U (0, t) 0;

U (l, t) 0;

t 0 .

(41)

− Концы струны x =0 и x = l жестко закреплены.

А

2. Вторая краевая задача.

Найти решение уравнения (38), удовлетворяющее в области

t >0 , 0 < x < l начальным условиям (39), (40) и граничным условиям:

t 0.

(42)

U x (0, t) 0;

U x (l, t) 0;

− Концы струны свободны.

Д

3. Задача Коши.

Найти решение уравнения

(38)

для

бесконечной

области

x

, t 0, удовлетворяющее в области x начальным

И

условиям (39), (40). Граничные условия отсутствуют.

2

(43)

Utt (x, t) a U xx (x, t)

С

Уравнение (43) с помощью замены (44) приводится к виду

(45)

U 0 .

Общее решен е уравнения (45) можно записать в виде

из

U ( , ) Ψ1( ) Ψ2 ( ) ,

где 1, 2

– про звольные функции одной переменной, определим

б

их начальных услов й. Переходя к прежним переменным, най-

дем

U (x, t) Ψ1(x at) Ψ2 (x at) .

(46)

При t =0 из начального условия (3) имеем

U (x, 0) Ψ1(x) Ψ2 (x) f (x) .

(47)

Определим производную по t для решения (46):

Д

U

(x, t) a Ψ

(x at) Ψ

(x at)

t

А1 2

и воспользуемся начальным условием (40):

И

(x) Ψ

(48)

Ut (x, 0) a Ψ1

2 (x) (x) .

Выражение (48) проинтегрируем по x в пределах от 0 до x:

Ψ1(x) Ψ1(0) Ψ 2 (x) Ψ 2 (0)

1

x

(x)dx C ,

(49)

a

0

где C Ψ1(0) Ψ2 (0) – постоянная величина.

Складывая и вычитая выражения (47) и (49), получим

1

x

2Ψ1(x) f (x)

(x)dx C ,;

(50)

a

0

1

x

2Ψ 2 (x) f (x)

(x)dx C .

(51)

a

0

Выражения для 1 и 2 из равенств (50) и (51) запишем для

любого t 0, вспоминая, что Ψ1 Ψ1( ) Ψ1(x at) ;

Ψ2 Ψ2 ( )

Ψ2 (x at) , и подставим в искомое решение вида (46):

1

1

x at

C

U (x, t)

f (x

at)

(x)dx

2

2a

0

2

x at

С

1

1

C

f (x at)

(x)dx

.

2

2a

0

2

Преобразуем

последнее выражение и получим формулу Да-

иламбера:

1 x at

f (x at) f (x at)

А

U (x, t)

(x)dx ,

(52)

2

2a x at

где x ( , ),

t 0 .

Итак, решение задачи Коши для волнового уравнения (43)

Даламбера

выписывается в виде формулы

(52).

4. Решение

первой

краевой

задачи для

уравнения

гиперболического типа методом Фурье

И

Уравнение (43) будем решать в области 0 < x < l , t >0 , где

l –

конечное число, т.е. для конечной струны, с начальными условиями

(39), (40) и граничными (41).

Идея метода Фурье (разделения переменных) состоит в том,

что решение уравнения (43) ищется в виде

U (x, t) X (x) T (t) ,

(53)

T (t)

X (x)

2

0.

(54)

a 2T (t)

X (x)

ределенной пока отр цательной константе [при выборе положи-

соотношения

тельной постоянной решением задачи (54), (41) является тождест-

Свенный ноль]. Из

(54) можно написать два независи-

мых друг от друга д фференциальных уравнения:

б

2

2

T (t) 0;

(55)

T (t) a

2

X (x) 0 .

(56)

X (х)

А

Имеем два о ыкновенных дифференциальных уравнения вто-

рого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические

уравнения для уравнений (55), (56) и их корни соответственно

имеют вид

Д

k 2 a2 2 0,

1.

отсюда

k

ia ;

1,2

2.

p 2 2 0 ,

отсюда p

i .

1,2

Тогда общие решения для уравнений (55), (56) примут вид

T (t) C1 cos a t C2 sin a t ,

t 0;

(57)

X (x) C3 cos x C4 sin x ,

0 x l .

(58)

Постоянные , С1, С2, С3, С4 определимИиз граничных и на-

чальных условий.

Итак, общее решение волнового уравнения (43) имеет вид

U (x, t) (C1 cos a t C2 sin a t) (C3 cos x C4 sin x)

(59)

при 0 x l ;

t 0.

U (0, t) (C1 cos a t C2 sin a t) C3

0 .

Так как t 0

произвольно, то С3 0. Используем второе гра-

ничное условие (41) при x l

с учетом того, что С3 0:

U (l, t) (C1 cos a t C2 sin a t) C4 sin l 0 .

