3. Метод сеток для уравнения гиперболического типа

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2343.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

5.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3326 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

(0)

U (0)

i 1, j

(i j 1) ,

i j–1, j, … , М.

i 1, j

M j

Для i-го вертикального профиля значения начального прибли-

жения вычисляются по формуле

(0) U (0)

U (0)

( j i) ,

j i, i+1, … , N.

N i

ним

Так, чередуя гор зонтальные и вертикальные профили, запол-

весь нулевой слой при k 0.

Оформлен е ра оты

Для каждого номера итерации K составляется таблица – шаблон,

в каждую клетку которой заносятся значения U на очередной итера-

ции (табл. 29).

Таблица 29

U0N

U1N

U2N

…

UMN

j=N

U0,N-1

U1,N-1

U2,N-1

…

UM,N-1

j=N–1

…

U01

U11

U21

…

UМ1

j=1

U00

U10

U20

…

UМ0

j=0

i=0

i=1

i=2

…

i=M

–

Каждый шаблон сопровождается вычислительным значением максимального отличия значения этого шаблона от соответствующих значений предыдущего шаблона. Шаблонов строится К штук, пока не выполнится условие достижения точности вычислений (156).

3. Метод сеток для уравнения гиперболического типа
Требуется найти функцию, удовлетворяющую уравнению ги-
перболического типа		И
перболического типа
2U	a 2 2U ,	(158)
t 2	x2

177

а также начальным условиям

U (x, 0) f (x) ;

U t (x,

0) Ф(x) ,

0 x S

(159)

и краевым условиям

t) (t) .

U (0, t) (t) ;

U (S,

(160)

Так как введен е переменной at приводит уравнение (158) к

виду

2U ,

(161)

то в дальнейшем можно принять a 1.

Постро м в полуполосе

t 0,

0 x S два семейства парал-

лельных прямых:

x ih ;

i = 0, 1, … , h;

jl , j = 0, 1, … и заме-

ним производные в уравнении (161) разностными отношениями. По-

лучим разностное уравнение

U i, j 1 2U i, j U i, j 1

U i 1, j 2U i, j U i 1, j

(162)

l 2

Д2

Обозначая

равенстве

(162)

придем к

разностному

уравнению

Ui 1, j

Ui, j 1

2Ui, j Ui, j 1

2Ui, j Ui 1, j .

(163)

При численном решении дифференциальных уравнений неизбежно возникают ошибки, приводящие к некоторому отличию результатов численного решения от истинных значений искомой функции. Ошибки могут возникать при неточности вычислений как самой разностной схемы, так и начальных и граничных условий. В зависимости от особенностей вычислительного алгоритма эти ошибки в процессе расчёта могут затухать или возрастать. Если они не возрастают, то говорят, что разностная схема устойчива, если же возрастают, то неустойчива.

178

Доказано, что при 1 разностное уравнение (163) устойчиво. При 1 уравнение (163) имеет более простой вид

Ui, j 1 Ui 1, j Ui 1, j Ui, j 1 .

(164)

Оценка погрешности приближенного решения, полученного из

уравнения (164) в полосе 0 x S , 0 t T , имеет вид

(M 4 h 2M 3 )T T

M 4 ,

U U

где U – точное решен е;

M k

max

, k=3, 4.

t k

x k

Замет м, что для получения уравнения (164) была использована

схема узлов, зо раженная на рис. 23.

(i,j+1)

(i-1,j)

(i,j)

(i+1,j)

(i,j-1)

Рис. 23

Эта схема является явной, так как уравнение (164) позволяет найти значения функции U (x, t) на слое tj+1, если известны значения

на двух предыдущих слоях. Для того чтобы знать значения решений задачи (158) – (160), необходимо знать значения решений на двух начальных слоях. Их можно получить из начальных условий одним из следующих способов.

