6. Метод Адамса

1855 г. по просьбе известного английского артиллериста Башфорта,

который занимался баллистикой. Впоследствии этот метод был забыт

С

и вновь открыт в начале XX в. норвежским математиком Штермером.

Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование

связано с менем А.Н. Крылова.

y) на отрезке x0 , b , удов-

Ищем решен е уравнения y f (x,

разности2

летворяющее начальному условию y y0

при x x0 . Введем обозна-

го порядка: y0 y1 y0 ;

y1

y2 y1; … ;

yn 1

yn

yn 1.

Вторые

, ли разности второго порядка:

y0 y1 y0 y2 2y1 y0 ;

А

2 y y

2

y y

3

2y

2

y ;

1

1

1

б. . .

2 y

n 2

y

n 1

y

n 2

y

n

2y

n 1

y

n 2

.

Разности вторых разностей называются разностями третьего по-

рядка и так далее. Через

,

обозначим приближенные

y0

y1

, … , yn

, … ,

– приближенные значе-

значения производных, через y0

, y1

yn

И

ния вторых производных и далее по аналогии. Определим первые

разности производных:

Д

,

yn 1 yn

yn 1

вторые разности производных:

2

yn 2 yn 1 yn 2

x x

(x x )2

(x x )m

0

0

0

(m)

y y0

y0

. . .

Rm . (12)

y0

y0

1

1 2

1 2 . . .

m

С

В этой формуле y0 известно, а значения

y0

, y0

, … производных

находятся з уравнен я y f (x,

y)

следующим образом. Подставив

в уравнен е начальное значение x0, y0, найдем

f (x0 , y0 ) .

y0

: y0

и

Прод фференц ровав исходное уравнение по х, получим

y

f

f

y

.

x

y

б

Наход м y0 :

f

f

А

.

y

y

0

x

y

x x

0

,

y y

0

, y

y

0

Продолжая дифференцирование, можно найти значения произ-

водных любого порядка при

x x0

. Все члены, кроме остаточного

Д

члена Rm, в правой части формулы Тейлора (12) известны. Таким об-

разом, пренебрегая остаточным членом, можно получить приближен-

ные значения решения при любом значении x; их точность будет за-

висеть от величины

x x0

и числа членов в разложении.

В рассматриваемом ниже методе определяют только несколько

x x0

первых значений y, когда

мало. Мы определим значения y1 и

y2 при x1 x0 h и при x2

x0

2h , беря четыре члена разложения

(y0 известно на основании начальных данных):

h

h

2

3

hИ

y1 y0

1 y0

1 2 y0

3! y0 ;

(13)

2h

(2h)2

(2h)3

y2 y0

(14)

1

y0

1 2

y0

3!

y0 .

f (x0 , y0 ) ,

f (x1 , y1 ) ,

f (x2 , y2 ) .

y0

y1

y2

2

Зная y0 , y1 , y2 , определим y0 ,

y1 ,

y0

. Результаты вычис-

ления заносим в табл. 11.

Таблица 11

х

у

y

y

2 y

и

y

–

–

x0

y0

0

С–

–

–

y

–

0

x

x

0

h

y1

y

–

2

1

1

y0

–

–

–

y

–

1

x2 x0 2h

y2

y

–

–

2

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

xk 2 x0 (k 2) h

yk 2

y

–

–

k 2

–

–

–

y

–

k 2

А

x

k 1

x

0

(k 1) h

y

k 1

y

1

–

2 y

k

k 2

–

б– –

y

–

k 1

k

0

k

k

–

–

x

x

kh

y

y

Д

Допустим теперь, что нам известны значения решения y0, y1, … ,

yk. На основании этих значений,

пользуясь уравнением

y

f (x, y) ,

мы можем вычислить значения производных y0 ,

y1 , … ,

yk , а следо-

, … ,

и

2

2

2

2

. Определим

вательно, y0

, y1

yk 1

y0 ,

y1

, … , yk

значение yk 1

по формуле Тейлора, полагая a xk ;

x xk 1

xk

h :

И

h

h2

h3

hm

(m)

yk 1 yk

1

Rm .

1 yk

2 yk

1 2 3 yk . . . m! yk

Ограничимся четырьмя членами разложения:

h

h2

h3

yk 1

1 2

yk 1 yk

1 2 yk

3 yk .

(15)

В формуле (15) неизвестными являются

, которые мы

yk и

yk

попытаемся определить через известные разности первого и второго

порядков.

Предварительно представим по формуле Тейлора

yk 1 , полагая

а xk ; x a h,

С

( h)

( h)2

(16)

yk 1

yk

1

yk

1 2

yk

находим

x a

2h ,

и yk 2 , полагая а xk ;

( 2h)

( 2h)2

(17)

yk 2

yk

yk

yk .

б

1 2

1

Из равенства (16)

h

h

2

(18)

yk yk 1

yk 1

1

yk

1

2

yk .

Вычитая из равенства (16) равенство (17), получаем

y

y

h

3h2

.

(19)

y

y

y

kА1 k 2 k 2 k

k

1

2

Из выражений (18) и (19) находим

И

Д

2

2

yk ,

yk 1 yk 2 yk 2 h

или

1

2

2 .

(20)

yk

h2

yk

в равенство (18), получаем

Подставляя выражение yk

2

2

yk 1

yk

.

(21)

yk

h

2h

Итак, yk и

yk найдены. Подставляем выражения (17) и (18) в

разложение (12):

yk 1 yk

h

h

5h

2

(22)

1

yk

2

yk 1

12

yk 2 .

лить0

Получ ли формулу Адамса с четырьмя членами.

СФормула Адамса дает возможность, зная yk ,

yk 1, yk 2 , опреде-

yk 1. Так м о разом,

зная y0, y1 и y2,

можно найти y3 и далее y4,

y5, …

абсолютной

Замечан е 1. Если существует единственное решение уравнения

y

f (x, y)

на отрезке

x

, b ,

удовлетворяющее начальным услови-

ям, то погрешность пр

лиженных значений,

определенных по фор-

А

муле (21), по

величине не превосходит Mh4 , где М – по-

стоянная, зависящая от длины интервала и вида функции

f (x, y) и не

зависящая от h.

Замечание 2. Если мы хотим получить бόльшую точность вы-

числения, то следует брать членов больше, чем в разложении (15), и

Д

формула (22) соответствующим образом изменится. Так, если вместо

формулы (15) возьмем формулу, содержащую справа пять членов, то

есть дополним членом порядка h4 ,

то вместо формулы (22) получим

формулу

И

yk 1 yk

h

h

5h

2

3h

2

1

yk yk 1

12

yk 2

8

yk 2 .

2

Здесь yk 1

определяется через значения yk ,

yk 1, ..,

yk 2 и yk 3 .

Таким образом, чтобы начать вычисления по этой формуле, нужно

знать четыре первых значения решения y0, y1, y2, y3.

Пример. Найти приближенно значения

решения

уравнения

y y x , удовлетворяющего начальному условию y0

1 при x0 1.

Значения решения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Решение. Найдем сначала y1

и y2

по формулам (13), (14). Из

уравнения

и

начальных

данных

получаем

y0 (x y)

x 0

y0

x0 1 0 1.

Дифференцируя

данное

уравнение,

получим

y

y

1.

Следовательно, y

( y

1)

1 1 2 .

0

x 0