Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2343.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

5.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

D X xi mx 2 pij ;

D Y y j my 2 pij ;

i 1 j 1

б) если X ,Y – непрерывная двумерная случайная величина, то

D X

dy x mx 2 f x, y dx; D Y dx y my 2 f x, y dy .

Д сперс

я характеризует разброс точек

x, y в направлении ко-

ординатных осей вокруг центра рассеивания

mx ; my .

частности

Начальный момент порядка k, s :

k , s

M X k ,Y s

M X 1, 0

; M Y 0,1.

Центральный момент порядка k, s :

k , s M X mx k , Y my s .

В частности,

D X M X m

2, 0

; D Y

0, 2

4. Корреляция

Корреляционным моментомД, моментом связи, ковариацией называется число 1,1 Kx, y cov X ,Y M X mx Y my . Если

X ,Y – непрерывная двумерная случайная величина, то корреляционный момент вычисляется по формуле

1.1,1 Kx, y cov X ,Y M X Y mx mИy .

2.Для непрерывной случайной величины ковариация вычисляется по формуле


Kx, y dx x y f x, y dy mx my .

226

3. Kx, x D X ; K y, y D Y .

4. Если X ,Y - независимы, то Kx, y 0 . 5. D X Y D X D Y 2 Kx, y .

6. Kx, y x y .

Если Kx, y 0 , то случайные величины X ,Y зависимы, или коррелированны. Если же Kx, y 0 , то X ,Y не обязательно независимы

(некоррел рованны). Итак, ковариация характеризует зависимость

зависимости

случайных вел ч н. При этом размерность ковариации равна размер-

ности случайных вел чин. В качестве безразмерной характеристики

Сслучайных величин используется коэффициент корреля-

ции

cov X ,Y

K x, y

D X

D Y

x, y

Свойства коэфф циента корреляции:

rx, y

2. Если X ,Y независимы, то rx, y 0 .

3. Если X ,Y линейно связаны, то есть Y a X b ( a 0 ), то

	1, если a 0;
	1, если a 0;
rx, y	1
	Д
	1, если a 0.

4. Если rx, y 1, то X ,Y линейно связаны.

Условным математическим ожиданием одной из случайных ве-

личин системы X ,Y	называется математическое ожидание одной из
	И

случайных величин при условии, что другая случайная величина фиксирована: M X |Y y0 .

Условное математическое ожидание случайной величины Y при фиксированном значении X x , то есть функция M Y |X x x называется функцией регрессии Y по X . Аналогично M X |Y y y

– регрессия случайной величины X по Y . Графики этих функций называются линиями регрессии (кривыми регрессии). Если обе линии регрессии являются прямыми, то говорят, что случайные величины X ,Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

227

Теорема. Если двумерная случайная величина распределена по нормальному закону, то случайные величины связаны линейной корреляционной зависимостью вида

y m

x m

( функция M Y |

);

X x

x y

x m

y m

(функция M X |

x y

Пр мер. Собраны значения двумерной случайной величины.

Установ ть корреляц ю одномерных случайных величин.

СРешен е. Расчеты внесем в табл. 36.

Таблица 36

yi 2

xi y i

0,25

2,51

0,0625

6,5536

0,6275

0,37

2,33

0,1369

5,4289

0,8621

…

0,44

2,12

0,1936

4,4944

0,9328

11,95

26,83

9,1095

45,41

17,39

Находим числовые характеристики случайных величин

0,7029

;

1,5782 ;

D X

2 0,0418 ;

D Y

45,41

1,5782 2

0,1806 ;

D X 0,2042 ;

0,4249 .

Корреляционный момент равен

17,39

0,7029

1,5782

0,0863 .

x, y

Вычисляем коэффициент корреляции

228

K x, y

0,0863

0,9943 .

x, y

x y

0,0212 0,42

Используем критерий линейной зависимости.

N 1 3, то линейная связь между случайными ве-

Если

rx y

личинами X ,Y достаточно вероятна.

В нашем случае получаем, что критерий выполнен:

связи

0,9943 17 1

3,97

поэтому

считаем, что наличие линейной

Смежду случайными величинами установлена.

Л нейная регресс я Y по X имеет вид

x y

В нашем случае

1,57

0,9943

0,04249

x 0,7029 .

0,2042

Или, после упрощений y 2,0695 x 3,0239 .

Аналогично

x 0,4776 y 1,4566

– линейная регрессия X по

Y .