Первый способ. Заменяем в начальных условиях (159) производную Ut (x, 0) разностным соотношением

179

Ui,1 Ui, 0		Ф(x	) Ф ;
		Ф(x	) Ф ;
	l	i	i
	l
для определения значений U (x, t) на слоях j 0;				j 1 получаем

Ui, 0 fi , Ui,1 fi

lФi .

Второй способ. Заменяем производную Ut (x, 0) разностным

Ui,1 Ui, 1

соотношен ем

, где U i, 1

–

значения функции U (x, t) на

з начальных условий (159) будем иметь

слое j –1. Тогда

;

U i,1 U i, 1

(165)

i, 0

Нап шем разностное уравнение (164) для слоя j 0, получим

Ui,1

Ui 1,0

Ui 1,0 Ui, 1 .

(166)

Исключив из уравнений (165), (166) значения U i, 1 , получим

; U

( f

) lФ .

i, 0

i,1

i 1

Третий способ. Если функция

f (x) имеет конечную вторую

производную, то значения U i,1 можно определить с помощью форму-

лы Тейлора

Ui, 0

l 2

2Ui, 0

(167)

i,1

i, 0

t 2

Используя уравнение (158) и начальные условия (159), можем

записать

Ui, 0

U i, 0

Ui, 0 fi ,

Фi

fi .

180

Тогда по формуле (167) будем иметь

Ui,1 fi

lФi

l 2

fi .

(168)

Пример. Методом сеток найти решение гиперболического

уравнения с начальными и краевыми условиями:

U ;

t 2

0) 0,2 sin (1 x)x ;

U (x,

Ut (x, 0) 0;

U (x, t) U (1, t) 0.

Решен е. Постро м квадратную сетку с шагом h 0,05. Значе-

ния U (x, t) на двух начальных слоях найдем вторым способом.

Так как Ф(x) 0

f (x)

0,2sin

(1 x)x

, будем иметь условия

задачи в видеб

Ui,0 fi ;

U i,1

( fi 1

fi 1 ) ,

i = 0, 1, 2, … , 10.

(169)

Решение задачи удобно оформить в виде табл. 30, порядок за-

полнения которой следующий:

1. Вычисляем значения Ui,0 f (xi ) при

xi ih и записывем в

первую строку (она соответствует значению t0

0 ). В силу симмет-

рии задачи заполняем таблицу при 0 x 0,5. В первом столбце (он

соответствует значению x0

0) записываем краевые значения.

2. По формуле (169) находим Ui,1 , используя значения U i,0 из

первой строки. Результаты записываем во вторую строку.

3. Вычисляем значения U i, j на последующих слоях по формуле

(164). При j 1 последовательно получаем

U1, 2 U 2, 1

U0, 1

U1, 0

0,0065 0 0,0015 0,0050 ;

181

	С											Таблица 30
												Таблица 30
xi		0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45		0,50
ti		0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45		0,50
				и
0		0	0,0015	0,0056	0,0116	0,0188	0,0265	0,0340	0,0405	0,0457	0,0489		0,0500
0,05		0	0,0028	0,0065	0,0122	0,0190	0,0264	0,0335	0,0398	0,0477	0,0478		0,0489
0,10		0	0,0050	0,0094	0,0139	0,0198	0,0260	0,0322	0,0377	0,0419	0,0447		0,0456
0,15		0	0,0066	0,0124	0,0170	0,0209	0,0256	0,0302	0,0343	0,0377	0,0397		0,0405
0,20		0	0,0074	0,0142	0,0194	0,0228	0,0251	0,0277	0,0302	0,0321	0,0335		0,0338
				б
0,25		0	0,0076	0,0144	0,0200	0,0236	0,0249	0,0251	0,0255	0,0260	0,0262		0,0265
0,30		0	0,0070	0,0134	0,01866	0,0221	0,0236	0,0227	0,0209	0,0196	0,0190		0,0186
0,35		0	0,0058	0,0112	0,0156	0,0186	0,0199	0,0194	0,0168	0,0139	0,0120		0,0115
0,40		0	0,0042	0,0079	0,0112	0,0133	0,0144	0,0140	0,0124	0,0092	0,0064		0,0054
0,45		0	0,0021	0,0042	0,0057	0,0070	0,0074	0,0074	0,0064	0,0042	0,0026		0,0013
					А
0,50		0	-0,0001	0,0001	0,0000	0,0002	0,0000	0,0002	0,0001	-0,0002	-0,0002		-0,0002
		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0		0
						Д
								И

