Пример.

Вычислим

приближенное значение

функции

z 2x y 3y 5x

в точке М (3,04;3,95) с помощью полного диффе-

ренциала по формуле (2).

Решение. Имеем x=3,04=3+0,04, то есть x0 3 ; x 0,04. Ана-

логично y=3,95= 4 0,05 , то есть y0

4 ; y 0,05.

3; 4 :

Вычислим значение функции

z 2x y 3y 5x в точке

СибАДИ

z 3; 4 2

3 4 3 4 5 3 21.

Выч сл м частные производные первого порядка в точке 3; 4 :

zx 2x y 3y 5x x

2 y 5 , zx 3; 4 2 4 5 3;

zy 2x y 3y

, zy 3; 4 2 3 3 9.

5x y 2x 3

Так м образом, по формуле приближенного значения функции

в точке М (2) получаем

z 3,04;3,95 21 3 0,04 9 0,05 20,67.

Получили,

что

приближенное

значение

функ-

ции z 2x y 3y 5x

в

точке

М

(3,04;3,95)

равно

f x f x

f x0

x x

f x0

x x 2

f n x0

x x n .

0

1!

0

2!

0

n!

0

При x0 0 получаем формулу Маклорена (степенной ряд, рас-

положенный по степеням x )

СибАДИ

f

f

n

0

f x f 0

f 0

x

f

0

x2

0

x3

xn

.

1!

2!

3!

n!

Разлож м в ряд по степеням x функцию f x еx .

Используем формулу Маклорена

f

f

n

0

f x f 0

f 0

x

f

0

x2

0

x3

xn

.

1!

2!

3!

n!

Найдем значен я функции и ее производных при x 0 :

f 0 e

0

1;

f 0 e

x

e

0

1;

f 0

e

x

e

0

1; …

x 0

x 0

f n 0 ex

x 0

e0 1.

Составляем ряд Тейлора:

x

x2

x3

xn 1

1

n 1 ! .

1!

2!

3!

Теперь найдем интервал

радиус сходимости получившегося

ряда. Для этого применим признак Даламбера к ряду из модулей

x

n 1

x

n

1

: lim

n!

x

lim

0 1.

n 1

n 1 !

n

x

n 1

n n

n 1 !

Это означает,

что

полученное

разложение

сходится при

x , R .

Теперь докажем, что функция

f x еx

есть сумма построенно-

xn

го ряда. Так как ряд

является абсолютно сходящимся на всей

n!

n 0

числовой прямой, то по необходимому признаку сходимости верно

равенство lim

x

n

0 .

Так как

f (n)

(x) ex , то

остаточный член за-

n!

n

писывается в в де R ( x )

f (n) ( x )

xn

e x

xn , где 0 1 .

n

n!

n!

e x

n

x

x

n

x

n

Так как

R ( x )

x

e

lim

0 , получаем, что

n

n!

n!

n n!

lim R n ( x ) 0. Это означает, что верно равенство

n

ex 1

x

x2

x3

xn 1

, R .

1!

2!

3!

n 1 !

Приведем некоторые формулы разложения в ряд Маклорена.

Разложение функций в ряд Маклорена

1. ex 1

x

x2

x3

xn 1

n 1 ! , R ;

1!

2!

3!

2. e x 1

x

x2

x3

1 n 1

xn 1

n 1 ! , R ;

1!

2!

3!

x

x3

x5

x7

x2n 1

3. sin x

1 n 1

2n 1 ! , R ;

1

3!

5!

7!

x2

x4

x6

n

x2n

4. cos x 1

1

2n ! , R ;

2!

4!

6!

2

3

4

n

СибАДИ

5. ln

1 x

x

x

x

x

1 n 1

x

, R 1;

1

2

3

4

n

6. 1 x m 1 mx

m m 1

x2 m m 1 m 2 x3 , R 1;

1 2

1 2 3

при m 0 интервал сходимости

1 x 1;

Для вычисления приближенного значения

функции f x с

помощью рядов необходимо разложить функцию

f x

в степенной

ряд, при этом сохраняют первые n членов разложения,

а остальные

члены отбрасывают. Сумма отброшенных членов является ошиб-

кой вычисления, поэтому ее нужно оценивать. Если функция разло-

жена в знакопостоянный ряд, то ряд, составленный из отброшенных

СибАДИ

членов, оценивают с помощью бесконечно убывающей

геометриче-

ской прогресс

. В случае знакопеременного ряда,

члены

которого

удовлетворяют

теореме Лейбница, используется оценка

Rn

an 1 ,

где an 1− первый з отброшенных членов ряда.

Пр ведем теорему Лей ница.

Теорема Лейбн ца. Если для ряда 1 n 1an ,

an 0 выполнены ус-

ловия а)

б) то знакочередующийся ряд 1 n 1an сходится:

а) lim an 0 ;

n

)

an 1 an , нач ная с некоторого номера.

an 1 .

При этом выполнено неравенство

Rn

Рассмотрим несколько примеров приближенных вычислений.

Примеры. 1. Вычислить

e с точностью 0,00001.

Решение. Используем разложение в ряд функции ex .

При x

1

получаем

2

1

1

1

1

e e2 1

.

2! 22

3! 23

1! 2

Определим необходимое для достижения заданной точности

число слагаемых. Для этого оценим остаток ряда:

Rn

1

1

1

1

n 1 ! 2n 1

n 2 ! 2n 2

n 3 ! 2n 3

n 1 ! 2n 1

1

1

1

2

3

1

n 2

2

n 2 n

3

2

n 2 n 3 n

4 2

1

1

1

1

1

1

1

<

1

.

n 1 ! 2n 1

22

23

n 1 ! 2n 1

1

n 1 ! 2n

2

1

2

Путем подбора определим,

при каком значении n будет выпол-

няться неравенство

Rn

0,00001 .

Полагаем, например,

n 4, получа-

СибАДИ

ем, что

Rn

0,00026 .

При

n

5

Rn

0,0000022 .

При n

6

Rn 0,00000016 <0,00001. Итак,

принимаем n 6 :

1

1

1

1

1

1

1

e e2 1

2! 22

3! 23

4! 24

5! 25

6! 26

1! 2

1,000000+0,500000+0,125000+0,020833+0,002604+0,000260+

+0,000022 1,648719.

Получ ли