где G замкнутая ограниченная область, граница которой задана уравне-

ниями gi (x) = 0, i =1,2,..., m. .

Решение задачи состоит из следующих этапов:

1) находим все стационарные точки функции f, лежащие внутри области G : х1,х2,..., хL;

2) методом множителей Лагранжа решаем следующую задачу на условный экстремум:

m

L(x) = f (x) + ∑λi (hi (x) − zi2 ) → min,

i=1

инаходим условно-стационарные точки xL+1,..., xS из необходимых условий:

∂L = −2 λi zi = 0; ∂zi

3)из стационарных точек х1,x2,...,хL выбираем те, в которых выполняются достаточные условия локального минимума: хL1,хL2,...,хLk ;

4)сравнивая значения функции f в точках хL1,хL2,...,хLk с ее значениями в условно-стационарных точках xL+1,...,xS, находим

min f (x).

x G

5. ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

5.1. Постановка задачи

Выпуклой задачей (или задачей выпуклого программирования) называется следующая задача оптимизации:

где f, g1, g2,....,gm – выпуклые функции, заданные на выпуклом и замкнутом множестве G .

Точка х, принадлежащая множеству G и удовлетворяющая неравенствам gi (x) ≤ 0, i =1,2,..., m; . называется допустимой в задаче (5.1).

Теорема 5.1:

Если функция f определена и выпукла на выпуклом множестве G Rn, то в выпуклой задаче локальный минимум является и глобальным.

Пусть х – точка локального минимума функции f, т.е. ε0 > 0 такое,

что

f (x€) ≤ f (x) x G ∩U (x€,ε0 ).

Возьмем произвольную фиксированную точку x' G. Из условия выпуклости множества G следует, что точка

принадлежит множеству G. При

λ ≥1 − x'ε−x€ ,

где

ε < min{ε0 , x'−x€},

получаем

x'−x€ = λx'+(1 − λ)x'−x€ = (1 − λ)(x'−x€) ≤ (1 − λ)x'−x€

≤ 1 − 1 − x'ε−x€x'−x€ = x'ε−x€x'−x€ = ε < ε0 ,

что означает

x U (x€,ε0 )

и, следовательно,

49

По условию функция f выпукла. Поэтому последнее неравенство примет вид

f (x€) ≤ λf (x€) + (1 − λ) f (x').

В частности, при

λ =1 − x'ε−x€

имеем

f (x€) ≤ 1 − x'ε−x€ f (x€) + 1 − 1 − x'ε−x€ f (x').

Отсюда

или

f (x€) ≤ f (x') .

Так как х' – произвольная точка множества G, то из последнего неравенства следует, что х – точка глобального минимума функции f на G.

В дальнейшем в выпуклых задачах оптимизации, говоря "минимум", будем, подразумевать глобальный минимум.

Пример 5:

Функция

f (x1, x2 ) = x12 + x22

выпукла на R2, (0,0) – точка локального минимума функции f, она же и точка глобального минимума f на R2

(f (0,0) = 0 ≤ x12 + x22 (x1, x2 ) R2 ).

5.2.Условия оптимальности в выпуклых задачах

Ввыпуклых задачах оптимизации важное место занимает функция Лагранжа и понятие так называемой седловой точки функции Лагранжа.

50

Пусть – декартово произведение множества G (области определения функций f (x) и g(х), i=1,2,...,m, в задаче (5.1)) и множества m-мерных векторов с неотрицательными координатами

где

m

(λ, g(x)) = ∑λi gi (x)

i=1

– скалярное произведение векторов λ и g(х), называется функцией Лагранжа для выпуклой задачи оптимизации (5.1).

Точка (x*,λ* ) П, называется седловой точкой функции Лагранжа L(x,λ), (x,λ) П, если выполняются неравенства

Пример 6:

Функция Лагранжа для выпуклой задачи (5.1) при

n=1, m=1, f (x)=6 – x, g(x)=х/2 – 1

имеет вид

иимеет седловую точку (5,5). Ее график изображен на рисунке 5.

Взадачах с ограничениями типа равенств, как это отмечалось выше, решение следовало искать среди стационарных точек функции

L(x,λ). Что же касается выпуклой задачи оптимизации, то ее решение сводится к отысканию седловой точки функции Лагранжа.

51

Неравенство (5.4) имеет место x G , поэтому из его правой части и из (5.9)-(5.10) получим

f (x* ) ≤ f (x) + (λ*, g(x)) ≤ f (x) x G.

Следовательно, х* – точка глобального минимума.

Теорема 5.3:

Для того чтобы пара (х*,λ*) являлась седловой точкой функции Лагранжа (5.2), необходимо и достаточно выполнение условий

Необходимость. Пусть (х*,λ*) – седловая точка функции (5.2). Тогда по определению

L(x*,λ* ) ≤ L(x,λ* ) x G,

что означает справедливость равенства (5.11).

Выполнение условий (5.12) и (5.13) было показано при доказательстве теоремы (5.2).

Достаточность. Пусть выполнены условия (5.11)-(5.13). Равенство (5.11) влечет справедливость правой части неравенства (5.3) x G. До-

кажем выполнение левой части неравенства (5.3) для всех λ R+m . Для

53

этого рассмотрим произвольные неотрицательные числа λ1, λ2,…, λm, Очевидно,

Поэтому, используя неравенства (5.12) и (5.13), можно записать:

Следовательно,

f (x* ) + (λi g (x* ))≤ f (x*) + (λ*g (x* )),

что означает справедливость левой части неравенства (5.3).

Следует отметить, что теоремы 5.2 и 5.3 получены без каких-либо предположений о свойствах функций f , g1, g2 ,..., gm и структуре множества G.

В соответствии с теоремой 5.2, если удастся найти седловую точку функции Лагранжа (5.2), то тем самым будет решена задача (5.1), в которой все функции f и gi , i=1,2,...,m, а также множество G могут иметь различную природу, причем х* будет точкой глобального минимума. Если теоретически такой подход безупречен, то его реализация на практике возможна не всегда. Дело в том, что если функции f, gi, i=1,2,...,m, и множество G не выпуклы, то функция Лагранжа не всегда имеет седловые точки. Более того, даже если указанные функции и множество выпуклы и оптимальное решение задачи (5.1) существует, то в некоторых "вырожденных" случаях соответствующая функция Лагранжа может не иметь ни одной седловой точки.

Подтверждением последнего может служить следующая задача, в которой

Единственная точка х*=0 удовлетворяет ограничениям задачи; она же является и точкой глобального минимума. Однако функция Лагранжа L(x,λ) = –х + λх2 не имеет седловых точек (не выполняется необходимые

54