Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Типовой расчет №1

.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
1.23 Mб
Скачать

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

 

1 - 43

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡2 ¡2

¡2

¡9

 

 

 

 

 

 

 

 

43.1.

Вычислить определитель

¯

4

6

 

4

 

18

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

2

 

 

4

 

9

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

2

¡

2

¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

 

 

12¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

¡

 

 

¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

1

¡

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

4

 

9

 

6

 

 

6¯

 

 

 

 

 

 

¯

1

 

3

 

 

 

9

 

 

6¯

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

43.2.

Вычислить определитель

¯

1

 

3

 

 

12

 

 

6

 

6

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

9

¡

27

¡

 

 

18

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

20

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

2

¡

6

¡

18

¡

 

 

 

9

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

12

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

¡

 

 

¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

0

2

43.3. Вычислить определитель произведения

AB

матриц

 

0

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡2

1C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1

¡

1

3C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

131

01

B = B

3

¡1

1

C.

0

1

0

B

 

2

0

1C

B¡

 

 

¡

C

@

 

 

 

 

A

43.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

4

1

3

A = B3

2

3C

B4

0

4C

B

 

C

@

 

A

 

43.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ¡2 2

1 0x11 0¡21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡1 ¡1 ¡2C ¢ Bx2C

= B

8

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1 1 2

C Bx3C B

 

6C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

C B C

B¡

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

A @ A

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡3 31 0x11 x121 03 0

1

=

033 12 1

 

 

 

 

 

@

4 4A ¢ @x21 x22A ¢ @1 ¡4A

@ 4 ¡16A

2 ¡2 ¡21

 

 

 

 

 

 

 

0

8 ¡2

0

 

43.7. Вычислить ранг матрицы

B¡9

2

0

¡1

3

5

C

 

B

 

7

3

0

2

3

13 C

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

4

 

1

0

1

3

3

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

¡

C

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

¡

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

22

 

6

0

10

 

3

5

C

132

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

43.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

¡1 1

1 0x11 001

 

 

 

0¡5

1

3

 

 

 

B

8

2 ¡1 1

3

C Bx2C B0C

 

 

 

B

2

2

3

3

¡

1C Bx3C

=B0C

 

 

 

B

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

B

9

1 3

3

1

C Bx

 

C B0C

 

 

 

B

 

¡

 

 

 

 

C B

4C

B C

 

 

 

B

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

B

13

7 1

3

 

1C Bx

 

C B0C

 

 

 

B

 

¡

 

 

 

 

C B

5C

B C

 

 

 

@

 

 

 

¡ A @ A

@ A

 

 

 

 

43.9. Найти общее

 

 

 

0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

0¡2 ¡3 ¡2 ¡3 ¡301Bx2C

= 0 16 1

 

 

B

2

3

2

3

30

 

Bx3C

B

16

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

 

 

 

B

2

3

2

3

30

C

Bx

4

C

B

 

16

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

CB C

B¡

 

C

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

AB C

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

43.10. Вычислить

 

 

 

 

B

 

5C

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

A = 0¡6

 

1

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡2

43.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

01

 

 

 

1

¡21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B1

 

 

¡1 ¡3C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B4

 

 

 

2

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

43.12. Найти значения параметра

¯

, при которых векторы

 

@

¡!

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

è

b

 

 

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ¡!

 

 

 

 

=

 

3; 2; 1

 

 

¡! =

 

5; ; 2

 

 

=

 

 

 

 

5; 0

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;

 

 

 

 

¡!

 

 

¡!

 

f

 

 

g

,

b

 

f

¯

¡ g ¡!

 

 

f¡ ¡ g

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

43.13. Даны 3 вершины треугольника A(1; ¡1; 3), B(1; ¡3; 3), C(¡1; 3; ¡3).

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

C

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

43.14. Даны 4 точки A(3; ¡1; 2), B(1; ¡1; ¡3), C(¡3; 3; ¡1), D(2; 3; ¡1).

 

 

 

Вычислить: а)

j ¡3¡!

+ 2¡¡! j

, á)

(¡3¡!

 

2¡¡!)

, â)

[¡3¡!

2¡¡!]

, ã)

 

[¡¡! [¡! ¡!]]

, ä)

AB

 

CD

 

 

AB;

 

CD

 

AB; CD

 

 

AD; AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

133

 

43.15. Доказать, что векторы ~a = 1; 0; 2g

, ~

 

 

= f3; 1; 5g образуют

 

b = 5; ¡3; ¡1g, ~c

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = f19; 8; 6g относительно этого базиса.

