Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2343.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

5.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3319 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

4. Распространение тепла в неограниченном стержне

Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. К задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае, когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня.

Если стержень совпадает с осью OX, то математическая задача
формул руется следующим образом. Найти решение уравнения
С
(76)
		2

	U t	а U xx
вобластиx , t 0, удовлетворяющее начальному усло-
вию (77) U (x, 0) f (x) .
Решая уравнение (76) методом разделения переменных, полу-
чим решение в виде выражения (87). Перепишем его иначе:
б
U (x, t) е a2 2t A( ) cos x B( ) sin x			(102)
[постоянная C	включена в ( ), В( )].
1	А
		Д

Постоянные А и В изменяются при изменении . Поэтому А и В можно считать функциями от . В силу линейности уравнения (76) решением является также сумма решений вида (102)

е a2 2t A( ) cos x B( ) sin x .

Интегрируя выражение (102) по параметру в пределах от 0
до + , также получим решение	И

U (x, t) е a2 2t A( ) cos x B( ) sin x d ,		(103)
0

причем А( ) и В( ) таковы, что этот интеграл, его производная по t и вторая производная по x существуют и получаются путем диффе-

137

ренцирования интеграла по t и x.

Подберем А( ), В( ) так, чтобы решение U (x, t) удовлетворя-

ло условию (77). Полагая в равенстве (103) t 0 , на основании условия (77) получаем

U (x, 0) f (x) A( ) cos x B( ) sin x d .

(104)

Предполож м, что функция f (x)

такова, что она представле-

или

на интегралом Фурье

f (x)

f ( ) cos ( x)d d

f (x)

f ( ) cos d

cos x

б0

(105)

f ( ) sin d sin x d .

Сравнивая правые части выражений (104) и (105), получаем

А( )

f ( ) cos d

; В( )

f ( ) sin

d .

(106)

Подставив найденные выражения А( ), В( ) в формулу (103),

получим

2 2

U (x, t)

a t

f ( ) cos d

cos x

f ( ) sin d

sin x d

е a

f ( )(cos cos x sin sin x)d d

138

f ( ) cos ( x)d

или, переставив порядок интегрирования, окончательно получим

U (x, t)

f ( )

cos

( x)d d .

(107)

Это

есть решен е поставленной задачи. Преобразуем фор-

Смулу (107). Выч сл м

нтеграл, стоящий в круглых скобках:

2 2

преобразован

t cos ( x)d

е z

cos zdz .

(108)

Это

интеграла сделано путем подстановок:

А2

t z

;

(109)

Обозначим

е z

cos zdz .

(110)

Дифференцируя, получаем

z sin zdz .

Интегрируя по частям, найдем

sin z

cos zdz ,

или

K .

139

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим

K Сe	2
K Сe	4 .	(111)

Определим постоянную C. Из выражения (110) следует

2 dz

K 0 е z

ледовательно, в равенстве (111) должно быть С

Итак,

4 .

(112)

Значен е (112) нтеграла (110) подставляем в равенство (108):

е a

t cos ( x)d

4 .

б2 2

Подставляя вместо его выражение (109), получаем значение

интеграла (108):

( x)2

е a2 2t cos ( x)d

2t .

И2

Используем это выражение интеграла в решении (107), окон-

чательно получим

( x)

4a2t

U (x, t)

f ( )e

d .

(113)

Эта формула, называемая интегралом Пуассона, представляет собой решение поставленной задачи о распространении тепла в неограниченном стержне.

140

Случай стержня, ограниченного с одной стороны

Решение уравнения U t

а U xx ,

удовлетворяющее начально-

му условию U (x, 0) f (x)

и краевому условию U (0, t) (t) , вы-

ражается формулой

( x)

( x) 2

U (x, t)

f ( )

x 2

( )e

(t )

2 d .

5. Пр меры решения задач

x l

;

t 0, удов-

1. Найти решение уравнения U t

U xx ; 0

летворяющее начальным условиям

0 x

;

f (x) U (x, t

Аl x, x l

и краевым условиям U (x 0,

t) U (x l,

t) 0 .

Решение. Решение будем искать в виде выражения (95):

2 U1

U (x, t) U1

x Cn е

sin

x ,

где

2 l

f (x) sin

dx.

Вычислим коэффициенты разложения для функции f (x) :

141

2 l 2

x sin

(l x) sin

x dx

Интеграл берем по частям :

u x

du dx,

cos

d sin

xdx

cos

sin

cos

n 2k;

l 2

2 sin

sin

Аk

( 1) ,

n 2k 1.

