Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Типовой расчет №1

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
1.23 Mб
Скачать

1771

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Липецкий государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

Ю.Д.Ермолаев

Сборник заданий к типовому расчету

по линейной и векторной алгебре

Липецк 2009

ÓÄÊ 517 (075) Å741

Сборник заданий к типовому расчету по линейной и векторной алгебре (издание второе)

/Сост. Ю.Д.Ермолаев. Липецк:ЛГТУ, 2009. 365 с.

Типовой расчет предназначен для студентов, изучающих высшую математику.

Рецензент Ярославцева В.Я.

°c Липецкий государственный технический университет, 2009

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

3

СОДЕРЖАНИЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

1.Вычисление определителя 4-го порядка

2.Вычисление определителя 5-го порядка

3.Вычисление определителя произведения матриц

4.Обратная матрица

5.Квадратная система уравнений

6.Матричное уравнение

7.Ранг матрицы

8.Однородная система уравнений

9.Прямоугольная неоднородная система уравнений

10.Собственные числа и собственные векторы (1)

11.Собственные числа и собственные векторы (2)

12.Ортогональность и компланарность векторов

13.Треугольник и задачи на векторы

14 Тетраэдр и задачи на векторы

15.Базис в пространстве

16.Скалярное произведение векторов и система уравнений

17.Свойства скалярного произведения векторов

18.Знакоопределенность квадратичных форм

19.Приведение квадратичной формы к каноническому виду

20.Перевод матрицы линейного оператора в другой базис

21.Операции с линейной комбинацией векторов

4

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

Оглавление

Âà ð è à í ò 1

Âà ð è à í ò 11

Âà ð è à í ò 21

Âà ð è à í ò 31

Âà ð è à í ò 41

Âà ð è à í ò 51

Âà ð è à í ò 61

Âà ð è à í ò 71

Âà ð è à í ò 81

Âà ð è à í ò 91

Âà ð è à í ò 101

Âà ð è à í ò 111

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

Вариант 1 - 1

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡3

1

 

2

 

¡9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1.

Вычислить определитель

¯

3

0

 

2

9

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

9

3

 

8

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

27¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

2

 

4

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

 

 

21

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¡

 

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

¡

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

1

 

6

6

 

 

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

1

 

2

 

 

6

 

6¯

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.

Вычислить определитель

¯

 

1

 

2

 

 

9

 

6

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

2

¡

4

 

¡

 

¡

 

 

12

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

12

10

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

¡

 

¡

 

¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

2

 

6

6

 

 

9¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

1

0

 

 

 

 

1

1.3. Вычислить определитель произведения

 

 

матриц

 

0¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

1

2

B = B

1

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

A = B¡2 ¡2 1C,

3 3 ¡1C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2

¡

2

0C

B

 

2

0

¡

1C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

C

B¡

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

@

 

 

 

 

A

1.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢ A¡1 = E, найти

 

 

 

сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

 

 

 

 

 

 

¡2 ¡2 ¡1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡2 2 4 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡2 ¡3

1.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

0¡41

 

 

 

 

 

 

 

 

¡1 0

1 1 0x11

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2 ¡3 ¡1C ¢ Bx2C

= B

1

C

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0 4

1C Bx3C B

9

C

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

¡ C B C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

A @ A

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡3 31 0x11 x121 0 3 31 = 030 12 1

 

 

 

@¡2 1A ¢ @x21 x22A ¢ @¡4 2A @11 ¡1A

 

 

51

 

 

 

 

 

 

0

1

0

¡2

0

¡1

 

1.7. Вычислить ранг матрицы

B

¡7

0

2

0

¡1

1C

 

B

¡

4

0

1

0

2

7C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

¡

 

¡

C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

¡

C

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

B

12

0

3

0

2

C

 

 

 

 

 

 

B

3C

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

¡

 

¡

A

 

 

 

 

 

 

B

0

0

3

0

2

9C

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

012 0 2 3 01 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

5 0 1 1 0C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B12 0 2 3 0C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1 0

 

 

 

1 2 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

C B

4C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B66 0 8 21 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

5C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9. Найти общее

 

 

 

0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡18

 

 

1 8 3 ¡581Bx2C

= 0¡151

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

2

 

 

 

3

 

2

1

¡

52

 

Bx3C

 

 

B¡

10

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

8

 

 

¡

1

 

3

1

¡

3

C

Bx

4

C

 

 

B

 

40

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

 

B¡

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

C

 

 

@

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10.