 

43.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f2; 0; 2g

, ~

 

b = f5; 3; ¡2g

è ~c =

3; 4; ¡5g,если известны скалярные произведения (x;~a) =

 

~

¡6, (~x; b) = ¡20 è

(~x;~c)

= ¡5. ~a

= f2; 0; 2g

, ~

 

f5; 3; ¡2g,

~c = 3; 4; ¡5g, (x;~a) = ¡6,

~

b =

(~x; b) = ¡20,

(~x;~c) = ¡5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

43.17. Найти значение скалярного произведения (¡3~u + 1~v)(4~u ¡ 2~v), åñëè ~u = 3~a ¡ 3b,

 

= 1

+ 3

 

j

j= 3 j b j= 2 ' = ( c ) cos

 

= 0 4

 

 

~v

 

~a

~

 

~a

 

,

~

,

~

'

:

 

 

 

 

b и известны

 

 

~a; b ,

 

 

43.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 7x2 + 5y2 + 7z2 + 10xy + 8xz + 4yz

43.19.Привести квадратичную форму 1x2 ¡1y2 +3z2 +4xy¡8xz+12yz к каноническому виду методом Лагранжа.

43.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0

1

¡2

2 1

 

 

A = B

3

4

¡1C

 

 

 

B

 

3

¡

2

3C

 

 

 

B¡

 

 

¡ C

 

 

 

@

 

 

 

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

43.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡3; ¯ =

~

¡1; ~a = f3; ¡3; 2g; b = f2; ¡1; 0g.

134

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

1 - 44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

¡6

 

1

¡2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

44.1.

Вычислить определитель

¯

1

 

9

 

1

2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

12

 

3

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

4¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

 

 

 

3

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

18

 

 

8

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

6

¡

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

4

 

6

 

2¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

2

 

2

 

3

1

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

44.2.

Вычислить определитель

¯

2

4

 

5

 

6

 

2

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

2

¡

2

 

¡

 

1

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

2

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

4

¡

 

 

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

4

 

6

 

 

3¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

 

 

 

 

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

4

2

B =

2

4

44.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

0

1,

0

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@2

0A

 

@2

¡3A

44.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

¡3

2

3

 

A = B¡1

4

¡1C

B 1

1

0

C

B¡

 

 

C

@

 

 

A

 

44.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

9 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡1 0 31 0x11 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡2 ¡1 3C ¢ Bx2C

= B

14 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3 0 4C Bx3C B

 

1C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

C B C

B¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

A @ A

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

44.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

3 ¡21 0x11 x12

1 0

1 2

1

=

0

15

 

26

1

 

 

@¡3 1 A ¢ @x21 x22A ¢ @¡1 ¡1A @¡12 ¡22A

 

1

 

 

 

 

 

0¡2

1

0

1

0

0

 

44.7. Вычислить ранг матрицы

B¡4 2 0

2

0

0

C

 

B

 

3

3

0

2

0

1

C

 

 

 

 

 

B¡

7

2

0

3

0

 

C

 

 

 

 

 

B

 

1C

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

B¡

 

 

8

0

 

3

0

¡

C

 

 

 

 

 

B

1

 

 

5C

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

@

 

 

¡

 

 

¡

 

 

¡ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

135

 

44.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

1 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

025 2 3 3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

4 1 ¡1 1 2

C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B16 1 3 2

¡

1C Bx3C =B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B16 1 3 1 2

C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

4C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B86 7 11 12 3

C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

5C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44.9. Найти общее решение0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡23 ¡5 6 ¡8 ¡191Bx2C

=

0¡121

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

6

2

1

3

 

 

 

2

 

 

Bx3C

 

 

B

 

14

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

¡

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

5

1

3

1

 

 

 

25

C

Bx

4

C

 

 

B

 

 

54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

 

B¡

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

 

@

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44.10. Вычислить

 

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

01

 

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@0

 

1A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡3

 

1

11

 

44.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡3

¡2

4C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 3

¡

2

0C

 

44.12. Найти значения параметра

 

 

, при которых векторы

 

 

è

 

 

 

 

B

 

 

C

 

¯

 

a

¡!

 

@

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

b

 

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

1;

 

5; 2 ¡! =

1;

 

; 5

 

 

 

 

1; 5; 3

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

¡

 

g

, b

 

¯

 

 

g ¡!

 

 

 

g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 3; 2), B(3; 1; ¡2), C(2; 2; 2).

 

 

 

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

 

44.14. Даны 4 точки A(¡1; 2; 0), B(1; 1; 2), C(3; 3; 0), D(¡3; 2; 2).

 

 

[¡¡!

[¡! ¡!]]