182

U 2, 2	U3, 1	U1, 1 U 2, 0	0,0122 0,0028 0,0056 0,094 ;
			. . .
U10, 2	U11,	1 U9, 1 U10,	0 0,0478 0,0478 0,0500 0,0456 .

Вычисления при j 2, 3, … , 10 проводятся аналогично. В последней строке табл. 30 приведены значения точного решения при t 0,5.

и
4. Метод сеток численного решения дифференциальных
Суравнен й пара ол	ческого типа
Рассмотр м задачу для уравнения теплопроводности. Найти
б
функц ю U (x, t), удовлетворяющую уравнению
	U a 2 2U ,									(170)
	А
	t	x		2
начальному условию
U (x, 0) f (x) ,					0 x S					(171)
и краевым условиям
U (0,	t) (t) ; U (S,					t) (t) .				(172)
Введением переменной a2t							И
Введением переменной a2t						уравнение (170)		приводится к
виду			Д
	U	2U			,					(173)
	t	x2
поэтому в дальнейшем примем a 1. Покроем область сеткой, обра-
зованной прямыми: x ih ,		i = 0, 1, 2, … ;					t jl , j = 0, 1, 2, … .
Обозначим xi	ih ; t j	jl ;			U (xi , t j ) Ui, j и приближенно за-
меним в каждом внутреннем узле (xi , t j )							производную	2U	разност-
меним в каждом внутреннем узле (xi , t j )							производную	x 2	разност-
								x 2

ным отношением

183

U i 1, j

2U i, j

U i 1, j

i, j

а производную

– одним из разностных отношений

U i, j 1 U i, j

или

U i, j U i, j 1

i, j

СТогда получ м два

конечно-разностных уравнений

U i, j 1 U i, j

U i 1, j

2U i, j U i 1, j

;

(174)

h 2

типа

U i, j U i, j 1

U i 1, j 2U i, j U i 1, j

(175)

h 2

Обозначив

l , приводим эти уравнения к виду

Ui, j 1

(1 2 )Ui, j Ui 1, j Ui 1, j

;

(176)

(1 2 )Ui, j

Ui 1, j

Ui, j 1

0 .

(177)

Отметим, что для уравнения (176) была использована явная схе-

ма узлов (рис. 24), для уравнения (177) – неявная схема (рис. 25).

(i,j+1)

(i-1,j)

(i,j)

(i+1,j)

(i-1,j)

(i,j)

(i+1,j)

(i,j-1)

Рис. 24

Рис. 25

184

При подборе числа в уравнениях (176), (177) следует учиты-

вать два обстоятельства:

1) погрешность замены дифференциального уравнения разно-

ным должна быть наименьшей;

2) разностное уравнение должно быть устойчивым.

Доказано, что уравнение (176) будет устойчивым при 0

а уравнен е (177) – при любом . Наиболее удобный вид уравнение

(176) имеет при

при

U i 1, j

U i, j 1

U i 1, j

(178)

1 :

1 U

i, j 1

1, j

i, j

i 1, j

(179)

Оценки погрешности при лиженных решений, полученных из

уравнений (177), (178), (179) в полосе 0 x S ,

0 t T , соответст-

венно имеют вид

U U

M1h

;

(180)

U U

2 h

;

(181)

135Д

U U

(182)

– точное решение задачи (170)–(172),

где U

(4)

M1 max

(x)

0 x S ;

0 t T ;

(t)

185

f (6) (x)

(4) (t)

(4)

max

(t)

0 x S ;

0 t T .

