Типовой расчет №1

Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
		Вариант					1 - 43						¯
		¯¡2 ¡2				¡2				¡9			¯
43.1.	Вычислить определитель	¯	4	6			4			18			¯
43.1.	Вычислить определитель	¯											¯
		¯	2		2			4			9		¯
		¯	2		2			4			9		¯
		¯¡		¡	2	¡		2		¡			¯
		¯	2		2			2		12¯
		¯		¡		¡				¡			¯
		¯¡		¡		¡				¡			¯
		¯											¯			¯
		¯	1	¡			¡			¡						¯
		¯	1	4			9				6				6¯
		¯	1		3				9			6¯			6	¯
		¯¡												¡		¯
43.2.	Вычислить определитель	¯	1		3			12				6			6	¯
43.2.	Вычислить определитель	¯	1		3			12				6			6	¯
		¯	3	¡	9	¡		27		¡				18		¯
		¯	3		9			27			20			18		¯
		¯														¯
		¯	2	¡	6	¡		18		¡					9	¯
		¯	2		6			18			12				9	¯
		¯		¡		¡				¡						¯
		¯		¡		¡				¡						¯
		¯														¯
		¯														¯	2	0		2
43.3. Вычислить определитель произведения							AB			матриц						0		1		1
							AB								A = B¡2			1		1C,
																B	1	¡	1	3C
																B		¡		C
																@				A

131

B = B	3		¡1	1	C.
B = B	0		1	0	C.
B		2	0	1C
B¡				¡	C
@					A

43.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

4	1	3
A = B3	2	3C
B4	0	4C
B		C
@		A

43.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

0 ¡2 2

1 0x11 0¡21

B¡1 ¡1 ¡2C ¢ Bx2C

= B

1 1 2

C Bx3C B

C B C

B¡

A @ A

43.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡3 31 0x11 x121 03 0

033 12 1

4 4A ¢ @x21 x22A ¢ @1 ¡4A

@ 4 ¡16A

2 ¡2 ¡21

8 ¡2

43.7. Вычислить ранг матрицы

B¡9

¡1

13 C

B¡

132	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

43.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

¡1 1

1 0x11 001

0¡5

2 ¡1 1

C Bx2C B0C

1C Bx3C

=B0C

C B C

B C

1 3

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

7 1

1C Bx

C B0C

C B

B C

¡ A @ A

@ A

43.9. Найти общее

0x1

решение системы уравнений

0¡2 ¡3 ¡2 ¡3 ¡301Bx2C

= 0 16 1

Bx3C

CB C

B¡

AB C

43.10. Вычислить

@ A

A = 0¡6

собственные числа и собственные векторы матрицы

0¡2

43.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

¡21

A = B1

¡1 ¡3C

43.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡!

ортогональны, а

a ¡!

3; 2; 1

¡! =

5; ; 2

5; 0

векторы

¡!

!¡

¡!

¡ g ¡!

f¡ ¡ g

, b , c компланарны. a

43.13. Даны 3 вершины треугольника A(1; ¡1; 3), B(1; ¡3; 3), C(¡1; 3; ¡3).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

43.14. Даны 4 точки A(3; ¡1; 2), B(1; ¡1; ¡3), C(¡3; 3; ¡1), D(2; 3; ¡1).

Вычислить: а)

j ¡3¡!

+ 2¡¡! j

, á)

(¡3¡!

2¡¡!)

, â)

[¡3¡!

2¡¡!]

, ã)

[¡¡! [¡! ¡!]]

, ä)

AB;

AB; CD

AD; AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

133

43.15. Доказать, что векторы ~a = f¡1; 0; 2g

, ~

= f3; 1; 5g образуют

b = f¡5; ¡3; ¡1g, ~c

базис и найти координаты вектора ~

d = f19; 8; 6g относительно этого базиса.

43.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f2; 0; 2g

, ~

b = f5; 3; ¡2g

è ~c =

f¡3; 4; ¡5g,если известны скалярные произведения (x;~a) =

¡6, (~x; b) = ¡20 è

(~x;~c)

= ¡5. ~a

= f2; 0; 2g

, ~

f5; 3; ¡2g,

~c = f¡3; 4; ¡5g, (x;~a) = ¡6,

b =

(~x; b) = ¡20,

(~x;~c) = ¡5.

