Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Решенный ТР №3 Вариант 8

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
282.42 Кб
Скачать

Ч _1_ 08 _ 08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z - 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z4 + 4z3 - 32z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0, z2

= 4, z3

= -8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаменатель данной функции обращается в нуль при z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) =

 

 

 

 

4z - 64

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z - 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z4 + 4z3 - 32z2

z2 ( z - 4)( z + 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С центром в точке z = 0 можно построить три области, в которых данная

 

 

 

 

 

 

 

 

функция аналитична : 0 <

 

z

 

< 4, 4 <

 

z

 

< 8,

 

z

 

> 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложим дробьна элементарные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z - 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 ( z - 4)( z + 8)

z

 

z2

 

 

 

z - 4

z + 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

az ( z - 4)( z + 8) + b ( z - 4)( z + 8) + sz2 ( z + 8) + wz2 ( z - 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 ( z - 4)( z + 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

az ( z - 4)( z + 8) + b ( z - 4)( z + 8) + sz2 ( z + 8) + wz2 ( z - 4) = 4z - 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = 0 : -32b = -64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 4 :192s = -48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -1/ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -8 :

-768w = -96

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w = 1/ 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -1:

-27a - 27b + 9s - 3w = -60

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1/ 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z - 64

 

 

 

 

 

=

1

 

+

2

 

-

 

1

×

 

1

 

 

 

+

 

1

×

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 ( z - 4)( z + 8)

 

 

8z

 

z2

 

 

 

4

 

z - 4

 

 

8

z + 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)0 <

 

 

z

 

 

< 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z - 64

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z - 64

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

+

 

 

 

-

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

×

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+

 

 

 

+

 

×

 

 

+

 

 

 

z2 ( z - 4)( z + 8)

 

 

8z

 

z2

 

 

 

4

z - 4

 

8

z + 8

z2 ( z - 4)( z + 8)

 

8z

z2

16

1 - z / 4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

-z

n

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

(2n+2 + (-1)n ) zn

 

 

 

 

 

+

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

+

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

n+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8z

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64 1

 

 

 

+ z / 8 8z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 n=0

4

 

 

 

 

 

 

 

64 n=0

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)4 <

 

z

 

< 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z - 64

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

1

 

-z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+

 

 

 

 

-

 

 

 

×

 

 

 

+

 

 

 

 

=

 

z

2

( z

- 4)( z

+ 8)

 

 

8z

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z 1 - 4 / z 64 1

+ z / 8 8z

 

 

 

 

 

 

4z

n=0 z

 

64 n=0

8

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4n−1

 

 

 

 

 

 

(-z )n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

+

 

 

 

 

n+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8z

 

 

 

 

z

2

 

n+1

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

z

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

z

 

 

> 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z - 64

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

2

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

+

 

 

-

 

 

×

 

 

 

+

 

×

 

 

=

 

+

 

 

-

 

×

 

 

z

2

 

( z - 4)( z

+ 8)

8z

z

2

 

 

 

 

 

 

 

+ 8 / z

8z

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z 1

- 4 / z 8z 1

 

 

 

 

 

4z n=0

z

 

 

 

 

1

 

 

2

 

4n−1

 

(-1)n 8n−1

(-1)n

8n−1 - 4n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

+

 

 

-

 

 

 

+

 

 

 

n+1

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8z

z

2

z

n+1

 

 

z

 

 

 

 

 

z

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

n=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1

8z n=0

-8 n =

z

Ч _1

_ 09 _ 08

 

 

z -

1

, z0

= -2

- 3i

 

z ( z +1)

Фунция имеет две особые точки : z1 = 0, z2 = -1, а центр разложения находится z0 . Расстояние от z0 до z1 равно 13, расстояние от z0 до z2 равно 10.

Можно построить три сходящхся ряда Лорана по степеням z - z0

1)в круге z - z0 < 10

2)в кольце 10 < z - z0 < 13

3)вне круга z - z0 > 13

 

Разложимдробь на элементарные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z -1

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z ( z +1)

z - 0

z +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - z0

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z -1

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

+

 

z ( z

+

1)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3i

-

0

+

z

-

(

2

 

3i)

-

2

-

3i

-

z

2

+

z

-

( 2

 

3i)

 

 

2

 

3i

-

0

 

 

 

 

 

z - (-2 - 3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- -

 

 

 

 

 

- -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- -

 

 

 

 

 

 

 

- -

 

 

 

 

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2 - 3i - 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

z + 2 + 3i n

 

2

 

 

 

 

z + 2 + 3i

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2 - 3i

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - (-2 - 3i)

 

+ 3i

 

 

2 + 3i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 3i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 +

 

2

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 - 3i n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2 - 3i +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

<

 

z - z0

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z -1

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

+

 

 

 

z ( z +1)

 

 

-2 - 3i - 0 + z - (-2 - 3i)

z - (-2 - 3i) - 2 - 3i +1

-2 - 3i - 0

 

 

 

+

 

z - (-2 - 3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2 - 3i - 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

z + 2 + 3i n

 

 

 

 

2

 

 

 

1 + 3i

 

