Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Оптимизация, численные методы.pdf
Скачиваний:
263
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
909.58 Кб
Скачать

7.11. Метод кубической аппроксимации

По своей эффективности метод кубической аппроксимации является одним из самых лучших среди всех методов одномерной оптимизации. Недостатком является необходимость вычисления первой производной.

Предположим, что функция f (x) выпукла и непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], f '(a)<0, f '(b)>0. Аппроксимируем функцию многочлена 3-й степени:

ϕ(x) = c0 (x a)3 + c1(x a)2 + c2 (x a) + c3,

где коэффициенты c0, c1, c2, c3 определяются из условий:

ϕ(a) = f (a) => c3 = f (a),

 

ϕ'(a) = f '(a)

=> c2 = f '(a),

 

ϕ(b) = f (b) => c (b a)3 + c (b a)2

+ c (b a) + c = f (b),

0

1

2

3

ϕ'(b) = f '(b) => 3c (b a)2 + 2c (b a) + c = f '(b).

0

1

 

2

Найдем точку

x = argminϕ(x)

[a,b]

Легко проверить, что

 

 

 

 

= a +γ (b a), где

 

 

 

 

x

 

 

γ =

 

z +ω f '(a)

;

 

 

f '(b) f '(a) + 2ω

 

 

 

 

 

 

 

z = 3

 

f (a) f (b)

+ f '(a) + f '(b),

 

 

 

 

 

 

 

b a

 

ω = z 2 f '(a) f '(b)

Точка x используется для сжатия отрезка локализации так же, как и в методе деления отрезка пополам с вычислением производной: если

f '(

 

) < 0,

то новым отрезком локализации является отрезок [

 

,b], если

x

x

f '(

 

) > 0,

то отрезок[a,

 

].

x

x

 

 

 

81

Алгоритм метода кубической аппроксимации:

1.Задается начальное приближение x0 , шаг h, погрешность ε.

2.Вычисляется f '(x0 ).

3.Проверка условия f '(x0 ) < 0 :

если "да", то x1 = x0 + 2k h ;

иначе, x1 = x0 2k h .

4.Проверяется условие: f '(x1 ) f '(x0 ) < 0 :

если "да", то точка min-ма функции пройдена и следует переходить к пункту 5;

иначе, x0=x1 и возврат на п.2.

5.

Если

f '(x0 ) < 0,

a = x0

 

a = x1

то b = x

, иначе b = x .

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

6.

Расчет точки min-ма кубического полинома

 

.

 

 

x

7.

Если

f '(

 

) < 0,

то a =

 

, т.к.

x* [

 

,b] , если нет, то b =

 

, т.к.

x

x

x

x

 

x* [a,

 

] (см. рис.13).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Проверка условия b a < ε :

если "да", то переход на п.9;

иначе, переход на п.6.

9. x* = b +2 a , min f = f (x* ), f 1 = f '(x* ).

Печать x*, min f, f1. Конец. f '(x)

f '(b)

a x

x* b

f '(a)

Рис.13.

82

7.12. Метод Фибоначчи

Этот метод связан со знаменитыми числами Фибоначчи, которые представляют собой последовательность, где каждый элемент получается, как сумма двух предыдущих. Числа Фибоначчи определяются соотношениями

Pn+2 = Pn+1 + Pn , n =1,2,3,...; P1 = P2 =1

Метод Фибоначчи относится к классу симметричных методов нулевого порядка и применяется для унимодальных функций. Причем абсолютная погрешность, возникающая при поиске минимума этим методом, не превышает величины

eps = (b a) / Ps ,

где Ps s-тое число в ряде Фибоначчи.

Алгоритмы метода "золотого" сечения и метода Фибоначчи очень похожи, отличия заключаются в том, что в методе "золотого" сечения отрезок всегда делится в постоянном соотношении, в то время как в методе Фибоначчи деление отрезка на каждой итерации осуществляется в зависимости от чисел Фибоначчи. Кроме того, метод Фибоначчи в среднем на 17% быстрее метода золотого сечения. Между числами Фибоначчи и методом золотого сечения существует связь:

lim

Pn

=

1

+ 5

 

 

2

n→∞ P

 

 

 

n+1

 

 

 

Алгоритм метода Фибоначчи:

1.Задаем интервал поиска [a,b] и погрешность ε.

2.P[1] = 1; P[2] = 1; n = 2.

3.Вычисляем очередное число Фибоначчи:

P[n+1] = P[n] + P[n-1]

4.Находим координаты точки x1 [a,b], которая делит отрезок в отношении двух чисел Фибоначчи:

83

 

 

 

x = b

P[n]

(b a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

P[n +1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Первое

x = b 2

3

(b a)

, второе

x = b 3

5

(b a)

и т.д.)

1

 

1

 

5.Определяем координаты точки x2, которая является зеркальным отражением точки x1 относительно центра отрезка:

x2 = a +

P[n]

(b a)

P[n +1]

 

 

6.Если условие f(x1) > f(x2) выполняется, то a = x1, иначе b = x2.

7.n = n + 1

8.Если условие окончания поиска |b a| ε не выполняется, то переходим к следующему числу Фибоначчи (на п.3).

9.В качестве минимального значения принимаем ту из точек a или b, в которой целевая функция имеет наименьшее значение.

7.13.Метод Ньютона 2-го порядка

Метод Ньютона используется для гладких f0(x) функций. Минимизируемая функция f0(x) в малой окрестности произвольной точки х0, расположенной вблизи точки минимума х*, может быть аппроксимирована усеченным рядом Тейлора:

f0 (x) f0 (x0 ) + f0 '(x0 ) (x x0 ) + 0,5

(7.19)

f0"(x0 ) (x x0 )2 +... .

Продифференцируем (7.19) по х, учитывая, что f0(x0) и f0'(x0) являются постоянными величинами. Применяя необходимое условие оптимальности получим:

f0 '(x) = 0 f0 '(x0 ) + f0"(x0 ) (x x0 ) .

Следовательно, выражение для вычисления приближенного значения точки экстремума будет иметь вид:

84

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

f

0

'(x0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

= x

 

 

 

 

f0"(x0 )

,

 

 

 

 

Если

 

f

0

'(x0 )

 

> ε

, то ищем x2

 

 

= x1

 

f

0

'(x1)

и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

f0"(x

0

)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f0"(x )

 

 

Для произвольной k-ой итерации имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k +1

= x

k

 

f0 '(xk )

 

 

 

, при k=0,1,2,...,

(7.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f0"(xk )

 

Итерационный процесс прекращается, когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f0 '(xk )

ε ,

 

 

 

 

 

(7.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f0"(x

k

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. xk +1 = xk

x , где

x = f0 '(xk ) f0"(xk ).

 

 

 

 

 

 

Метод является прямым обобщением известного метода Ньютона отыскания корня функции ϕ(x) = 0.

Уравнение касательной к кривой в точке х0:

y= y(x0 ) y '(x0 ) (x0 x).

Вточке х пересечение касательной с осью абсцисс:

y = y(x) = 0 => x = x0 y(x0 ) . y '(x0 )

Необходимое условие экстремума функции f0(х):

f0'(x)=0

Тогда обозначим, ϕ(x) = f0 '(x) получим то же уравнение (7.20). Начальное приближение выбирается из условия

ϕ(x0 ) ϕ"(x0 ) > 0

или

f0 '(x0 ) f0 '''(x0 ) > 0.

(7.22)

 

85

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.