43.17. Найти значение скалярного произведения (¡3~u + 1~v)(4~u ¡ 2~v), åñëè ~u = 3~a ¡ 3b,

= 1

+ 3

j= 3 j b j= 2 ' = ( c ) cos

= 0 4

b и известны

~a; b ,

43.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 7x2 + 5y2 + 7z2 + 10xy + 8xz + 4yz

43.19.Привести квадратичную форму 1x2 ¡1y2 +3z2 +4xy¡8xz+12yz к каноническому виду методом Лагранжа.

43.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3						0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0	1		¡2		2 1
A = B		3		4		¡1C
	B		3	¡	2	3C
	B¡			¡		¡ C
	@					A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

43.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡3; ¯ =

¡1; ~a = f3; ¡3; 2g; b = f2; ¡1; 0g.

134	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
		Вариант				1 - 44
		¯	1	¡6			1		¡2¯
44.1.	Вычислить определитель	¯	1		9		1		2¯
44.1.	Вычислить определитель	¯		¡					¡	¯
		¯	2		12		3			¯
		¯	2		12		3		4¯
		¯	3	¡				3	¡	¯
		¯	3	18				3	8	¯
		¯				¡				¯
		¯¡				¡				¯
		¯								¯			¯
		¯	2		6	¡			¡	¯			¯
		¯	2		6	4			6			2¯
		¯	1	2			2		3		1		¯
		¯¡		¡							¡		¯
44.2.	Вычислить определитель	¯	2	4			5		6		2		¯
44.2.	Вычислить определитель	¯	2	4			5		6		2		¯
		¯	1	2		¡	2		¡		1		¯
		¯	1	2			2		2		1		¯
		¯											¯
		¯	2		4	¡			¡				¯
		¯	2		4	4			6			3¯
		¯		¡							¡		¯
		¯¡		¡							¡		¯
		¯											¯
		¯											¯	4	2	B =	2	4
44.3. Вычислить определитель произведения AB матриц													A =	0	1,	B =	0	1.
														@2	0A		@2	¡3A

44.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

¡3	2	3
A = B¡1	4	¡1C
B 1	1	0	C
B¡			C
@			A

	44.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы
0è	методом Гаусса.		9 1
0è	¡1 0 31 0x11 0		9 1
B¡2 ¡1 3C ¢ Bx2C		= B	14 C
B	3 0 4C Bx3C B			1C
B	C B C	B¡		C
@	A @ A	@		A
0	44.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0	3 ¡21 0x11 x12	1 0		1 2	1	=		0	15		26		1
@¡3 1 A ¢ @x21 x22A ¢ @¡1 ¡1A @¡12 ¡22A															1
					0¡2			1		0	1		0	0	1
	44.7. Вычислить ранг матрицы				B¡4 2 0						2		0	0	C
	44.7. Вычислить ранг матрицы				B		3	3		0	2		0	1	C
					B¡		7	2		0	3		0		C
					B		7	2		0	3		0	1C
					B										C
					B¡				8	0		3	0	¡	C
					B	1			8	0		3	0	5C
					B										C
					@			¡			¡			¡ A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

135

44.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 0x11 001

025 2 3 3 3

4 1 ¡1 1 2

C Bx2C B0C

B16 1 3 2

1C Bx3C =B0C

C B C

B C

B16 1 3 1 2

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

B86 7 11 12 3

C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

44.9. Найти общее решение0x1

системы уравнений

0¡23 ¡5 6 ¡8 ¡191Bx2C

0¡121

Bx3C

CB C

B¡

AB C

44.10. Вычислить

@ A

собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

0¡3

44.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B¡3

¡2

B 3

44.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡!

ортогональны, а

¡!

5; 2 ¡! =

; 5

1; 5; 3

векторы

¡!

!¡

¡!

f¡

, b

f¡

g ¡!

f¡

, b , c компланарны. a

44.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 3; 2), B(3; 1; ¡2), C(2; 2; 2).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

44.14. Даны 4 точки A(¡1; 2; 0), B(1; 1; 2), C(3; 3; 0), D(¡3; 2; 2).

[¡¡!

[¡! ¡!]]

Вычислить: а)

j 4¡! ¡ 4¡¡! j

, á)

(4¡!

¡4¡¡!)

, â)

[4¡!

¡4¡¡!]