 

Вычислить: а)

j 4¡! ¡ 4¡¡! j

, á)

(4¡!

¡4¡¡!)

, â)

[4¡!

¡4¡¡!]

, ã)

, ä)

AB

 

CD

 

 

AB;

 

CD

 

AB;

 

CD

 

AD; AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

136

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

44.15. Доказать, что векторы ~a = 2; ¡1; ¡3g

, ~

 

 

b = f2; ¡5; ¡4g, ~c = 3; 0; 5g образуют

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = 20; 20; 36g относительно этого базиса.

 

44.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = 5; ¡1; 5g

, ~

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

f2; ¡4; ¡5g è ~c = f5; ¡4; ¡4g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 12, (~x; b) =

¡15 è

(~x;~c) = ¡28. ~a = 5; ¡1; 5g

, ~

 

 

 

 

~

b = f2; ¡4; ¡5g, ~c = f5; ¡4; ¡4g, (x;~a) = 12, (~x; b) =

¡15, (~x;~c) = ¡28.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

44.17. Найти значение скалярного произведения (4~u + 2~v)(¡2~u ¡2~v), åñëè ~u = ¡3~a + 4b,

= 1

¡ 2

j

j= 5 j b j= 2 ' = ( c ) cos

= 0 8

 

~v ~a

~

~a

,

~

 

,

~

 

:

 

b и известны

 

 

~a; b , '

 

44.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму 7x2 + 7y2 + 4z2 + 8xy + 8xz + 8yz

44.19.Привести квадратичную форму ¡2x2 + 2y2 ¡ 1z2 ¡ 16xy + 16xz ¡ 4yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

44.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0

4

0

¡31

 

 

A = B

2

¡2

¡2C

 

 

 

B

 

3

¡

1

0 C

 

 

 

B¡

 

 

C

 

 

 

@

 

 

 

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

44.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡2; ¯ =

~

¡1; ~a = 2; 3; 3g; b = f0; 0; ¡2g.

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

137

 

 

 

 

 

 

Вариант

 

1 - 45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯3

6

¡1

 

 

¡6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45.1.

Вычислить определитель

¯6

9

 

2

 

¡

12¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

6

 

2

 

 

 

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯3

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

6

¡

 

 

¡

4

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯3

 

1

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¡

 

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

¡

 

 

 

6

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

3

 

 

 

 

 

4¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

1

 

3

 

3

 

 

¯4

2

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¡

 

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45.2.

Вычислить определитель

¯

1

3

 

 

2

 

 

 

4

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

6

¡

6

 

 

¡

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

10

4¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

1

 

3

¡

 

 

 

¡

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

3

 

 

4

1

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

3

¡

1

1

45.3. Вычислить определитель произведения

 

 

 

 

матриц

A = 0¡

2

¡

1

¡

2

,

0¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

1

 

B =

2

¡

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

3

1

¡

1

 

B

1

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

B

0

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

45.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

1

¡3

¡2

A = B¡3

3

¡2C

B 3

2

3C

B¡

 

¡ C

@

 

A

 

45.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

10 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡2 ¡3 ¡11 0x11 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3

3 ¡3C ¢ Bx2C

= B¡15C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2

3

3C Bx3C B

8 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

¡

¡ C B C

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A @ A

@

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

45.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

1

4

1 0x11 x121 0

0 ¡21 =

0 3

8

1

 

 

 

 

@¡1 ¡3A ¢ @x21 x22A ¢ @¡3 0

A @¡3 ¡4A

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0¡5 ¡1

1

0

0

2

 

45.7. Вычислить ранг матрицы

B

9

3

¡1

0

0

¡8 C

 

B

3

3

1

0

0

¡

10C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

5

2

3

0

0

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

9 C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

15

2

0

0

¡

C

 

 

 

 

 

 

 

B

24

 

47C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

¡

 

A

138

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4 ¡1 1 ¡1 21 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B17 2 3 1 3C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B12

¡

1 3 2 3C Bx3C =B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B13 3 2 2 1C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

4C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B28

 

1 7 8 5C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

¡

 

 

 

 

 

C B

5C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45.9. Найти общее

 

0x11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

015 0 3 7

 

43

1Bx2C

=

0 5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

3 3 3

1

16

 

Bx3C

 

B¡

8

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

¡

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

4 1 2 2

 

9

CBx4C

 

B

23 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45.10. Вычислить

 

B

 

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡2

 

01

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ 0

 

 

0A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

03

 

4

3

1

 

 

 

45.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B1

 

2

3

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B3

 

1

¡

3C

 

 

 

45.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

 

B

 

 

 

C

 

 

 

¯

a

 

@

¡!