Последнее

равенство

выполняется

для

всех

t 0,

если

трив

что C4

0 . В противном случае при

C4 sin l

0. Предположим,

СC 0 0

получим тривиальное решение U (x, t) 0. Следо-

4

3

вательно, sin l 0

ли l n , где n = ±1, ±2, … .

б

Значен е n

0

сключили, так как в этом случае получили бы

альное решен е. Из последнего соотношения получим

n

,

n = ±1, ±2, … .

(60)

l

А

Итак, решение уравнения (59) при граничных условиях (41)

примет вид для n = ±1, ±2, …

U (x, t)

n

an

C2 sin

an

C4 sin

x C1 cos

t

t .

(61)

l

l

l

И

шение дифференциального уравнения (43), удовлетворяющее усло-

виям (41):

Д

n

an

an

U (x, t) sin

l

x An cos

l

t Bn sin

l

t ,

(62)

n1

причем 0 x l ;

t 0. Аn

C1C4 ;

Bn C2C4

– постоянные. Оп-

ределим их из начальных условий (39), (40).

Подставляя t 0 в формулу (62), из условия (39) получим

n

U (x, 0) A

sin

x f (x) , 0 x l .

(63)

n

l

n1

С

2 l

n

Аn

f (x) sin

xdx, n = 1, 2, … .

(64)

l 0

l

Определ м про зводную по t для решения (62):

и

an

an

an

n

Ut (x, t) sin

l

x An

sin

l

t Bn cos

l

t

l

.

n1

Подстав м t 0

получим начальное условие (40) в виде

n

an

U t (x, 0)

sin

x Bn

(x) .

(65)

А

n1

l

l

Соотношениеб(65) удем рассматривать как разложение в ряд

Фурье нечетной на

l,

l

периодической функции (x) с коэффи-

циентами разложения

an

Bn .

Д

l

Тогда

an

2 l

n

Bn

(x) sin

xdx , n = 1, 2, …

l

l

0

l

И

или

2

l

n

Bn

(x) sin

xdx.

(66)

an

0

l

~

n

an

U (x, t)

А

sin

x sin

t

.

n1

n

l

l

n

С1

Мы видим, что полное колебание струны слагается из ряда от-

~

n

n a

дельных колебан й в да y

А sin

x sin

t

.

n

n

l

l

n

и

б

2

3

А

4

Участвующие в таком элементарном колебании точки струны

все колеблются с одной и той же частотой или с одним и тем же пе-

И

риодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда

колебания каждой точки зависитДот ее положения, она равна

~

n

Аn

sin

l

x

. Вся струна разбивается на n равных участков, причем

чают частота

a

и период T 2l

a

. Остальные тона, одно-

1

l

1

жать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной

тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность.

С

Четные обертоны, для которых на середину струны приходится

узел, все сохранятся; среди них роль основного тона будет играть

второй обертон с пер одом T

1

2

Т

,

и струна станет издавать

2

1

и

октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полу-

ченному решен ю!

5. Решен е второй краевой задачи для уравнения

гипербол ческого т па методом Фурье

б

Уравнен е (43)

удем решать с начальными условиями (39),

(40) и гран чными (41). О щее решение уравнения (43)

имеет вид

(59). Постоянные коэффициенты , С1, С2, С3, С4 определим, ис-

А

пользуя начальные и граничные условия второй краевой задачи.

Найдем производную по x для решения (59):

( C3 sin x C4 cos x) . (67)

U x (x, t) (C1 cos a t C2 sin a t)

Д

Из первого граничного условия при

x 0 получим равенство

(C1 cos a t C2 sin a t) C4 0 ,

U x (0, t)

И

которое будет выполняться для всех t 0, если C4 0 или 0.

При 0 будем иметь тривиальное решение, следовательно,

C4 0 . Тогда решение (59) примет вид

U (x, t) (C1 cos a t C2 sin a t) C3 cos x .

(68)

При x l используем второе граничное условие

(C1 cos a t C2 sin a t)

( C3 sin l) 0 ,

U x (l, t)

которое выполняется при t 0,

если C3 sin l 0 . При C3

0 будем

иметь тривиальное

решение,

так

как

C4 0 . Следовательно,

sin l 0, то есть

n

,

n = 0, ±1, …

l

Итак, решение (68) для каждого n примет вид

U (x, t) C

cos

n

x(C cos a t C

sin a t) .

С

3

l

1

2

умм руя по всем n, вновь получим решение уравнения (43),

удовлетворяющее условиям (42):

ловий

n

an

an

U (x,

t) cos

x A

cos

t

B

sin

t ,

(69)

n0

l

n

l

n

l

и

б

где

Аn C1C3 ; Bn C2C3

подлежат определению из начальных ус-

. При t 0

меем