Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Типовой расчет №1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

1 / 371 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1771

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Липецкий государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

Ю.Д.Ермолаев

Сборник заданий к типовому расчету

по линейной и векторной алгебре

Липецк 2009

ÓÄÊ 517 (075) Å741

Сборник заданий к типовому расчету по линейной и векторной алгебре (издание второе)

/Сост. Ю.Д.Ермолаев. Липецк:ЛГТУ, 2009. 365 с.

Типовой расчет предназначен для студентов, изучающих высшую математику.

Рецензент Ярославцева В.Я.

°c Липецкий государственный технический университет, 2009

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

СОДЕРЖАНИЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

1.Вычисление определителя 4-го порядка

2.Вычисление определителя 5-го порядка

3.Вычисление определителя произведения матриц

4.Обратная матрица

5.Квадратная система уравнений

6.Матричное уравнение

7.Ранг матрицы

8.Однородная система уравнений

9.Прямоугольная неоднородная система уравнений

10.Собственные числа и собственные векторы (1)

11.Собственные числа и собственные векторы (2)

12.Ортогональность и компланарность векторов

13.Треугольник и задачи на векторы

14 Тетраэдр и задачи на векторы

15.Базис в пространстве

16.Скалярное произведение векторов и система уравнений

17.Свойства скалярного произведения векторов

18.Знакоопределенность квадратичных форм

19.Приведение квадратичной формы к каноническому виду

20.Перевод матрицы линейного оператора в другой базис

21.Операции с линейной комбинацией векторов

4	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
	Оглавление

Âà ð è à í ò 1

Âà ð è à í ò 11

Âà ð è à í ò 21

Âà ð è à í ò 31

Âà ð è à í ò 41

Âà ð è à í ò 51

Âà ð è à í ò 61

Âà ð è à í ò 71

Âà ð è à í ò 81

Âà ð è à í ò 91

Âà ð è à í ò 101

Âà ð è à í ò 111

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

Вариант 1 - 1

¯¡3

¡9

1.1.

Вычислить определитель

27¯

¯¡

6¯

1.2.

Вычислить определитель

¯¡

9¯

1.3. Вычислить определитель произведения

матриц

0¡

B = B

A = B¡2 ¡2 1C,

3 3 ¡1C.

B¡

1.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢ A¡1 = E, найти

сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

¡2 ¡2 ¡1

A = B¡2 2 4 C

0¡2 ¡3

1.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

0¡41

¡1 0

1 1 0x11

2 ¡3 ¡1C ¢ Bx2C

= B

0 4

1C Bx3C B

¡ C B C

A @ A

1.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡3 31 0x11 x121 0 3 31 = 030 12 1

@¡2 1A ¢ @x21 x22A ¢ @¡4 2A @11 ¡1A

¡2

¡1

1.7. Вычислить ранг матрицы

¡7

¡1

B¡

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

1.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

012 0 2 3 01 0x11 001

5 0 1 1 0C Bx2C B0C

B12 0 2 3 0C Bx3C

=B0C

C B C

B C

1 0

1 2 0C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

B66 0 8 21 0C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

1.9. Найти общее

0x1

решение системы уравнений

0¡18

1 8 3 ¡581Bx2C

= 0¡151

Bx3C

B¡

CB C

B¡

Вычислить

@ A

1.10.

¡41

собственные числа и собственные векторы матрицы .

A =

@¡4 ¡1A

¡2

1.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B¡1

¡2

1.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

B¡

è @

!¡

¡!

ортогональны, а век-

¡!

!¡ =

; 0

1; 0; 1

òîðû

¡!

!¡

¡!

f¡

¡ g

f¡

¡!

, b , c компланарны. a

1.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 2; 1), B(2; ¡2; 3), C(3; ¡3; ¡1).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

1.14. Даны 4 точки A(¡2; 1; 3), B(¡1; 2; 3), C(¡1; 3; ¡3), D(2; 3; 1).

