4.4. Задачи оптимизации с ограничениями типа равенств. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Рассмотрим теперь задачу на условный экстремум. Как показано в п.4.З, решение задачи об отыскании экстремумов функции n переменных

f (x), x = (x1, x2 ,...,m) Rn

может быть сведено с помощью необходимых условий к решению системы уравнений (4.5), в результате чего определяются стационарные точки функции f (x). Оказывается, что аналогичное сведение возможно и для задачи отыскания экстремумов функции f (x) при наличии ограничений типа равенств (уравнений связи):

Уточним, что именно мы будем понимать под решением задачи на условный экстремум.

Обозначим

D = {x Rn gi (x) = 0, i =1,2,...,m}

и предположим, что функции gi(x), i = 1,2,…,m имеют непрерывные частные производные по всем аргументам до второго порядка включительно в некоторой области G, содержащей множество D.

Говорят, что точка х0 доставляет условный локальный минимум (строгий условный локальный минимум) функции f (x), если ε > 0 такое, что для любого x D∩U(x0,ε) выполняется f(x) > f(x0). Для строгого локального минимума − f (x) ≥ f (x0 ) .

Пусть х0 – некоторая точка множества D, и ранг матрицы Якоби, рассматриваемой в точке х0 для функций gi(x), i = 1,2,…,m, равен m. Не нарушая общности, будем считать, что отличен от нуля определитель (якобиан), составленный из частных производных по первым m аргументам, т.е.

38

Тогда по теореме о неявных функциях в некоторой окрестности точки х0 система уравнений (4.6) разрешима относительно переменных х1,х2,...,xm, т.е. представима в виде

где ϕi (xm+1, xm+2 ,..., xn ), i =1,2,..., m, – непрерывно дифференцируемые в рассматриваемой окрестности функции.

Переменные хm+1,хm+2,...,xn естественно назвать "независимыми", в отличие oт "зависимых" – х1,х2,...,xm.

Подставляя выражения (4.8) в f (х), получим задачу отыскания безусловного экстремума функции n–m переменных

f(ϕ1(xm+1,..., xn ),...,ϕm (xm+1,..., xn ), xm+1,..., xn ) =

=h(xm+1,..., xn ),

Осуществить представление (4.8) удается не всегда. Рассмотрим метод, который не предполагает наличие явных выражений типа (4.8). Он известен как метод неопределенных множителей Лагранжа.

Как было отмечено в замечании к теореме 4.1, в точке х0, доставляющей безусловный экстремум функции f, ее полный дифференциал равен нулю, т.е.

Выделив переменные х1,х2,...,xm, можно этому равенству придать

вид

По условию функции gi(x) имеют непрерывные частные производ-

39

Таким образом, если x0 = (x10 , x20 ,..., xn0 ) – точка экстремума функции f (x) при ограничениях (4.6), то координаты этой точки x10 , x20 ,..., xn0 вме-

сте с λ10 , λ02 ,..., λ0m являются решением системы n+m уравнений относительно неизвестных x1, x2 ,..., xn , λ1 , λ2 ,..., λm :

Этот результат представляет собой основное содержание метода множителей Лагранжа. Он позволяет свести задачу условной оптимизации к безусловной оптимизации, решение которой находится из необходимых условий существования экстремума функции. Метод состоит из следующих этапов:

1)составляется функция n+m переменных, которая называется функцией Лагранжа:

i=1

2)находятся и приравниваются нулю частные производные по xj и λi функции (4.14):

3) решается система (4.15) n+m уравнений относительно n+m не-

известных x1, x2 ,..., xn , λ1 , λ2 ,..., λm .

41

Система уравнений (4.15) представляет собой необходимые условия экстремума в задаче с ограничениями типа равенств.

Как и в случае задач на безусловный экстремум условия (4.15) по-

зволяют выделить точки x1k , x2k ,..., xnk из множества D, в которых функция может достигать экстремума. Их принято называть условностационарными точками функции f.

Для выяснения характера условно-стационарной точки следует обратиться к достаточным условиям существования условного экстремума, они аналогичны достаточным условиям безусловного экстремума, приведенным в теореме 4.3.

Пример 4:

Спроектировать закрытую емкость заданного объема V в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 6):

1)из условия минимального расхода материала;

2)из условия минимальной суммарной длины сварного шва;

h

b

a

Рис.6. Прямоугольный параллелепипед объема V

1) Расход материала определяется площадью боковой поверхности параллепипеда S. Емкость будем изготавливать из железного листа, развертка емкости представлена на рисунке 7:

S = 2a b + 2a h + 2b h .

Объем бака:

V = a b h .

Математическая модель задачи условной оптимизации:

42

Подставим λ во второе уравнение системы

2a + 2h − (2b + 2h) a h = 0 b h

Помножим на b, получим

2a b + 2h b − 2a b − 2a h = 0

2h b = 2a h b = a

Подставим (4.18) в третье уравнение системы, и получим:

2a + 2b − (2b + 2h) a b = 0 b h

Умножим левую и правую части на h.

2a h + 2b h − 2b a − 2a h = 0 2b h = 2b a

Получаем a = h.

Следовательно, чтобы минимизировать площадь боковой поверхности, емкость следует изготовлять в виде куба (a = b = h).

Найдем размер стороны куба из четвертого уравнения системы:

Теперь решим задачу методом исключения неизвестных. Выразим h из уравнения связи и подставим в целевую функцию:

Получили задачу безусловной оптимизации. Из необходимых условий существования экстремума имеем:

44

R = 2a + 4b + h → mina b h −V = 0

a,b,h > 0

Составим функцию Лагранжа, получим задачу безусловной оптимизации:

L = 2a + 4b + h + λ(a b h −V ) → mina,b, h > 0

Решение:

Запишем необходимые условия (4.15):

∂∂La = 2 + λbh = 0

∂∂Lb = 4 + λah = 0∂L

∂h =1 + λab = 0∂L

∂λ = a b h −V = 0

Выразим из третьего уравнения системы:

λ = − ab1

Подставим λ в первое уравнение системы:

2 − bhab = 0

или, после умножения на a:

Подставим λ во второе уравнение системы:

4 − ahab = 0

После умножения на b, получим:

46