Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Оптимизация, численные методы.pdf
Скачиваний:
264
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
909.58 Кб
Скачать

ется символом А / В.

Рисунок 2 иллюстрирует понятия объединения, пересечения и разности двух множеств. Результат операции заштрихован.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A В

 

АВ

 

А / В

Рис.2. Графическое представление операций над множествами

Операции над множествами обладают следующими свойствами:

1)A В = B A;

2)(A В) C = A (B C);

3)А В = B A;

4)(А В) C = А (В C);

5)(A В) С = (A C) (В C);

6)(А В) C = (A С) (В C).

Множество всех упорядоченных пар вида (x,y), где х X, у Y, называется декартовым произведением множеств X, Y и обозначается символом X × Y. Так, например,

{1,3} × {2,4} = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)}.

3.2. Евклидово пространство

Упорядоченная совокупность n действительных чисел, записанная в виде матрицы-строки

(x1,x2,…,xn ), xi Rn, i = 1,2,…,n,

называется n – мерным вектором, а числа x1,x2,…,xn – его координатами.

19

Эти векторы обозначают буквами латинского алфавита или одной буквой, отмеченной вместе с координатами вверху справа индексом, например,

х = ( x1,x2,…,xn), e = (e1,е2,...,en),

или

х1 = (x11,x21,…,xn1), еi = (е1i,е2i,…,еni).

Используя операцию транспонирования матриц, вектор может быть записан и в виде матрицы-столбца:

 

 

 

 

 

x

T

 

 

 

 

 

 

1

 

x = (x , x

2

,..., x

n

) =

x2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

Два n-мерных вектора

х = (x1,x2,…,xn) и y = (y1,y2,…,yn)

считают равными, если

xi = yi, i=1,2,…,n.

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нульвектором и обозначается через 0n.

Определены линейные операции над n-мерными векторами х и y:

сумма:

x+y = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn );

(3.1)

разность:

x y = (x1 y1, x2 y2,…, xn yn );

(3.2)

произведение вектора на скаляр x:

 

 

λx = xλ = (λx1,λx2 ,...,λxn ) .

(3.3)

Введенные операции обладают следующими свойствами:

1)x+y = y+x;

2)(x+y)+z = x+(y+z);

3)x+0n = x;

4)0 · x = 0n .

Каждой паре векторов х, у поставим в соответствие число, обозна-

20

чаемое (х,у) и определяемое соотношением

n

 

(x, y) = xk yk .

(3.4)

k =1

Это число называют скалярным произведением векторов х и у и оно обладает свойствами:

1)(x,y) = (y,x);

2)(x+y,z) = (x,z) + (y,z);

3)(λx,y) = λ (y,x);

4)(x,x) 0, причем, если (x,x) = 0, то x=0n.

Множество всех n-мерных векторов, для которых введены операции сложения векторов (3.1) и умножение вектора на действительное число (3.3), а также скалярное произведение (3.4), называется n-мерным действительным евклидовым пространством, и обозначают Rn или En. Для краткости его будем называть просто евклидовым пространством.

Множества R1, R2, R3 являются примерами одномерного, двухмерного и трехмерного евклидовых пространств.

Пространство R2 геометрически интерпретируется, как множество точек плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Ox1x2 или же, как множество векторов на этой плоскости, начало которых совпадает с началом данной системы координат. Пространство R3 имеет аналогичную интерпретацию в пространстве, где также зафиксирована декартова прямоугольная система координат

Ox1x2x3.

Принимая во внимание указанную выше интерпретацию, элементы пространства Rn называют также точками.

Если (х,у) = 0, то векторы х и у называют ортогональными. Нормой вектора (элемента) x Rn называют число, обозначаемое

||x|| и определяемое соотношением

n

x = ( x, x) = xk2

k =1

Норма вектора обладает следующими свойствами:

1)||x|| > 0, причем если ||x||=0, то x=0n;

2)||λх|| = |λ| ||x||, λ R;

21

3)||x+y|| < ||x|| + ||у|| (неравенство треугольника);

4)|(х,у)| < ||х|| ||у|| (неравенство Коши-Буняковского). Расстояние между точками х и у евклидова пространства Rn обо-

значают р(х,у) и определяют следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

n

[xk yk ]2 .