, ã)

, ä)

AB;

AD; AB; AC

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

136			"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
44.15. Доказать, что векторы ~a = f¡2; ¡1; ¡3g								, ~
44.15. Доказать, что векторы ~a = f¡2; ¡1; ¡3g								b = f2; ¡5; ¡4g, ~c = f¡3; 0; 5g образуют
базис и найти координаты вектора ~
				d = f¡20; 20; 36g относительно этого базиса.
44.16. Найти координаты вектора ~x							по известным векторам ~a = f¡5; ¡1; 5g			, ~
44.16. Найти координаты вектора ~x							по известным векторам ~a = f¡5; ¡1; 5g			b =
										~
f2; ¡4; ¡5g è ~c = f5; ¡4; ¡4g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 12, (~x; b) =
¡15 è	(~x;~c) = ¡28. ~a = f¡5; ¡1; 5g				, ~					~
¡15 è	(~x;~c) = ¡28. ~a = f¡5; ¡1; 5g				b = f2; ¡4; ¡5g, ~c = f5; ¡4; ¡4g, (x;~a) = 12, (~x; b) =
¡15, (~x;~c) = ¡28.
										~
44.17. Найти значение скалярного произведения (4~u + 2~v)(¡2~u ¡2~v), åñëè ~u = ¡3~a + 4b,
= 1	¡ 2	j	j= 5 j b j= 2 ' = ( c ) cos						= 0 8
~v ~a	~	~a	,	~		,	~		:
~v ~a	b и известны	~a	,			,	~a; b , '		:

44.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму 7x2 + 7y2 + 4z2 + 8xy + 8xz + 8yz

44.19.Привести квадратичную форму ¡2x2 + 2y2 ¡ 1z2 ¡ 16xy + 16xz ¡ 4yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

44.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3						0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0	4		0		¡31
A = B		2		¡2		¡2C
	B		3	¡	1	0 C
	B¡			¡		C
	@					A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

44.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡2; ¯ =

¡1; ~a = f¡2; 3; 3g; b = f0; 0; ¡2g.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

137

Вариант

1 - 45

¯3

¡1

¡6

45.1.

Вычислить определитель

¯6

12¯

¯3

¯¡

4¯

¯4

45.2.

Вычислить определитель

2¯

4¯

¯¡

45.3. Вычислить определитель произведения

матриц

A = 0¡

0¡

B =

1 .

B¡

45.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

1	¡3	¡2
A = B¡3	3	¡2C
B 3	2	3C
B¡		¡ C
@		A

	45.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы
0è	методом Гаусса.					10 1
0è	¡2 ¡3 ¡11 0x11 0					10 1
B	3		3 ¡3C ¢ Bx2C		= B¡15C
B		2	3	3C Bx3C B		8 C
B¡			¡	¡ C B C	B	C
@				A @ A	@	A
0	45.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0	1		4	1 0x11 x121 0		0 ¡21 =				0 3	8	1
@¡1 ¡3A ¢ @x21 x22A ¢ @¡3 0							A @¡3 ¡4A									1
							0¡5 ¡1				1	0	0	2		1
	45.7. Вычислить ранг матрицы						B	9		3	¡1	0	0	¡8 C
	45.7. Вычислить ранг матрицы						B	3		3	1	0	0	¡	10C
							B		5	2	3	0	0	¡		C
							B		5	2	3	0	0		9 C
							B									C
							B¡			15	2	0	0	¡		C
							B	24		15	2	0	0		47C
							B									C
							@							¡		A

138

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

45.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

4 ¡1 1 ¡1 21 0x11 001

B17 2 3 1 3C Bx2C B0C

B12

1 3 2 3C Bx3C =B0C

C B C

B C

B13 3 2 2 1C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

B28

1 7 8 5C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

45.9. Найти общее

0x11

решение системы уравнений

015 0 3 7

1Bx2C

0 5 1

B¡

3 3 3

Bx3C

B¡

CB C

4 1 2 2

CBx4C

23 C

CB C

AB C

45.10. Вычислить

@ A

0¡2

собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

@ 0

45.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B1

45.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡!

ортогональны, а

¡!

1; 5;

¡! =

5; ; 1

векторы

¡!

, b ,

!¡

¡!

¡ g

f¡

¡!

f ¡ ¡ g

c компланарны. a

45.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 3; ¡3), B(2; ¡3; 3), C(1; ¡2; 0).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

45.14. Даны 4 точки A(2; ¡2; ¡1), B(3; ¡1; 3), C(¡2; ¡2; 1), D(¡1; ¡3; 3).

j ¡3¡!

¡ 3¡¡! j

(¡3¡!

¡3¡¡!)

[¡3¡!

¡3¡¡!]

[¡¡! [¡! ¡!]]