 

 

 

¡41

 

собственные числа и собственные векторы матрицы .

 

 

 

 

A =

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡4 ¡1A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

 

¡2

2

1

 

 

1.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡1

 

¡2

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

3

 

4

 

1C

 

 

1.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

 

 

B¡

 

 

 

¡

C

 

 

¯

 

a

è @

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

b

 

ортогональны, а век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

3;

 

4;

2

 

=

 

1;

 

 

; 0

 

=

 

1; 0; 1

 

 

 

 

òîðû

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

¡

¡ g

,

b

 

 

¯

 

g

¡!

 

 

 

f

 

g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 2; 1), B(2; ¡2; 3), C(3; ¡3; ¡1).

 

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

1.14. Даны 4 точки A(¡2; 1; 3), B(¡1; 2; 3), C(¡1; 3; ¡3), D(2; 3; 1).

 

 

[¡¡!

[¡! ¡!]]

 

Вычислить: а)

j 3¡!

¡ 2¡¡! j

, á)

(3¡!

¡2¡¡!)

, â)

[3¡!

¡2¡¡!]

, ã)

, ä)

 

AB

 

CD

 

 

AB;

 

CD

 

AB;

 

 

CD

AD; AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

1.15. Доказать, что векторы ~a = 4; ¡5; ¡2g

, ~

b = 2; 3; 4g, ~c = 1; ¡4; 3g

базис и найти координаты вектора ~

d = f12; 4; 8g относительно этого базиса.

7

образуют

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,~

1.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f1; 5; 2g b = 3; ¡3; ¡4g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

è ~c = f0; 2; 2g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 16, (~x; b) = ¡6 è (~x;~c) = 2.

~a = f1; 5; 2g

, ~

 

 

 

 

 

 

~

 

b = 3; ¡3; ¡4g, ~c = f0; 2; 2g, (x;~a) = 16,

(~x; b) = ¡6, (~x;~c) = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

1.17. Найти значение скалярного произведения (¡4~u ¡ 2~v)(1~u ¡ 3~v), åñëè ~u = ¡4~a ¡ 2b,

~v = ¡4~a ¡ 2b

 

j

j= 3 j b j= 4 ' = ( c ) cos

= 0 9

 

~

и известны

~a

,

~

,

~

'

:

 

 

 

~a; b ,

1.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратич-

ную форму ¡3x2 ¡ 2y2 + 4z2 + 8xy + 2xz + 10yz

1.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 +3y2 +1z2 ¡4xy+12xz+8yz к каноническому виду методом Лагранжа.

 

1.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1

0; e~1

0; e~1

0g, ãäå e~1

0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0

0

¡2 ¡11

 

 

 

 

 

 

A = B

3

4

2

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2

2

2

C

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

1.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

~

¡3; ~a = f3; 2; ¡2g; b = 2; ¡2; ¡1g.

8

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 1 - 2

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡3 ¡3

9

 

 

¡9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.

Вычислить определитель

¯

6

7

18

18

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

9

 

9

24

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

27¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

6

¡

6

18

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

15¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¡

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

21

¡

 

¡

 

¡

6

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

18

12

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

9

¡

 

9

¡

6¯

¡

3

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.

Вычислить определитель

¯

9

27

 

30

18

 

9

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

9

 

27

¡

 

 

¡

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

27

20

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¡

 

 

¡

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

2

1

 

1

3

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

9

27

 

27

18

10¯

0¡

 

1,

 

0

1.