 

p( x, y) =

 

 

 

x y

 

 

 

=

(3.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =1

 

 

Векторы x1,x2,…,xm называются линейно независимыми, если

m

λk xk = 0n при λ1 = λ2 = … = λm = 0

k =1

и называются линейно зависимыми, если найдется хотя бы одна совокупность чисел λ1, λ2,...,λm, не все из которых равны нулю, таких что

m

λk xk = 0n .

k=1

Вn-мерном пространстве существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n+1) (и более) векторов является линейно зависимой.

Всякая система из n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется его базисом. Простейший базис образует система векторов

e1 = (1,0,0, ...,0), e2 = (0,1,0, ...,0),

………………

еn = (0,0,0,...,1).

Для любого вектора х = (x1,x2,…,xn ) справедливо равенство:

х = x1 e1 + x2 e2 + …+ xn en,

правая часть которого называется разложением вектора х по базису. При этом коэффициенты хi, i=1,2,...,n, этого разложения единст-

венны и являются координатами вектора х.

Подмножество L пространства Rn называется подпространством пространства Rn если для любых векторов х,у L и любых чисел λ1,λ2 R имеет место соотношение

22

λ1x + λ2y L.

Множество всех точек х = (x1,x2,…,xn) пространства Rn, удовлетворяющих уравнению

(a,x) = λ,

(3.6)

где вектор а и число λ – фиксированы, называется гиперплоскостью. Множество всех точек x Rn вида

{ x Rn

 

x = x0 + at,

t R } ,

(3.7)

 

где х0 и а – фиксированные векторы Rn, называется прямой.

 

Множество всех точек х Rn вида

 

 

 

 

 

 

{ x Rn

 

x = tx1 + (1 t

)x2 ,

t [0,1] }

(3.8)

 

принято называть отрезком, соединяющим точки x1,x2 Rn.

 

Множество вида

 

 

 

 

 

 

 

 

U (x0 ,ε) = { x Rn

 

x x

 

 

 

< ε }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется ε-окрестностью точки х0 Rn.

Точка х0 X Rn называется внутренней точкой множества X, если найдется такое ε > 0, что U0,ε) X.

Множество X Rn называется открытым множеством, если каждая точка х0 X является внутренней.

Точка пространства Rn называется граничной точкой множества X Rn, если любая ее ε-окрестность содержит хотя бы одну точку из X и хотя бы одну точку, не принадлежащую X.

Совокупность граничных точек множества X образует его границу. Последовательность {xk} (k = 1,2,…,n) точек пространства Rn назы-

вается сходящейся к точке х0 Rn, если

lim xk x0 = 0 ,

k →∞

и пишут

lim xk = x0 .

k →∞

23

Множество X Rn называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Каждая гиперплоскость пространства Rn является замкнутым множеством. Само пространство Rn является одновременно открытым и замкнутым множеством.

Объединение и пересечение конечного числа открытых (замкнутых) множеств представляет собой открытое (замкнутое) множество.

Множество X называется ограниченным, если существует ε>0,

что X U (0n ,ε).

Замкнутое и ограниченное множество называется компактным множеством или компактом.

Примером компакта является множество вида

{ x Rn

 

 

 

x x

 

 

 

ε

}

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гиперплоскость не является компактом, так как для нее не выполняется требование ограниченности.

Множество X Rn называется выпуклым, если для любой пары точек из X весь отрезок, соединяющей эти точки, также принадлежат X.

Каждая гиперплоскость, заданная уравнением (3.6), порождает два множества

{ x Rn

 

(a, x) λ }

(3.9)

 

и

 

{ x Rn

 

(a, x) λ },

(3.10)

 

которые называются замкнутыми полупространствами.

Случай замкнутого полупространства на множестве R2 показан на рис.3. Прямая a1x1+a2x2=λ делит плоскость Ox1x2 на две полуплоскости.

Если в равенствах (3.9) и (3.10) использовать знаки строгих неравенств, то получим открытые полупространства. Эти полупространства служат примерами выпуклых множеств.

Проверим, например, является ли выпуклым множество

{ x Rn (a, x) λ } .

24

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.