8. Метод конечных разностей решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравне-

ний и уравнений в частных производных во многих случаях осу-

С

ществляется методом конечных разностей. Метод конечных разно-

стей сводит решение дифференциальных уравнений к решению ли-

нейных

ли нел нейных уравнений с достаточно разреженными мат-

рицами.

найти

Постановка задачи

Необход мо

решение

линейного дифференциального

уравнен

я

б

y

p x y

q x y r x , x [ a;b ],

(26)

удовлетворяющего краевым условиям

y a A;

y b B.

(27)

К данной задаче сводится, например, задача об определении

прогибов балки, которая на концах опирается шарнирно.

Д

Теорема. ПустьАp x ; q x ; r x – непрерывные, дважды

дифференцируемые функции на отрезке x [ a;b ] и q x 0. Тогда

существует единственное решение задачи (26), (27).

И

Этапы решения методом конечных разностей:

1. Область непрерывного изменения аргумента [ a; b ] заменяется

дискретным множеством точек, называемых узлами: xi a h i,

где

y xi

yi 1 yi

– правая разностная производная;

С

h

y xi

yi yi 1

– левая разностная производная;

h

и

y xi

yi 1

yi

1 – центральная разностная производная.

2h

Существует много спосо ов аппроксимации производной.

б

Все эти определения следуют из понятия производной как пре-

дела: y x

lim

y

x x y x .

x 0

x

А

водной:

Дy y y y

y

xi 1

i 1

i i

i 1

h

h

y xi

y xi

h

h

И

y xi

yi 1 yi 1

;

получим

2h

yi 1 2 yi yi 1

Сy xi

.

(28)

h2

б

В результате

разностное уравнение

yi 1 2 yi yi 1 p x

yi 1 yi 1

q x y x r x ,

(29)

h2

А

i

i

i

2h

i

i 1 ;...; n 1; y0 A;

yn B.

Итак, вместо дифференциального уравнения (26) с условиями

Д

(27) получена

система

линейных

уравнений

(29)

для

определения yi в узлах сетки.

Обозначим

p xi pi ; q xi qi ; r xi ri . Схему (29)

можно

записать в виде

И

2 pi h yi 1 4 2h

qi yi 2

2

pi h yi 1

2h

2

ri ;

(30)

i 1;...;n 1;

y0 A;

yn B.

1

0

0

0....................0

4 2h2 q

2

p h

2 p h

0....................0

1

1

i

2 p2h

4 2h2 q2

2 p2h .... 0....0

A 0

.

...

С

0

0

0

0............ 0...1

Данная матр

ца является трехдиагональной. То есть все элемен-

задачи

ты, расположенные не на главной диагонали и двух прилегающих к

ней диагоналях, равны нулю.

Реш в полученную систему уравнений, получим решение ис-

ходной

. Для решения таких систем линейных уравнений мож-

б

но использовать, напр мер, метод прогонки.

Пр меры. 1. Реш ть методом конечных разностей краевую за-

дачу

А

y

4y

y x ,

y 0 0;

y 1 1.

Решение. Составим разностную схему на основании формул

(29):

yi 1 2 yi yi 1

4 yi 1 yi 1

y x

x

,

h2

2h

i

i

И

y

0

0;Дy 1.

n

Для

устойчивости

схемы

необходимо

выполнение условия

h

2

2

0,5.

Выберем h 0,2. Тогда

n

1 0

5. Теперь

max

pi

4

0,2

преобразуем разностную схему к виду (30), получаем

1

2

2

1

2

y

i 1

1 y

y

i 1

x .

h2

h

h2

i

h2

h

i

Или после упрощений

15 yi 1 51 yi

35 yi 1 0,2i ; i 1; 2;3; 4;

y0 0;

y5 1.

То есть получили линейные уравнения:

51 y1 35 y2 0,2 ;

и

С

15 y1 51 y2

35 y3

0,4 ;

15 y2 51 y3

35 y4

0,6 ;

15 y3 51 y4

35 y5

0,8 ;

y5

1.

yi

А

Решимбданную систему линейных уравнений и получим значе-

ния решения краевой задачи в виде табл. 15.

Таблица 15

Д

xi

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

0,4701

0,6906

0,8164

0,9107

1

2. Рассмотрим и решим теперь краевую задачу

x

2

y

x y

3x

3

;

y 1 2;

y

2 9.

