Раздел II. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Квадратурные формулы

Вычисление определённых интегралов по формуле Ньютона– СибАДИЛейбница не всегда возможно, так как далеко не все функции интегрируются в конечном виде, то есть первообразные таких функций не

выражаются через элементарные функции с помощью конечного числа арифмет ческ х действий и операций взятия функции от функции.

Даже если первообразная функция известна, но имеет весьма

сложный неудо ный для вычисления вид, то и в этом случае приме-

нение формулы Ньютона–Лей ница затруднительно. В этих случаях прибегают к пр л женным методам вычисления определённого интеграла.

Эти методы дают возможность вычислить определённый интеграл, если он существует и если численные значения подынтеграль-

ной функц звестны. Формулы, при помощи которых ведётся чис-

ленное интегрирование, получили название квадратурных формул. Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследова-

нии физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных – таких как вычисление интегралов, например, и других. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач разобраны методы численного решения, нередко имеются стандартные программы их решения.

Приближенные методы вычисления основаны на том, что определенный интеграл можно рассматривать как площадь криволинейной трапеции. Площадь такой трапеции можно вычислить, если заменить ее более простой для вычисления площади фигурой – суммой прямоугольников, трапеций или другими.

Приведем теорему, имеющую огромное теоретическое значение в обосновании численных методов нтегрирования.

Теорема о среднем значении. Пусть функция y f x непре-

рывна на отрезке [ a , b ], тогда на этом отрезке найдется такая точка c, что

b

f x dx f c b a .

a

27

Отметим, что геометрически теорема означает, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника со сторонами f c и b a . Поэтому, по существу, все численные методы ос-

нованы на том, что необходимо возможно точнее найти значение точки с.

Методами приближенного вычисления определённого интеграла Сиявляются: бАДИ

– формулы прямоугольников;

– формула трапец й;

– формула С мпсона (парабол).

Если функц я f x непрерывна на [ a ; b ], то определённый интеграл от этой функц в пределах от a до b существует равен

b

f x d x F b F a ,

a

где F x – первоо разная для функции f x .

Для большинства элементарных функций первообразную F x не удаётся выразить через элементарные функции. Кроме того, при практических расчетах подынтегральная функция часто задается в виде таблиц. Всё это приводит к необходимости замены интегрирова-

ния численными методами.

Задача численного интегрирования состоит в следующем: найти определённый интеграл на [ a ; b ], если подынтегральная функция на отрезке [ a ; b ] задана не в явном виде, а, например, таблично или гра-

фически.

Рассмотрим некоторые формулы приближенного вычисления

определённого интеграла.

2. Метод прямоугольников приближенного вычисления

определённого интеграла (Метод Эйлера)

Пусть на отрезке [ a ; b ] задана непрерывная функция y f x .

b

Требуется вычислить определённый интеграл f x d x .

a

28

любой точке отрезков [ xi ; xi 1 ].

29

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число п (то есть чем

30