[¡¡!

[¡! ¡!]]

Вычислить: а)

j 3¡!

¡ 2¡¡! j

, á)

(3¡!

¡2¡¡!)

, â)

[3¡!

¡2¡¡!]

, ã)

, ä)

AB;

AD; AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

1.15. Доказать, что векторы ~a = f¡4; ¡5; ¡2g	, ~
	b = f¡2; 3; 4g, ~c = f¡1; ¡4; 3g

базис и найти координаты вектора ~

d = f12; 4; 8g относительно этого базиса.

образуют

									,~
1.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f1; 5; 2g b = f¡3; ¡3; ¡4g
									~
è ~c = f0; 2; 2g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 16, (~x; b) = ¡6 è (~x;~c) = 2.
~a = f1; 5; 2g	, ~								~
~a = f1; 5; 2g		b = f¡3; ¡3; ¡4g, ~c = f0; 2; 2g, (x;~a) = 16,						(~x; b) = ¡6, (~x;~c) = 2.
									~
1.17. Найти значение скалярного произведения (¡4~u ¡ 2~v)(1~u ¡ 3~v), åñëè ~u = ¡4~a ¡ 2b,
~v = ¡4~a ¡ 2b			j	j= 3 j b j= 4 ' = ( c ) cos					= 0 9
	~	и известны	~a	,	~	,	~	'	:
		и известны	~a	,		,	~a; b ,	'	:

1.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратич-

ную форму ¡3x2 ¡ 2y2 + 4z2 + 8xy + 2xz + 10yz

1.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 +3y2 +1z2 ¡4xy+12xz+8yz к каноническому виду методом Лагранжа.

1.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1

0; e~1

0g, ãäå e~1

0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

¡2 ¡11

A = B

B¡

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

1.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

¡3; ~a = f3; 2; ¡2g; b = f¡2; ¡2; ¡1g.

8	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
			Вариант 1 - 2								¯
		¯¡3 ¡3					9			¡9	¯
2.1.	Вычислить определитель	¯	6		7		18			18	¯
2.1.	Вычислить определитель	¯					¡				¯
		¯		9		9	24				¯
		¯		9		9	24			27¯
		¯¡		6	¡	6	18			¡	¯
		¯		6		6	18			15¯
		¯			¡					¡	¯
		¯¡			¡					¡	¯
		¯									¯			¯
		¯	6		21		¡			¡		¡	6	¯
		¯	6		21			18		12			6	¯
		¯	3		9		¡		9	¡	6¯	¡	3	¯
		¯					¡			¡		¡		¯
2.2.	Вычислить определитель	¯	9		27			30		18			9	¯
2.2.	Вычислить определитель	¯	9		27			30		18			9	¯
		¯		9		27	¡			¡		¡		¯
		¯		9		27	27			20		9		¯
		¯			¡									¯
		¯¡			¡									¯
		¯					¡			¡		¡		¯
		¯					¡			¡		¡		¯
		¯												¯		2	1		1	3
		¯												¯		2	1		1	3
		¯	9		27			27		18		10¯			0¡		1,		0	1.
2.3. Вычислить определитель произведения AB матриц												A =			0¡		1,	B =	0	1.
															@¡1		¡2A		@1	0A

2.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢ A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	¡1		4	¡3
A = B	0		1	¡2C
B		2	3	0	C
B¡					C
@					A