 

n

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - (-2 - 3i ) 1 +

 

-2 - 3i +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2 + 3i n=0

 

 

2 + 3i

 

 

 

 

 

z + 2 + 3i n=0 z + 2 + 3i

 

 

 

 

 

 

 

 

z - (-2 - 3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - z0

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z -1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

×

 

 

 

 

1

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2 - 3i - 0

 

 

z ( z +1)

 

 

 

z - (-2 - 3i ) - 2 - 3i -

0 z - (-2 - 3i) - 2 - 3i +1 z - (-2 - 3i )

 

 

 

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - (-2 - 3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

2 + 3i

 

n

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1 + 3i n

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - (-2 - 3i ) 1 +

 

-2 - 3i +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

z + 2 + 3i n=0 z + 2 + 3i

 

z + 2 + 3i n=0 z + 2 + 3i

 

 

 

 

 

 

 

 

z - (-2 - 3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч _1_10 _ 08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z cos(3z / ( z − 1)), z0

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3z

 

 

 

 

 

3z − 3 + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z cos

 

 

 

= z cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= z cos 3

+

 

 

 

 

 

 

 

 

= z cos3cos

 

 

 

− sin 3sin

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

1

 

 

 

 

 

 

z

− 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( z − 1 + 1) cos3cos

 

 

 

 

 

 

− sin 3sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1

 

 

 

− 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

(*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( z − 1) cos3cos

 

 

 

 

 

 

− sin 3sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

cos3cos

 

 

 

− sin 3sin

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1

z − 1

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(*)

( z − 1)

 

(−1)n (3/

( z − 1))2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(−1)n

(3/ ( z − 1))2n+1

 

 

 

 

 

 

(−1)n (3/ ( z − 1))2n

 

(−1)n (3/ ( z − 1))2n+1

 

=

cos3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− sin 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ cos3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− sin 3

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

( 2n)!

 

 

 

 

 

(2n + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

( 2n + 1)!

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

(−1)

n

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

(−1)

n

2n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

cos3

 

 

(−1) 3

 

 

 

 

− sin 3

 

 

 

 

( −1) 3

 

 

+ cos3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

− sin 3

 

 

3

 

 

=

 

 

 

 

 

2n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n+1

 

 

 

 

 

 

n=0 ( z

− 1)

( 2n)!

 

 

 

n=0 ( z − 1)

 

 

 

 

 

 

n=0 ( z − 1)

 

(2n)!

 

 

n=0 ( z − 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

(−1)

n

 

2n

 

 

 

 

 

 

( −1)

n

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

( −1)

n

2n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

(−1)

n

2n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos3

3

 

 

 

 

 

 

+

 

3

 

 

 

 

 

 

− sin 3

3

 

 

 

 

 

+

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1)

2n−1

( 2n)!

 

 

n=0 ( z − 1)

2n

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1)

2n

(2n + 1)! n=0 ( z − 1)

2n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0 ( z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n)!

 

n=0 ( z

 

 

 

 

 

 

(2n + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( −1)n z2n+1

 

 

 

 

(−1)n

z2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(*) sin z =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;cos z =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

( 2n + 1)!

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч _1_11_ 08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ez −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z z + z3 / 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ez −1

0

 

 

 

 

 

ez

 

0

 

ez

lim

 

 

 

 

 

=

 

 

= lim

 

 

 

 

=

 

 

= lim

 

=

 

 

 

+ z3 / 6

 

 

 

 

+ z2 / 2

 

 

 

z→0 sin z z

0

 

 

z→0 cos z −1

 

0

z→0

− sin z + z

 

0

 

 

ez

 

 

 

 

0

 

 

ez

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

= lim

 

 

 

=

 

 

 

= lim

 

 

= ∞

 

 

 

 

 

 

 

− cos z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

z→0

+ 1

 

 

0

z→0 sin z

 

 

 

 

 

 

 

т.е. z = 0 − полюс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим его порядок

 

 

 

(z z3

/ 3!+ z5 / 5!− ...) z + z3 / 6

 

ϕ ( z )

=

 

1

 

=

sin z z + z3

/ 6

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)

 

 

 

 

ez −1

 

 

 

 

 

 

z

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

 

 

 

+

 

+ ...

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

z5 / 5!− ...

= z4

1/ 5!− ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

+

z2

+ ...

 

 

 

1

+

z

+ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

2!

 

 

 

1!

