Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Решенный ТР №3 Вариант 8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

282.42 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Ч _1_ 08 _ 08

4z - 64

z4 + 4z3 - 32z2

= 0, z2

= 4, z3

= -8

Знаменатель данной функции обращается в нуль при z1

f (z) =

4z - 64

z4 + 4z3 - 32z2

z2 ( z - 4)( z + 8)

С центром в точке z = 0 можно построить три области, в которых данная

функция аналитична : 0 <

< 4, 4 <

< 8,

> 8

Разложим дробьна элементарные

4z - 64

z2 ( z - 4)( z + 8)

z - 4

z + 8

az ( z - 4)( z + 8) + b ( z - 4)( z + 8) + sz2 ( z + 8) + wz2 ( z - 4)

z2 ( z - 4)( z + 8)

az ( z - 4)( z + 8) + b ( z - 4)( z + 8) + sz2 ( z + 8) + wz2 ( z - 4) = 4z - 64

z = 0 : -32b = -64

b = 2

= 4 :192s = -48

= -1/ 4

= -8 :

-768w = -96

w = 1/ 8

= -1:

-27a - 27b + 9s - 3w = -60

= 1/ 8

4z - 64

z2 ( z - 4)( z + 8)

z - 4

z + 8

1)0 <

< 4

4z - 64

1 1

4z - 64

z2 ( z - 4)( z + 8)

z - 4

z + 8

z2 ( z - 4)( z + 8)

1 - z / 4

∞

-z

∞

(2n+2 + (-1)n ) zn

× ∑

∑

+ ∑

n+2

64 1

+ z / 8 8z

16 n=0

64 n=0

n=0

2)4 <

< 8

∞ 4

∞

4z - 64

-z

∑

( z

- 4)( z

+ 8)

4z 1 - 4 / z 64 1

+ z / 8 8z

n=0 z

64 n=0

∞

4n−1

∞

(-z )n

∑

+ ∑

n+2

n+1

n=0

> 8

∞

4z - 64

× ∑

( z - 4)( z

+ 8)

+ 8 / z

4z 1

- 4 / z 8z 1

4z n=0

∞

4n−1

∞

(-1)n 8n−1

∞

(-1)n

8n−1 - 4n−1

∑

n+1

= ∑

n+1

n=0

n=2

+ 1 ∑∞

8z n=0

-8 n =

Ч _1		_ 09 _ 08
	z -	1	, z0	= -2	- 3i
	z ( z +1)

Фунция имеет две особые точки : z1 = 0, z2 = -1, а центр разложения находится z0 . Расстояние от z0 до z1 равно 13, расстояние от z0 до z2 равно 10.

Можно построить три сходящхся ряда Лорана по степеням z - z0

1)в круге z - z0 < 10

2)в кольце 10 < z - z0 < 13

3)вне круга z - z0 > 13

Разложимдробь на элементарные

z -1

-1

z ( z +1)

z - 0

z +1

z - z0

z -1

-1

z ( z

(

3i)

( 2

3i)

z - (-2 - 3i)

- -

1 +

-2 - 3i - 0

∞

z + 2 + 3i n

∞

z + 2 + 3i

∑

-2 - 3i

z - (-2 - 3i)

+ 3i

2 + 3i

1 + 3i

11 +

n=0

-1 - 3i n=0

-2 - 3i +1

z - z0

z -1

-1

z ( z +1)

-2 - 3i - 0 + z - (-2 - 3i)

z - (-2 - 3i) - 2 - 3i +1

-2 - 3i - 0

z - (-2 - 3i)

-2 - 3i - 0

∞

z + 2 + 3i n

∞ 1 + 3i

∑

z - (-2 - 3i ) 1 +

-2 - 3i +

2 + 3i n=0

2 + 3i

z + 2 + 3i n=0 z + 2 + 3i

z - (-2 - 3i)

z - z0

z -1

-1

-2 - 3i - 0

z ( z +1)

z - (-2 - 3i ) - 2 - 3i -

0 z - (-2 - 3i) - 2 - 3i +1 z - (-2 - 3i )

1 +

z - (-2 - 3i)