2.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

 

B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡1

¡2A

 

@1

0A

2.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢ A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

¡1

4

¡3

 

0

1

¡2C

B

 

2

3

0

C

B¡

 

 

 

C

@

 

 

 

 

A

 

2.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡3 3

1

1 0x11 0¡101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡1 1 0

C ¢ Bx2C = B

¡3 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1 3

2C Bx3C B

7

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

¡

C B C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

A @ A

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

00 21 0x11 x121 0

1 ¡21 = 0¡12 0

1

 

 

 

 

@4 3A ¢ @x21 x22A ¢ @¡4 2

A @

46 ¡56A

¡1 ¡11

 

 

 

 

 

 

0

5 ¡2 ¡2 0

 

 

 

 

 

 

B

10 2 ¡2 0

¡2 ¡2C

 

2.7. Вычислить ранг матрицы B

1

3

1

0

1

3C

 

 

 

 

 

 

B¡

 

1

2

0

 

2

¡

C

 

 

 

 

 

 

B

5

 

 

13 C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

B¡

¡

 

1

0

¡

4

7

C

 

 

 

 

 

 

B

9

8

 

C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

¡

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

2.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

1 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

6 0 3 0 ¡11 0x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0 0 1 0 ¡1C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

6 0

 

1 0

1C Bx3C =B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

¡

 

 

¡

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

12 0 1 0 3

C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

4C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0 0 2 0

2C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

5C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ A @ A

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.9. Найти общее решение0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡4 2

2 ¡4 ¡761Bx2C

=

0 6

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2

 

 

1

¡

1

2

38

 

 

Bx3C

 

B

6

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2

 

 

1

 

 

1

2

38

C

Bx

4

C

 

B

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

CB C

 

B¡

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.10. Вычислить

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

собственные числа и собственные векторы матрицы .

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@0 ¡1A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

0

3

1

 

 

2.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B3

 

4

3

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B3

 

0

¡

2C

 

 

2.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

 

è

 

 

 

 

B

 

 

 

 

C

 

 

¯

a

 

 

@

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

b

 

ортогональны, а век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

5;

 

4; 2

 

 

¡! =

 

0;

 

; 4

 

 

 

2; 2; 1

 

 

 

 

 

 

òîðû

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

b ,

 

 

 

 

 

 

f¡ ¡ g

,

b

f

 

¯

¡ g

 

 

 

 

f

 

¡ g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

c

компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.13. Даны 3 вершины треугольника A(1; 2; 1), B(0; ¡2; ¡2), C(3; 2; 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

2.14. Даны 4 точки A(¡3; ¡3; ¡3), B(3; ¡1; ¡1), C(¡1; ¡3; ¡3), D(¡3; ¡3; ¡1).

 

 

 

Вычислить: а)

j 3¡! ¡ 3¡¡! j

, á)

(3¡!

¡3¡¡!)

, â)

[3¡! ¡3¡¡!]

, ã)

[¡¡!

[¡! ¡!]]

, ä)

AB

 

CD

 

 

 

 

AB;

CD

 

AB;

 

CD

AD; AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

10

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

2.15. Доказать, что векторы ~a

= f1; 3; 1g

, ~

 

 

 

b = 3; ¡5; 5g, ~c = 1; ¡3; 2g образуют

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = 8; ¡8; 9g относительно этого базиса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,~

 

2.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = 4; 3; 4g b = f3; 5; ¡1g è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~c = 3; 3; 5g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 6, (~x; b) = ¡23 è (~x;~c) = ¡1.

 

 

 

, ~

 

 

 

 

 

(x;~a) = 6,

~

 

~a = 4; 3; 4g b = f3; 5; ¡1g, ~c = 3; 3; 5g,

(~x; b) = ¡23, (~x;~c) = ¡1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

2.17. Найти значение скалярного произведения (3~u + 1~v)(3~u ¡ 2~v), åñëè ~u = 2~a ¡ 3b,

 

= 3

+ 3

 

j

j= 3 j b j= 2 ' = ( c ) cos

= 0 7

~v ~a

~

~a

,

~

 

,

 

~

' :

 

 

b и известны

 

 

~a; b ,

 

2.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратич-

ную форму ¡5x2 + 0y2 + 5z2 + 8xy + 8xz ¡ 8yz

2.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 ¡2y2 +2z2 ¡4xy¡8xz+16yz к каноническому виду методом Лагранжа.

 

2.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1

0; e~1

0; e~1

0g, ãäå e~1

0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0

4

¡3

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

2

4

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3

3

3C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

 

 

 

2.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

 

 

~

 

 

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡1; ¯ =

¡3; ~a = f2; ¡1; ¡2g;

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

b = 3; ¡2; 0g.

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете Математический анализ