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. z = 0 − полюс 4го порядка

Ч _1_12 _ 08

 

 

tg

1

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Особые точки : z = 0 и z =

1

, k Z

 

π / 2 + π k

z = 0 − существенно особая точка, потому что

lim tg

1

не существует

 

 

 

 

 

z→0

 

z

 

 

z =

 

1

 

 

 

 

 

существенно особые точки, потому что

π / 2 + π k

 

lim

 

tg

1

 

= −∞

 

 

 

 

1

 

 

 

z

z

 

+0

 

 

π / 2+π k

 

lim

 

tg

1

= +∞

 

 

 

1

 

 

 

z

z

 

−0

 

 

π / 2+π k

 

 

Ч _1_13 _ 08

2z

 

z −1

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z−3/ 2

 

=2

sin z

 

В контур интегрирования попадают 2 особых точеки :

z = 0 − устранимая особая точка и z = π − полюс1 порядка

res f (z) = 0

z=0

res f (z) = lim

 

2z

 

z −1

 

 

( z − π )

= − lim

2z

 

 

z −1

 

( z − π )

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ( z − π )

 

z

 

 

 

z→π

 

 

 

 

sin z

 

 

 

z→π

 

 

 

 

 

 

 

 

z − π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2π (1 − π )

 

= − lim

 

 

 

 

2z

z

1

 

= −2π

π −1

 

 

 

 

 

 

 

− π )

 

 

z→π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ( z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z

 

z −1

 

 

dz = 2π i (0 + 2π (1 − π )) = 4π 2 (1 − π )i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

z−3/ 2

 

=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч _1_14 _ 08

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - sin (1/ z )

 

 

 

 

 

 

 

 

z =3

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В контур интегрирования попадает только одна особая точка :

z = 0 - существенно особая точка

 

 

 

res f (z) = C−1

 

 

 

 

 

 

 

 

z=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - sin (1/ z )

 

1

1

1

1

1

(-1)n

1

 

 

z

 

= z

- z sin z

= z

- z

n=0 (2n +1)! × z2n+1

=

= 1 - 1

+

 

1

- ... C−1 = 1

 

 

 

 

z

z2

z4

×3!

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - sin (1/ z ) = i res f ( z ) = i ×1 = i

 

 

z =3

 

z

 

 

 

z=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

1

 

 

 

1

2

3

Re z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Ч _1_15 _ 08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch z − cos 3z

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

sin 5π z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В контур интегрирования попадает только одна особая точка :

z = 0 − полюс1го порядка

 

 

 

 

 

 

 

ch z − cos 3z

dz = 2π i res f (z) = 2π i lim

ch z − cos 3z

=

 

 

2

sin 5π z

 

z sin 5π z

z =0,1

 

z

 

 

 

z=0

 

 

z→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ z

2

 

 

9z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+ ...

− 1 −

 

+ ...

 

5z2

 

 

= 2π i lim

2!

 

 

2!

= 2π i lim

= 2i

 

 

z→0

 

 

z sin 5π z

 

 

 

z→0 zz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.05

 

 

 

 

 

 

 

0.10

 

 

 

0.05

 

 

 

 

0.05

 

0.10

Re z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.10

 

 

 

 

 

 

 

Ч _1_16 _ 08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin

π z

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

6

 

 

 

 

z cos

+

 

 

 

dz = I = I1

+ I2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

z + 4

( z + 3)

( z + 1)

 

 

z+4

 

=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

I1 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z cos

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

z+4

 

=2

 

 

z + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В контур интегрирования попадает только одна особая точка: z = -4 - существенно особая точка

res f1 (z) = C−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=−4

 

 

1

 

 

= z

 

(-1

)

=

(-1 )( z + 4 - 4)

=

 

 

 

 

 

 

 

z cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

n=0 (2n)!× ( z + 4)2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z + 4

 

 

 

(2n)!× ( z + 4)2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

-1

 

=

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

= z -

+

 

 

- ... C

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

( z + 4)

2n−1

( z + 4)

 

 

2( z + 4)

 

( z +

4)

2

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

I1 = i res f1 (z) = i × C−1 = -π i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=−4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin π z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z+4

 

=2 ( z + 3) ( z

+ 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В контур интегрирования попадает только одна особая точка: z = -3 - полюс 2го порядка

 

 

 

 

 

 

2sin

π z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin

π z

I

=

 

 

 

 

6

dz = i res f

 

(z) = i lim

d

 

6

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( z + 3)

 

( z + 1)

 

z=−3

 

 

 

z→−3 dz

 

z + 1

 

 

z+4

 

=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos π z × π × ( z + 1) - sin π z

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

= i lim

 

6

 

6

 

6

= i ×

= π i

 

 

 

 

 

 

( z + 1)

2

 

 

 

 

 

 

 

z→−3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = I1 + I2 = -π i + π i = 0

Ч _1_17 _ 08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

полагаем: z = eit sin t =

 

z2

-1

,dt =

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz/ iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

8 - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

-3 7

 

 

0

 

 

 

 

 

7 sin t

 

z

 

=1 8 - 3

7

 

 

 

 

 

 

 

z

 

=1

z2 + 8iz +

3 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

=

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 7

 

z

 

=1 (z

- 3i / 7 )(z - i 7 / 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Особые точки подынтегральной функции :

 

 

 

 

 

z = 3i /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 / 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В контур интегрирования попадет только

 

 

 

 

 

z = i

 

 

 

 

 

/ 3 - полюс1го порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

-2

 

 

 

i res f (z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 7

 

 

 

z =1 (z - 3i /

7

)(z - i

7

/ 3)

 

 

 

 

 

3 7

 

 

 

z=i 7 / 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim

 

 

 

1

 

 

 

 

=

×

3i 7

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 7 zi 7 / 3 z - 3i / 7 3 7

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете Математический анализ