2 2

С учетом того, что U1 U 2 0, окончательно имеем

(2k 1)2 2t

(2k 1)

U (x, t)

( 1)

sin

x .

(2k 1)2

k 0

;

x l ; t 0, удов-

2. Найти решение уравнения U t

4U xx

летворяющее начальным условиямДU (x, 0) x и краевым услови-

ям U (0,

t) 2;

U (l, t) 3.

Решение. Решение будем искать в виде равенства (95):

2 t

Cn е

Иl n

U (x, t) U1

sin

x .

n 1

Вычислим коэффициенты ряда:

2 l

f (x) sin

sin

l 0

142

Интеграл берем по частям:

u x2

du 2xdx, d sin

xdx

cos

x cos

sin

xdx

x sin

иn

Сn

sin

xdx

cos

(cos n cos 0)

4l 2

( 1)

n 2k;

8l 2

3 3 ,

n 2k 1.

С учетомбтого, что U 2; U 3, окончательно найдем ре-

шение в виде

8l 2

2(2k 1)

(2k 1)

U (x, t) 2

sin

k 0(2k 1)3

x 8l 2

2(2k 1)

Иx

(2k 1)

1)3

Дsin x.

k 0(2k

3. Найти распределение температуры стержня в любой мо-

мент времени t 0, если начальная температура U (x, 0) e ,

кон-

цы стержня теплоизолированы.

Решение. Необходимо решить уравнение

при на-

a U xx

чальном условии U (x,

0) ex ,

0 x l и

при условиях теплоизо-

(l, t) 0 .

ляции U x (0, t) 0

; U x

143

Решение будем искать в виде выражения (99):

ak 2

k x

U (x, t) С0

Ck е

cos

k 0

где

f (x)dx ;

2 l

f (x) cos

x dx, k = 1, 2, … .

l 0

Для нашего случая коэффициенты имеют вид

1 l

el 1

ex dx

;

А1

2 l

cos

xdx

l 2el

l 2

cos k

sin k

cos 0 sin 0

k 2n;

k 2n

2 2

Окончательное решение задачи записывается в виде

144

(2k 1)

(2k 1)2 a2 2

U (x, t)

4lk 1

cos

x e

l 2

l2 (2k 1)2 2

при 0 x l ;

t 0.

для начального распределе-

4. Решить уравнение Ut a U xx

ния температуры стержня вида

f (x)

при

x x x ;

U (x, t)

запишется

( x)2

t 0

при

x x1

или x x2.

Решен е. Стержень является бесконечным, поэтому решение

в в

де

нтеграла Пуассона (113)

4a2t

U (x, t)

f ( )e

d .

Так как

f (x)

в интервале (x1, x2)

равна постоянной темпе-

ратуре U0, а вне интервала температура равна нулю, то решение

примет вид

( x)

U 0

U (x, t)

4a t d .

Полученный результат можно преобразовать к интегралу ве-

роятностей

Φ(z)

e 2 d .

Действительно, полагая

;

d 2a

td , полу-

чим

145

x x2

x x1

x x2

U (x, t)

2a t e 2 d

2a t

e 2 d

2a t

e 2 d .

x x

2a t

Таким образом, решение записывается в виде

x x

U (x, t)

проводности

5. Найти решен е уравнения U

, удовлетворяющее на-

чальному

услов ю

U (x,

0) f (x) U0

краевому

условию

U (0, t) 0 .

Решен е. Здесь имеем дифференциальное уравнение тепло-

для полу есконечного стержня. Решение, удовлетво-

ряющее указанным условиям, имеет вид

А2 2

( x)2

U (x, t)

U 0

d ,

или

U 0

( x)

U (x, t)

d .

Полагая x

;

d 2

td , преобразуем первый инте-

2 t

грал, пользуясь интегралом вероятностей, то есть запишем

( x )2

2 t

1 Φ

2 t 0

2 t

146

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3319 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20215.77 Mб62339.pdf
#
07.01.2021362.66 Кб2234.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42340.pdf
#
07.01.20215.8 Mб42341.pdf
#
07.01.20215.83 Mб912342.pdf
#
07.01.20215.89 Mб432343.pdf
#
07.01.20215.94 Mб52344.pdf
#
07.01.20215.95 Mб102345.pdf
#
07.01.20215.98 Mб362346.pdf
#
07.01.20216.02 Mб292347.pdf
#
07.01.20216.07 Mб442348.pdf