Заметим, что прямые получаются в результате минимизации

				И
суммы квадратов отклонений по вертикали (регрессия					Y	по X ) или
по горизонтали (линейная регрессияДX по Y ).
5. Задачи для самостоятельного решения
Установить наличие корреляционной зависимости между раз-
личными парами случайных величин из табл. 37.
						Таблица 37
Глубина	Давление	Изгибающий	Поперечная	Продольная		Температура
	на грунт	момент	сила	сила
1	2	3	4	5		6
0,0	0,0000	0,2743	1,0000	– 1,6325		2,7435

229

Окончание табл. 37

	1	2	3	4	5	6
	0,1	6,0193	0,3988	0,8524	– 2,6327	3,8493
	0,2	9,8643	0,4867	0,5453	– 3,8983	7,8430
	0,3	11,5348	0,5205	0,0783	– 1,7732	8,9548
	0,4	11,0454	0,4807	– 0,4127	– 0,9946	7,5342
	0,5	8,3828	0,4063	– 0,7939	– 0,1211	8,19967
	0,6	3,5350	0,3168	– 1,0653	– 0,6885	7,4739
	0,7	– 3,4336	0,1742	– 1,0918	– 0,1211	10,1287
	0,8	– 12,5707	0,0563	– 0,7392	0,1767	10,0008
	0,9	– 23,9452	0,0350	0,0192	1,8327	14,3424
	1,0	– 37,3228	0,0381	1,2599	1,1216	12,4635
С
	1,1 – 52,9699		0,3268	3,1274	2,0548	11,1643
	1,2	– 70,8711	0,9178	5,7114	1,2449	15,3429
1,3		– 90,8144	1,8127	9,0525	2,8666	17,4483
		б
1,4		– 112,8037	3,1580	13,2970	2,8695	21,3759
1,5		– 136,8196	3,1032	18,4255	5,7435	23,5748
	и
	1,6 – 190,9244 7,7929			24,6432	3,1645	32,3227
1,7		– 220,6421	11,3190	31,9879	4,2987	34,5738
1,8		– 251,6902	15,8105	40,5584	3,8432	35,6382
		А
1,9		– 283,9418	21,5020	50,3165	7,8543	39,9564
2,0		– 330,0858	28,4630	61,4629	9,8437	41,7553
2,1		– 414,2345	46,5363	87,7947	17,2318	44,3523
2,2		– 469,3859	72,6131	119,5539	17,9547	43,6547
2,3		– 503,8003	106,9141	156,3389	17,9438	45,7786
			Д
2,4		– 503,4045	150,8921	196,9407	21,0553	51,2331
2,5		– 197,3404	205,1653	239,1133	19,1119	52,6643
2,6		– 217,6435	383,0301	321,6303	22,1648	53,6437
2,7		– 521,5426	381,3555	317,6448	21,8843	54,7789
2,8		– 566,5975	369,1273	322,4325	25,5444	56,8589
				И
2,9		– 540,5333	392,1732	345,5295	27,9678	59,8443
3,0.		– 571,4579	397,1152	355,2735	26,2334	62,3243
3,1		-– 579,9264	407,4637	351,2132	27,1718	60,1243
3,2		– 575,852	407,4889	368,8326	29,3167	63,2263
	3,3	– 588,6328	409,1251	371,6321	29,9687	65,2163
	3,4	– 625,6374	407,5898	371,0043	31,3163	68,0965
	3,5	– 634,7328	503,3423	326,9321	34,1724	67,8549
	3,6	– 634,6333	502,1436	397,0045	35,8547	69,0700

230

Вопросы и задания для самопроверки [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,10]

1. Дайте определение функции распределения двумерных случайных величин. Укажите ее свойства, приведите формулы для вычисления.

2.	Дайте определение плотности распределения двумерных слу-
чайных вел ч н. Укаж те ее свойства, приведите формулы для вы-
числен я.
3.	Как ч словые характеристики двумерных случайных вели-
чин вы знаете? Нап ш те свойства и формулы для вычислений ма-
С
	го ож дан я, дисперсии, среднеквадратического откло-
нения, начального момента, центрального момента.
4.	формул руйте определение корреляционного момента.
5. Как выч сляется коэффициент корреляции? Укажите его свой-

тематическо ства. б

6. Дайте определение линейной корреляционной зависимости между случайными вел чинами. Напишите формулы нахождения линейной связи случайныхАвеличин.

Д И

231

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20215.77 Mб62339.pdf
#
07.01.2021362.66 Кб2234.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42340.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42341.pdf
#
07.01.20215.83 Mб912342.pdf
#
07.01.20215.89 Mб432343.pdf
#
07.01.20215.94 Mб52344.pdf
#
07.01.20215.95 Mб102345.pdf
#
07.01.20215.98 Mб362346.pdf
#
07.01.20216.02 Mб292347.pdf
#
07.01.20216.07 Mб442348.pdf

4. Корреляция

5. Задачи для самостоятельного решения