-1

∞

2 + 3i

∞

1 + 3i n

∑

z - (-2 - 3i ) 1 +

-2 - 3i +

z + 2 + 3i n=0 z + 2 + 3i

z - (-2 - 3i)

Ч _1_10 _ 08

z cos(3z / ( z − 1)), z0

= 1

3z − 3 + 3

z cos

= z cos

= z cos 3

= z cos3cos

− sin 3sin

z −

z − 1

−

z −

− 1

= ( z − 1 + 1) cos3cos

− sin 3sin

− 1

(*)

= ( z − 1) cos3cos

− sin 3sin

cos3cos

− sin 3sin

− 1

z − 1

z −

z − 1

(*)

( z − 1)

∞

(−1)n (3/

( z − 1))2n

∞

(−1)n

(3/ ( z − 1))2n+1

∞

(−1)n (3/ ( z − 1))2n

∞

(−1)n (3/ ( z − 1))2n+1

cos3∑

− sin 3∑

+ cos3∑

− sin 3∑

( 2n)!

(2n + 1)!

(2n)!

( 2n + 1)!

n=0

∞

2n+1

∞

(−1)

∞

(−1)

2n+1

cos3∑

(−1) 3

− sin 3∑

( −1) 3

+ cos3∑

− sin 3∑

2n−1

2n+1

n=0 ( z

− 1)

( 2n)!

n=0 ( z − 1)

(2n)!

n=0 ( z − 1)

(2n + 1)!

∞

(−1)

∞

( −1)

∞

( −1)

2n+1

∞

(−1)

2n+1

= cos3

∑

+ ∑

− sin 3

∑

+ ∑

− 1)

2n−1

( 2n)!

n=0 ( z − 1)

(

− 1)

(2n + 1)! n=0 ( z − 1)

2n+1

n=0 ( z

2n)!

n=0 ( z

(2n + 1)!

∞

( −1)n z2n+1

∞

(−1)n

z2n

(*) sin z = ∑

;cos z = ∑

(2n)!

n=0

( 2n + 1)!

n=0

Ч _1_11_ 08

ez −1

sin z − z + z3 / 6

ez −1

lim

= lim

+ z3 / 6

+ z2 / 2

z→0 sin z − z

z→0 cos z −1

z→0

− sin z + z

= lim

= ∞

− cos z

z→0

+ 1

z→0 sin z

т.е. z = 0 − полюс

Определим его порядок

(z − z3

/ 3!+ z5 / 5!− ...) − z + z3 / 6

ϕ ( z )

sin z − z + z3

/ 6

f (z)

ez −1

+ ...

−1

z5 / 5!− ...

= z4

1/ 5!− ...

+ ...

т.е. z = 0 − полюс 4го порядка

Ч _1_12 _ 08
tg	1
tg	z
	z
Особые точки : z = 0 и z =				1	, k Z

				π / 2 + π k
z = 0 − существенно особая точка, потому что
lim tg		1	− не существует
lim tg			− не существует
z→0		z


z =			1						− существенно особые точки, потому что
		π / 2 + π k
	lim			tg		1		= −∞

1						z
z→			+0
	π / 2+π k
	lim			tg	1		= +∞

1						z
z→			−0
	π / 2+π k

Ч _1_13 _ 08

∫		2z	z −1	dz



z−3/ 2	=2	sin z

В контур интегрирования попадают 2 особых точеки :

z = 0 − устранимая особая точка и z = π − полюс1 порядка

res f (z) = 0

z=0

res f (z) = lim

z −1

( z − π )

= − lim

z −1

( z − π )

sin ( z − π )

z=π

z→π

sin z

z→π

z − π

= 2π (1 − π )

= − lim

z −

= −2π

π −1

− π )

z→π

sin ( z

∫

z −1

dz = 2π i (0 + 2π (1 − π )) = 4π 2 (1 − π )i

sin z

z−3/ 2

Ч _1_14 _ 08
∫ 1 - sin (1/ z )
z =3		z
В контур интегрирования попадает только одна особая точка :
z = 0 - существенно особая точка
res f (z) = C−1
z=0
1 - sin (1/ z )				1	1	1	1	1	∞	(-1)n	1
	z		= z		- z sin z		= z	- z	∑n=0 (2n +1)! × z2n+1			=
= 1 - 1		+		1	- ... C−1 = 1
z	z2	z4		×3!
∫ 1 - sin (1/ z ) = 2π i res f ( z ) = 2π i ×1 = 2π i
z =3		z				z=0
z =3		z
						Im z
							3
							2
							1
3		2			1				1	2	3	Re z
3		2			1				1	2	3
						1
						2
						3

