Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Оптимизация, численные методы.pdf
Скачиваний:
264
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
909.58 Кб
Скачать

4.4. Задачи оптимизации с ограничениями типа равенств. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Рассмотрим теперь задачу на условный экстремум. Как показано в п.4.З, решение задачи об отыскании экстремумов функции n переменных

f (x), x = (x1, x2 ,...,m) Rn

может быть сведено с помощью необходимых условий к решению системы уравнений (4.5), в результате чего определяются стационарные точки функции f (x). Оказывается, что аналогичное сведение возможно и для задачи отыскания экстремумов функции f (x) при наличии ограничений типа равенств (уравнений связи):

gi (x) = 0, i =1,2,..., m.

(4.6)

Уточним, что именно мы будем понимать под решением задачи на условный экстремум.

Обозначим

D = {x Rn gi (x) = 0, i =1,2,...,m}

и предположим, что функции gi(x), i = 1,2,…,m имеют непрерывные частные производные по всем аргументам до второго порядка включительно в некоторой области G, содержащей множество D.

Говорят, что точка х0 доставляет условный локальный минимум (строгий условный локальный минимум) функции f (x), если ε > 0 такое, что для любого x DU(x0,ε) выполняется f(x) > f(x0). Для строгого локального минимума f (x) f (x0 ) .

Пусть х0 – некоторая точка множества D, и ранг матрицы Якоби, рассматриваемой в точке х0 для функций gi(x), i = 1,2,…,m, равен m. Не нарушая общности, будем считать, что отличен от нуля определитель (якобиан), составленный из частных производных по первым m аргументам, т.е.

38

 

g1

...

g1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

m

 

 

1

 

 

 

 

0 .

(4.7)

.................

 

gm

...

 

gm

 

 

 

 

 

 

x

 

x

m

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Тогда по теореме о неявных функциях в некоторой окрестности точки х0 система уравнений (4.6) разрешима относительно переменных х1,х2,...,xm, т.е. представима в виде

xi =ϕi (xm+1, xm+2 ,..., xn ), i =1,2,..., m,

(4.8)

где ϕi (xm+1, xm+2 ,..., xn ), i =1,2,..., m, – непрерывно дифференцируемые в рассматриваемой окрестности функции.

Переменные хm+1m+2,...,xn естественно назвать "независимыми", в отличие oт "зависимых" – х1,х2,...,xm.

Подставляя выражения (4.8) в f (х), получим задачу отыскания безусловного экстремума функции nm переменных

f(ϕ1(xm+1,..., xn ),...,ϕm (xm+1,..., xn ), xm+1,..., xn ) =

=h(xm+1,..., xn ),

Осуществить представление (4.8) удается не всегда. Рассмотрим метод, который не предполагает наличие явных выражений типа (4.8). Он известен как метод неопределенных множителей Лагранжа.

Как было отмечено в замечании к теореме 4.1, в точке х0, доставляющей безусловный экстремум функции f, ее полный дифференциал равен нулю, т.е.

n

f (x

0

)

 

df (x0 ) =

 

dxj = 0.

x j

 

 

j =1

 

 

 

Выделив переменные х1,х2,...,xm, можно этому равенству придать

вид

m

f (x

0

)

 

n

f (x

0

)

 

 

 

dxj +

 

xk = 0.

(4.9)

xj

 

 

xk

 

 

j =1

 

 

 

k =m+1

 

 

 

 

По условию функции gi(x) имеют непрерывные частные производ-

39

ные, поэтому, продифференцировав обе части равенства (4.6), получим

 

dgi (x0 ) = 0,

i =1,2,...,m,

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

gi (x

0

)

 

n

 

gi (x

0

)

 

 

 

dxj +

 

 

dxk = 0.

(4.10)

x j

 

 

 

 

 

j =1

 

 

 

k =m+1 xk

 

 

 

 

i = 1,2,...,m.

Сложив почленно с равенством (4.9) равенства (4.10), умноженные на произвольные множители λi, i = 1,2,…,m получим

m

f (x0 )

m

g

(x0 )

n

f (x0 ) m

g

(x0 )

 

 

 

 

+ λi

i

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

+ λi

i

 

 

 

(4.11)

x

j

x

j

 

dxj

 

 

x

 

x

k

dxk = 0.

j =1

 

i=1

 

 

 

 

 

k =m+1

k

 

i=1

 

 

 

 

 

Распорядимся множителями

λi , i =1,2,..., m, таким образом, что-

бы обратились в нуль коэффициенты при

dx1, dx2,..., dxm,

 

 

 

 

 

 

f (x

0

)

 

 

m

gi (x

0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ λi

 

 

= 0,

j =1,2,...,m.

