Федеральное агентство по образованию РФ

Ангарская Государственная Техническая Академия

Оптимизация технологических процессов

Часть 1

Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной

Учебное пособие для студентов факультета технической кибернетики

Ангарск, 2005 г.

УДК 51.380.115

Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Учебное пособие для студентов дневной и заочной форм обучения специальности "Автоматизация технологических процессов". Составители В.С. Асламова, И.В. Васильев, О.А. Засухина. – Ангарск, АГТА, 2005 г., 104 с.

Рассмотрены примеры постановок и разрешимость оптимизационных задач. Приведен метод Лагранжа для решения задач условной оптимизации. Дано описание численных методов поиска экстремума функции одной переменной и текстуальные алгоритмы их реализации. В качестве примеров в пособии приведены блок-схемы и программы на языке Турбо-Паскаль методов квадратичной интерполяции и тяжелого шарика, подобраны варианты заданий для студентов по каждой теме и контрольные вопросы.

Авторы выражают благодарность Е.В. Засухину за помощь в оформлении пособия.

Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом АГТА.

©АГТА, 2005

©Кафедра автоматизации технологических процессов

©В.С. Асламова, И.В. Васильев, О.А. Засухина

2

4

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

На протяжении своей деятельности человек сознательно и интуитивно стремится найти некоторые "наилучшие" решения возникающих перед ним задач и проблем. Процесс выработки наилучших решений на-

зывается оптимизацией.

Термин "оптимальный" происходит от латинского слова optimus, что означает наилучший, совершенный. Так как качество решения любой задачи чаще всего характеризуется некоторой количественной мерой (величиной, числом), то наилучший результат может быть минимальным (наименьшим) или максимальным (наибольшим). Поэтому оптимизация может быть направлена па достижения минимума или максимума принятой меры качества решения задачи (критерия оптимальности). Крите-

рий оптимальности (целевая функция) – это количественная мера оценки качества принимаемого решения.

Понятия минимум и максимум объединяются одним – экстремум (от латинского слова extremum – крайний). Задачи на отыскание максимума или минимума критерия оптимальности называют экстремальными или оптимизационными задачами. Оба эти названия эквивалентны, однако первое из них акцентирует внимание на математическую суть задачи, второе – на ее прикладную направленность.

Постановка задачи оптимизации имеет смысл тогда, когда существует выбор возможных решений задачи (если решение задачи единственно, то нет выбора, как нет и оптимизации). При таком подходе оптимизация сводится к вычислению критерия оптимальности и сравнению его значений для каждого возможного решения задачи с целью нахождения из них наилучшего. Такие возможные (не обязательно оптимальные) решения называют управлениями или "свободными" переменными, аргументами оптимизационной задачи (управления находятся в "распоряжении" человека, решающего оптимизационную задачу). Перечень или список всех управлений, которые возможны по условию оптимизационной задачи, образуют множество допустимых решений (управлений).

Если число элементов множества допустимых решений конечно и

5

мало, то можно для каждого из них вычислить критерий оптимальности

ипринять за решение оптимизационной задачи те управления, при которых выбранный критерий достигает экстремума. При большом или бесконечно большом числе элементов множества так поступать уже нельзя

иприходится применять специальные математические приемы и методы нахождения наилучших решений (методы решения экстремальных задач).

Одна и та же цель может быть охарактеризована разными целевыми функциями или критериями оптимальности. Переход от цели к целевым функциям определяется внешними (относительно оптимизационной задачи) причинами, имеющими субъективный, нематематический характер и поэтому выполняется неединственным образом. Более того, многие цели вообще не удается охарактеризовать какой-либо единственной целевой функцией и тогда в оптимизационной задаче появляется несколько разнородных критериев. Задачи с несколькими целевыми функциями получили название многокритериальных или векторных оптимизационных задач.

За длительную историю существования оптимизационных задач (впервые они формулировались в античной науке, активно исследовались в 17-18 веках и в 50-60-е годы 20-го столетия) сформировалось два подхода к их постановке и решению.

Первый, эмпирический подход базируется на известном методе "проб и ошибок", когда из некоторого (как правило небольшого) числа решений одной и той же задачи выбирается одно лучшее и объявляется за оптимальное. При этом формализация оптимизационной задачи не производится, возникающая задача (ситуация) решается на физическом уровне без использования каких-либо математических методов и знаний.

Подобный эмпирический подход к постановке и решению оптимизационных задач достаточно трудоемок и не гарантирует нахождения действительно оптимальных управлений на множестве допустимых решений.

Второй подход к постановке и решению оптимизационных задач заключается в математическом описании (формализации) возникшей производственной ситуации и разработке строгих и однозначных мето-

6

дов и алгоритмов поиска наилучшего управления на множестве допустимых решений. При этом появляется возможность теоретически находить действительно оптимальное решение и только после этого переходить к решению задачи на физическом уровне.

Общая процедура математической формализации оптимизационной задачи содержит, как правило, несколько этапов:

-словесное или содержательное описание производственной (житейской) задачи и ее целевого назначения;

-предварительная формализация задачи: выбор управляемых переменных и критерия оптимальности, введение обозначений;

-описание множества допустимых решений;

-непосредственная постановка оптимизационной задачи в принятых математических обозначениях и терминах (математическая модель);

-предварительный анализ математической постановки оптимизационной задачи и выбор методов и алгоритмов ее решения.

2.ПРИМЕРЫ ПОСТАНОВОК ОПТИМИЗАЦИОННЫХ

ЗАДАЧ

2.1. Формализация геометрической задачи

Оптимизация (от латинского optimus – наилучшее) предусматривает выбор среди элементов заданного множества некоторого элемента, который был бы в определенном смысле наиболее предпочтительным. Чтобы сравнивать между собой разные элементы, необходимо иметь ка- кой-то количественный критерий, так называемый показатель эффективности. Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность осуществляемых действий. Критерий оптимальности (целевая функция, показатель эффективности) – это количественная мера качества принимаемого решения. Оптимальным считается то решение, которое в максимальной степени способствует достижению постав-

7

ленной цели. Проблема отыскания наименьших или наибольших значений различных величин составляет основу теории оптимизации.

Для постановки задач оптимизации необходимо:

1)чтобы существовал выбор возможных решений. Если решение задачи одно, то нет выбора, как нет и оптимизации;

2)следует выбрать критерий оптимальности.

Задачи оптимизации, возникающие в естественных науках или на практике, обычно ставятся в содержательных терминах той области, где данная задача возникла. Очевидно, что для их решения, необходим перевод на математический язык. Этот перевод называется формализацией. Одна и та же задача может быть формализована разными способами, и ее решение зачастую сильно зависит от того, насколько удачно она формализована.

В качестве иллюстрации осуществим формализацию следующей оптимизационной задачи из геометрии:

Пример 1:

Вписать в круг прямоугольник наибольшей площади.

Пусть радиус заданной окружности равен r и n – произвольный прямоугольник, вписанный в эту окружность. Выберем на плоскости, в которой лежит окружность, декартову прямоугольную систему координат Оxy так, чтобы координатные оси были параллельны сторонам прямоугольника (рис.1). Тогда окружность будет задана уравнением x2+у2=r2 относительно данной системы координат.

Если обозначить через x и у координаты вершины прямоугольника, лежащей в первом квадранте, то площадь прямоугольника n будет равна 4ху. Тогда математическая модель задачи оптимизации запишется в виде:

f (x) = 4ху → max

при условиях: х2 + у2 – r2 = 0, х > 0, у > 0.

8