Ч _1_15 _ 08

∫

ch z − cos 3z

sin 5π z

z =0,1

В контур интегрирования попадает только одна особая точка :

z = 0 − полюс1го порядка

∫

ch z − cos 3z

dz = 2π i res f (z) = 2π i lim

ch z − cos 3z

sin 5π z

z sin 5π z

z =0,1

z=0

z→0

+ z

+ ...

− 1 −

+ ...

5z2

= 2π i lim

= 2i

z→0

z sin 5π z

z→0 z5π z

Im z

0.10

0.05

0.10

0.05

0.10

Re z

0.05

0.10

Ч _1_16 _ 08

2sin

π z

z cos

dz = I = I1

+ I2

∫

z + 4

( z + 3)

( z + 1)

z+4

I1 =

∫

z cos

z+4

z + 4

В контур интегрирования попадает только одна особая точка: z = -4 - существенно особая точка

res f1 (z) = C−1

z=−4

= z∑

(-1

)

= ∑

(-1 )( z + 4 - 4)

z cos

∞

n=0

n=0 (2n)!× ( z + 4)2n

z + 4

(2n)!× ( z + 4)2n

∞

-1

= ∑

-1

= z -

- ... C

( z + 4)

2n−1

( z + 4)

2( z + 4)

( z +

−1

n=0

(2n)!

I1 = 2π i res f1 (z) = 2π i × C−1 = -π i

z=−4

2sin π z

I2 =

∫

z+4

=2 ( z + 3) ( z

+ 1)

В контур интегрирования попадает только одна особая точка: z = -3 - полюс 2го порядка

2sin

π z

2sin

π z

dz = 2π i res f

(z) = 2π i lim

∫

( z + 3)

( z + 1)

z=−3

z→−3 dz

z + 1

z+4

cos π z × π × ( z + 1) - sin π z

= 4π i lim

= 4π i ×

= π i

( z + 1)

z→−3

I = I1 + I2 = -π i + π i = 0

Ч _1_17 _ 08

2π

∫0

8 - 3

7 sin t

полагаем: z = eit sin t =

-1

,dt =

2iz

2π

dz/ iz

∫

= ∫

-1

8 - 3

-3 7

7 sin t

=1 8 - 3

z2 + 8iz +

3 7

2iz

-2

∫

3 7

=1 (z

- 3i / 7 )(z - i 7 / 3)

Особые точки подынтегральной функции :

z = 3i /

z = i

7 / 3

В контур интегрирования попадет только

z = i

/ 3 - полюс1го порядка

-2

∫

-2

2π i res f (z) =

3 7

z =1 (z - 3i /

)(z - i

/ 3)

3 7

z=i 7 / 3

-4π i

lim

3i 7

= 2π

3 7 z→i 7 / 3 z - 3i / 7 3 7

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
20.06.2014888.19 Кб64Кратные интегралы.pdf
#
20.06.2014122.37 Кб34Лабораторная работа №1 «Вычисление интеграла методом трех восьмых».doc
#
20.06.2014836.76 Кб9Лабораторная работа №1.doc
#
20.06.2014909.58 Кб357Оптимизация, численные методы.pdf
#
20.06.20141.32 Mб30Решенный ТР №3 Вариант 5.rar_31
#
20.06.2014282.42 Кб24Решенный ТР №3 Вариант 8.pdf
#
20.06.20141.23 Mб79Типовой расчет №1.pdf
#
20.06.2014988.13 Кб22Типовой расчет №1.rar_8
#
20.06.2014896.05 Кб23Типовой расчет №2.pdf
#
20.06.2014281.94 Кб21Типовой расчет №2.rar_23
#
20.06.2014471.32 Кб20Типовой расчет №3.rar_76