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

è

 

b

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1; 5;

1

 

¡! =

 

 

5; ; 1

 

 

 

 

=

 

1;

4

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3;

 

 

 

 

 

 

 

¡!

, b ,

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

f

¡ g

b

 

¯

 

g

¡!

 

f ¡ ¡ g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

c компланарны. a

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 3; ¡3), B(2; ¡3; 3), C(1; ¡2; 0).

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

45.14. Даны 4 точки A(2; ¡2; ¡1), B(3; ¡1; 3), C(¡2; ¡2; 1), D(¡1; ¡3; 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ¡3¡!

¡ 3¡¡! j

 

 

(¡3¡!

¡3¡¡!)

 

 

[¡3¡!

¡3¡¡!]

 

[¡¡! [¡! ¡!]]

 

Вычислить: а)

 

AB

 

 

 

CD

, á)

 

 

 

AB;

CD

, â)

 

AB;

 

 

CD

, ã) AD; AB; AC

,

д) квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани

ABC

¡¡! ¡!

, и) направляющие косинусы вектора AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

139

45.15. Доказать, что векторы ~a = f1; ¡4; ¡5g

, ~

 

 

b = f2; ¡4; ¡3g, ~c = 3; 2; ¡1g образуют

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = f11; ¡14; ¡4g относительно этого базиса.

 

45.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = f2; ¡5; ¡5g

, ~

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

5; ¡5; ¡3g è ~c = f0; ¡4; 3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡23, (~x; b) =

¡28 è

(~x;~c) = ¡13. ~a

 

=

f2; ¡5; ¡5g

,

~

= 5; ¡5; ¡3g, ~c = f0; ¡4; 3g, (x;~a) =

¡23,

 

 

b

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(~x; b) = ¡28, (~x;~c) = ¡13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

45.17. Найти значение скалярного произведения (3~u ¡4~v)(¡1~u + 4~v), åñëè ~u = ¡3~a + 2b,

= 3

¡ 4

j

 

j= 4 j b j= 5 ' = ( c ) cos

= 0 4

 

~v ~a

~

 

~a

,

~

,

 

~

:

 

b и известны

 

 

 

~a; b , '

 

45.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму 5x2 + 6y2 + 4z2 + 6xy + 4xz + 8yz

45.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 + 1y2 + 1z2 ¡ 8xy + 4xz + 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

45.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

02

2

¡11

 

 

A = B4

4

3

C

 

 

 

B1

4

2

C

 

 

 

B

 

 

C

 

 

 

@

 

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

45.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

~

¡3; ~a = f2; 2; ¡3g; b = f3; 0; 2g.

140

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

1 - 46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡2

1

 

4

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46.1.

Вычислить определитель

¯

6 4 12 18¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

3

 

10

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

18¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

1

 

4

 

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

¡

4

¡

2

¯

¡

6

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

¡

6

¡

2

¡

6

¡

2

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46.2.

Вычислить определитель

¯

6

 

18

 

8

 

18

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

¡

 

 

¡

 

 

¡

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

2

 

4

2

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

6

 

2

 

 

6

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

 

 

 

 

 

4¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

¡

 

 

¡

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

1

1

1

46.3. Вычислить определитель произведения

AB

матриц

 

0

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡1 ¡2 2

C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2

¡

2

1C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

A

01

B = B

1

¡1

3

 

3

2

¡2C.

B

1

0

3

C

B¡

 

 

C

@

 

 

 

A

46.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

1

¡2

0

C

2

¡1

1

B

 

2

¡

1

1C

B¡

 

 

¡

C

@

 

 

 

 

 

A

 

46.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

0¡81

¡3 ¡1

¡11 0x11

 

B¡3

1 0 C ¢ Bx2C

=

B¡7C

B

 

2

1

1C Bx3C

 

B

6C

B¡

 

¡

¡ C B C

 

B¡

C

@

 

 

 

A @ A

 

@

A

0

46.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0 ¡11 0x11 x121 0¡4 ¡31

= 0

0 41

 

 

 

 

 

@¡1 1 A ¢ @x21 x22A ¢ @

0 ¡2A @12 7A

 

 

 

 

1

 

 

 

0 ¡3

1

1

2

0

0

 

46.7. Вычислить ранг матрицы

B¡14

3

2

¡2

0

21 C

 

B

2

3

¡

2

2

0

¡

3C

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

B

 

 

¡

 

 

 

 

¡

 

C

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

B

2

1

1

3

0

 

 

C

 

 

 

B

 

9C

 

 

 

@¡

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

B

 

49

3

16

5

0

42 C

Соседние файлы в предмете Математический анализ