2.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

¡3 3

1 0x11 0¡101

B¡1 1 0

C ¢ Bx2C = B

¡3 C

1 3

2C Bx3C B

C B C

A @ A

2.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

00 21 0x11 x121 0

1 ¡21 = 0¡12 0

@4 3A ¢ @x21 x22A ¢ @¡4 2

A @

46 ¡56A

¡1 ¡11

5 ¡2 ¡2 0

10 2 ¡2 0

¡2 ¡2C

2.7. Вычислить ранг матрицы B

B¡

13 C

B¡

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

2.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 001

6 0 3 0 ¡11 0x1

0 0 1 0 ¡1C Bx2C B0C

6 0

1 0

1C Bx3C =B0C

B¡

C B C

B C

12 0 1 0 3

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

0 0 2 0

2C Bx

C B0C

C B

B C

¡ A @ A

@ A

системы уравнений

2.9. Найти общее решение0x1

0¡4 2

2 ¡4 ¡761Bx2C

0 6

Bx3C

CB C

B¡

AB C

2.10. Вычислить

@ A

собственные числа и собственные векторы матрицы .

A =

@0 ¡1A

2.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B3

2.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

!¡

¡!

ортогональны, а век-

a ¡!

4; 2

¡! =

; 4

2; 2; 1

òîðû

!¡

¡!

b ,

f¡ ¡ g

¡ g

компланарны. a

2.13. Даны 3 вершины треугольника A(1; 2; 1), B(0; ¡2; ¡2), C(3; 2; 2).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

2.14. Даны 4 точки A(¡3; ¡3; ¡3), B(3; ¡1; ¡1), C(¡1; ¡3; ¡3), D(¡3; ¡3; ¡1).

Вычислить: а)

j 3¡! ¡ 3¡¡! j

, á)

(3¡!

¡3¡¡!)

, â)

[3¡! ¡3¡¡!]

, ã)

[¡¡!

[¡! ¡!]]

, ä)

AB;

AD; AB; AC

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

2.15. Доказать, что векторы ~a

= f1; 3; 1g

, ~

b = f¡3; ¡5; 5g, ~c = f¡1; ¡3; 2g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f¡8; ¡8; 9g относительно этого базиса.

2.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f¡4; 3; 4g b = f3; 5; ¡1g è

~c = f¡3; 3; 5g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 6, (~x; b) = ¡23 è (~x;~c) = ¡1.

, ~

(x;~a) = 6,

~a = f¡4; 3; 4g b = f3; 5; ¡1g, ~c = f¡3; 3; 5g,

(~x; b) = ¡23, (~x;~c) = ¡1.

2.17. Найти значение скалярного произведения (3~u + 1~v)(3~u ¡ 2~v), åñëè ~u = 2~a ¡ 3b,

= 3

+ 3

j= 3 j b j= 2 ' = ( c ) cos

= 0 7

~v ~a

' :

b и известны

~a; b ,

2.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратич-

ную форму ¡5x2 + 0y2 + 5z2 + 8xy + 8xz ¡ 8yz

2.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 ¡2y2 +2z2 ¡4xy¡8xz+16yz к каноническому виду методом Лагранжа.

2.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1

0; e~1

0g, ãäå e~1

0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

¡3

A = B

B¡

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

2.21. Для векторов ~a

è ~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡1; ¯ =

¡3; ~a = f2; ¡1; ¡2g;

b = f¡3; ¡2; 0g.

1 / 371 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
20.06.2014122.37 Кб34Лабораторная работа №1 «Вычисление интеграла методом трех восьмых».doc
#
20.06.2014836.76 Кб9Лабораторная работа №1.doc
#
20.06.2014909.58 Кб357Оптимизация, численные методы.pdf
#
20.06.20141.32 Mб30Решенный ТР №3 Вариант 5.rar_31
#
20.06.2014282.42 Кб24Решенный ТР №3 Вариант 8.pdf
#
20.06.20141.23 Mб79Типовой расчет №1.pdf
#
20.06.2014988.13 Кб22Типовой расчет №1.rar_8
#
20.06.2014896.05 Кб23Типовой расчет №2.pdf
#
20.06.2014281.94 Кб21Типовой расчет №2.rar_23
#
20.06.2014471.32 Кб20Типовой расчет №3.rar_76
#
20.06.2014451.98 Кб19Типовой расчет №4.rar_79