Решение. Для решения задачи методомИконечных разностей вы-

берем h 0,1.

Тогда n

2 1

10 . По формуле (29) получаем разно-

0,1

x2

y

i 1

2 y y

i 1

y

i 1

y

i

3x3 .

i

x

h2

i

i

h

i

В задаче неизвестным является набор

y1; y2 ; …; y9

(причем

y0 1; y10

9 ), значения которого – это значения неизвестной функ-

С

ции y(x) в узловых точках xi 1

0,1i .

Берем i 1;...;9 , получаем уравнения

2

y 2 y y

y y

3

и

i 1,

x

1,1,

1,1

2

1

0

1,1

2

1

3 1,1 ;

1

0,01

0,1

2

y 2 y y

y y

3

б

i 2,

x

1,2

,

1,2

3

2

1

1,2

3

2

3 1,2

;

2

0,01

0,1

2

y

4

2 y y

2

y

4

y

3

3

i 3,

x

1,3

, 1,3

3

1,3

3

1,3

;

3

А

0,01

0,1

…

2

y

2 y y

y

y

3

i 9 ,

x

1,9, 1,9

10

9

8

1,9

10

9

3

1,9

,

9

0,01

0,1

Д

причем, по условию, y0 1;

y10

9.

После преобразований получим систему линейных уравнений

вида

И

231 y1 110 y2

3,993 ;

y2 132 y3 5,184;

144 y1 276

....

336,141.

381 y8 703 y9

Таблица 16

xi

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

yi

2,0000

1,9970

2,0693

2,2279

2,5998

3,1117

Окончание табл. 16

xi

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

yi

2,7710

4,5838

5,5586

7,4896

9,0000

С

9. Интерполяц я функций

Интерполяц я,

нтерполирование в вычислительной математике

– способ нахожден я промежуточных значений функции по имею-

щемусяид скретному на ору известных значений.

В практ ке пр ходится оперировать наборами значений, полу-

ченных экспер ментальным путём или методом случайной выборки.

Как правило, на основании этих

требуется построить функ-

наборов

цию, на которую могли ы с высокой точностью попадать другие по-

Линейная интерполяция – интерполяция алгебраическим дву-

членом P

x a x b функции f(x), заданной в двух точках

x

0

и

1

f

x y P x f

x

f x1 f x0

x x

.

1

0

1

x1 x0

В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция

заменяется кусочно-л нейной функцией.

Интерполяц онная формула Ньютона применяется, если узлы

Синтерполяц равноотстоящие и упорядочены по величине, так что

xi 1 xi

h

const ,

то есть xi x0

h i . Тогда интерполяционный

многочлен можно зап сать в форме Ньютона.

Интерполяц онные полиномы в форме Ньютона удобно исполь-

зовать,

точка

нтерполирования находится вблизи начала (пря-

если

мая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Нью-

тона).

Вид интерполяционной формулы Ньютона

б

В случае равноудаленных центров интерполяции, находящихся

на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула

А

n

m

m

k

Pn x Cnm 1

Cmk f k ,

m 0

k 0

где Cnm – обобщенные на область действительных чисел биномиаль-

ные коэффициенты.

Д

Прямая интерполяционная формула Ньютона имеет вид (31)

P

x y

q y

q q 1

2 y

...

q q 1 ... q n 1

n y

, (31)

0

0

0

0

n

2!

И

n!

где q

x x0

; y

f

, а выражения вида

k y

– конечные разности.

h

i

i

i

P x y

q y

q q 1

2 y

...

q q 1 ... q n 1

n y

,

(32)

n

n 1

n 2

0

n

2!

n!

где q

x xn

.

h

Интерполяц онный многочлен

Лагранжа

– многочлен

мини-

мальной степени, пр н мающий данные значения в данном наборе

точек.

x ; y

; x ; y

;…; x

, где все x

Для (n + 1) пар ч

сел

0

; y

n

раз-

С

0

1

1

n

i

личны, существует ед нственный многочлен L(x) степени не более n,

для которого L xi yi . В простейшем случае (n = 1) – это линейный

многочлен, граф к которого – прямая,

проходящая через две задан-

ные

.

точки

вычисления таких многочленов

Лагранж предлож л

n

x ,

L x y

i

L

j

(33)

способj 0

где базисные полиномы определяются по формуле

n

x x

x

Аx x x x x x

n

L

П

i

0

1

...

.

j

i 0 ; j 1 x

x

x

x