Из приведенных оценок погрешностей (180)–(182) видно, что уравнение (179) дает более высокую точность решения по сравнению с уравнением (178). При этом уравнение (178) имеет более простой вид, кроме того, шаг l по аргументу t для уравнения (182) должен быть знач тельно меньше, что приводит к большему объему вычис-

лений. Уравнен е (175) дает меньшую точность, но при этом шаги l и

уравнения

h выб раются незав с мо друг от друга. Уравнения (176), (177) по-

Сзволяют выч слять значения U (x, t) на каждом слое по явным фор-

мулам через ее значен

на предыдущем слое; уравнение (175) (неяв-

ная схема) эт м свойством не о ладает.

Методом сеток можно решить краевую задачу для неоднородно-

го парабол ческого

F (x, t) .

Тогда соответствующее разностное уравнение, использующее

явную схему узлов, имеет вид

i, j 1

А(1 2 )U U U lF

i, j

i 1, j

i, j

Пример. Найти приближенное решение уравнения

x 2

удовлетворяющее начальным и краевым условиям:

U (x, 0) sin x , 0 x 1;

U (0, t) U (1, t) 0 , 0 t 0,025 .

Решение. Выберем по аргументу x шаг

h 0,1. Так как

186

	получаем по аргументу t шаг l																h2			0,05 . Записываем в табл. 31 на-
	получаем по аргументу t шаг l																			0,05 . Записываем в табл. 31 на-
																2
	чальные и краевые условия. Учитывая их симметрию, заполняем таб-
	лицу только для x 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Значения функции U (x, t) в
	первом слое находим по формуле (178) при j 0, используя значения
С
	на начальном слое и краевые условия:
									U		i, j			U i 1,0 U i 1,0 .
	и																	2
	и
		Так м образом, получаем
		U				1	(U			U					)				1		(0,5878 0) 0,2939 ;
		U	1, 1				(U	2, 0		U				0, 0	)						(0,5878 0) 0,2939 ;
		б
						2												2
		U 2, 1		1	(U3, 0				U1,				0 )			1		(0,8090				0,3090) 0,5590 .
				2												2
							А
		Записываем полученные значения																				U i, 1		, i 1,2,3,4,5 во вторую
	строку табл. 31. После этого переходим к вычислению значений на
	втором слое по формуле (178)															при j 1: U									U i 1,1 U i 1,1				. Подоб-
																							i, 2				2
																Д
	ным образом определяем последовательно значения при t																													0,005;
0,010; 0,015; 0,020; 0,025.
		В двух последних строках табл. 31 приведены значения точного
				~								2																~			при
	решения задачи U (x, t) e												t sin x и модуля разности															U U			при
	t 0,25.
																												Таблица 31
		xi		0						0,1								0,2					0,3				0,4			0,5
	t			0						0,1								0,2					0,3				0,4			0,5
	t
		0		0					0,3090							0,5878						0,8090					0,9511			1,0000
		0,005		0					0,2939							0,5590						0,7699					0,9045			0,9511
																										И
		0,010		0					0,3795							0,5316						0,3718				0,8602 0,9045
		0,015		0					0,02658							0,5056						0,6959					0,8182			0,8602
		0,020		0					0,2528							0,4808						0,6616					0,7780			0,8182
		0,025		0					0,2404							0,4574						0,6294					0,7400			0,7780
	~	0,025		0					0,2414							0,4593						0,6321					0,7431			0,7813
	U	0,025		0					0,2414							0,4593						0,6321					0,7431			0,7813
	~
	U Ui 0,025			0					0,0010							0,0019						0,0027					0,0031			0,0033

187

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3326 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20215.77 Mб62339.pdf
#
07.01.2021362.66 Кб2234.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42340.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42341.pdf
#
07.01.20215.83 Mб912342.pdf
#
07.01.20215.89 Mб432343.pdf
#
07.01.20215.94 Mб52344.pdf
#
07.01.20215.95 Mб102345.pdf
#
07.01.20215.98 Mб362346.pdf
#
07.01.20216.02 Mб292347.pdf
#
07.01.20216.07 Mб442348.pdf