Вычислить: а)

, á)

AB;

, â)

AB;

, ã) AD; AB; AC

д) квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани

ABC

¡¡! ¡!

, и) направляющие косинусы вектора AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

				"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"							139
45.15. Доказать, что векторы ~a = f1; ¡4; ¡5g									, ~
45.15. Доказать, что векторы ~a = f1; ¡4; ¡5g									b = f2; ¡4; ¡3g, ~c = f¡3; 2; ¡1g образуют
базис и найти координаты вектора ~
					d = f11; ¡14; ¡4g относительно этого базиса.
45.16. Найти координаты вектора ~x								по известным векторам ~a = f2; ¡5; ¡5g			, ~
45.16. Найти координаты вектора ~x								по известным векторам ~a = f2; ¡5; ¡5g			b =
											~
f¡5; ¡5; ¡3g è ~c = f0; ¡4; 3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡23, (~x; b) =
¡28 è	(~x;~c) = ¡13. ~a		=	f2; ¡5; ¡5g		,	~	= f¡5; ¡5; ¡3g, ~c = f0; ¡4; 3g, (x;~a) =			¡23,
¡28 è	(~x;~c) = ¡13. ~a		=	f2; ¡5; ¡5g			b	= f¡5; ¡5; ¡3g, ~c = f0; ¡4; 3g, (x;~a) =			¡23,
~
(~x; b) = ¡28, (~x;~c) = ¡13.
											~
45.17. Найти значение скалярного произведения (3~u ¡4~v)(¡1~u + 4~v), åñëè ~u = ¡3~a + 2b,
= 3	¡ 4	j		j= 4 j b j= 5 ' = ( c ) cos						= 0 4
~v ~a	~		~a	,	~	,		~		:
~v ~a	b и известны		~a	,		,		~a; b , '		:

45.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму 5x2 + 6y2 + 4z2 + 6xy + 4xz + 8yz

45.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 + 1y2 + 1z2 ¡ 8xy + 4xz + 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

45.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

45.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

¡3; ~a = f2; 2; ¡3g; b = f3; 0; 2g.

140

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

Вариант

1 - 46

¯¡2

46.1.

Вычислить определитель

6 4 12 18¯

¯¡

18¯

¯¡

2¯

46.2.

Вычислить определитель

6¯

¯¡

4¯

46.3. Вычислить определитель произведения

матриц

A = B¡1 ¡2 2

B¡

B = B	1	¡1	3
B = B	3	2	¡2C.
B	1	0	3	C
B¡				C
@				A

46.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	1		¡2		0	C
	2		¡1		1
B		2	¡	1	1C
B¡					¡	C
@						A

	46.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы
0è	методом Гаусса.					0¡81
0è	¡3 ¡1			¡11 0x11		0¡81
B¡3			1 0 C ¢ Bx2C		=	B¡7C
B		2	1	1C Bx3C		B	6C
B¡			¡	¡ C B C		B¡	C
@				A @ A		@	A

0	46.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0	0 ¡11 0x11 x121 0¡4 ¡31			= 0		0 41
@¡1 1 A ¢ @x21 x22A ¢ @		0 ¡2A @12 7A											1
			0 ¡3			1	1		2	0	0		1
	46.7. Вычислить ранг матрицы		B¡14			3	2		¡2	0	21 C
	46.7. Вычислить ранг матрицы		B	2		3	¡	2	2	0	¡	3C
			B				¡				¡		C
			B			¡					¡		C
			B			¡					¡		C
			B	2		1	1		3	0			C
			B	2		1	1		3	0		9C
			@¡										A
			B		49	3	16		5	0	42 C

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
20.06.2014122.37 Кб34Лабораторная работа №1 «Вычисление интеграла методом трех восьмых».doc
#
20.06.2014836.76 Кб9Лабораторная работа №1.doc
#
20.06.2014909.58 Кб357Оптимизация, численные методы.pdf
#
20.06.20141.32 Mб30Решенный ТР №3 Вариант 5.rar_31
#
20.06.2014282.42 Кб24Решенный ТР №3 Вариант 8.pdf
#
20.06.20141.23 Mб79Типовой расчет №1.pdf
#
20.06.2014988.13 Кб22Типовой расчет №1.rar_8
#
20.06.2014896.05 Кб23Типовой расчет №2.pdf
#
20.06.2014281.94 Кб21Типовой расчет №2.rar_23
#
20.06.2014471.32 Кб20Типовой расчет №3.rar_76
#
20.06.2014451.98 Кб19Типовой расчет №4.rar_79