 

 

(4.12)

 

 

 

 

 

x j

 

 

 

 

x j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это возможно сделать, так как уравнения (4.12) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно λi, i = 1,2,…,m, которая имеет единственное решение в силу того, что ее определитель (4.7) по условию отличен от нуля.

Пусть λi0, i = 1,2,…,m – требуемые значения множителей λi. Тогда равенство (4.11) примет вид

n

 

f (x0 )

m

g

(x0 )

 

 

 

0

i

 

 

 

xk

+ λi

xk

dxk = 0,

k =m+1

 

i=1

 

из которого следует, что коэффициенты при dxk, k = m + 1,…,n быть нулями, т.е.

f (x0 )

m

g (x0 )

 

 

+ λ0i

i

 

= 0, k = m +1, ..., n.

x

x

 

k

i=1

 

k

 

должны

(4.13)

40

Таким образом, если x0 = (x10 , x20 ,..., xn0 ) – точка экстремума функции f (x) при ограничениях (4.6), то координаты этой точки x10 , x20 ,..., xn0 вме-

сте с λ10 , λ02 ,..., λ0m являются решением системы n+m уравнений относительно неизвестных x1, x2 ,..., xn , λ1 , λ2 ,..., λm :

g

(x) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

i =1,2,...,m

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

m

g

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

+λ0i

 

i

 

 

 

= 0,

j =1,2,...,m

 

 

x j

 

x j

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

f (x)

 

m

 

g

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

+

λ0i

 

i

 

 

 

= 0,

k = m +1,...,n

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

k

 

i=1

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот результат представляет собой основное содержание метода множителей Лагранжа. Он позволяет свести задачу условной оптимизации к безусловной оптимизации, решение которой находится из необходимых условий существования экстремума функции. Метод состоит из следующих этапов:

1)составляется функция n+m переменных, которая называется функцией Лагранжа:

m

 

L(x,λ) = f (x) + λi gi (x);

(4.14)

i=1

2)находятся и приравниваются нулю частные производные по xj и λi функции (4.14):

 

 

L

 

f (x)

m

gi (x)

 

 

 

 

=

+ λi

= 0, j =1,2,..., n,

 

 

xj

x j

 

 

 

 

 

i=1

xj

 

 

L

 

 

 

 

 

 

(4.15)

 

= gi (x) = 0,

 

i =1,2,...,m;

 

 

 

 

λ

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) решается система (4.15) n+m уравнений относительно n+m не-

известных x1, x2 ,..., xn , λ1 , λ2 ,..., λm .

41

Система уравнений (4.15) представляет собой необходимые условия экстремума в задаче с ограничениями типа равенств.

Как и в случае задач на безусловный экстремум условия (4.15) по-

зволяют выделить точки x1k , x2k ,..., xnk из множества D, в которых функция может достигать экстремума. Их принято называть условностационарными точками функции f.

Для выяснения характера условно-стационарной точки следует обратиться к достаточным условиям существования условного экстремума, они аналогичны достаточным условиям безусловного экстремума, приведенным в теореме 4.3.

Пример 4:

Спроектировать закрытую емкость заданного объема V в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 6):

1)из условия минимального расхода материала;

2)из условия минимальной суммарной длины сварного шва;

h

b

a

Рис.6. Прямоугольный параллелепипед объема V

1) Расход материала определяется площадью боковой поверхности параллепипеда S. Емкость будем изготавливать из железного листа, развертка емкости представлена на рисунке 7:

S = 2a b + 2a h + 2b h .

Объем бака:

V = a b h .

Математическая модель задачи условной оптимизации:

42

S = 2a b + 2a h + 2b h min

при условии

a b h V = 0 уравнение связи

a,b, h > 0

Составим функцию Лагранжа

L = 2a b +2a h +2b h +λ(a b h V ) mina,b,h > 0

(4.16)

(4.17)

Ошибка!

b

 

 

a

b

a

b

 

 

 

h

Рис.7. Прямоугольный параллелепипед в развертке

Решение:

Задача (4.17) относится к задаче безусловной оптимизации и может быть решена из необходимых условий существования экстремума функции:

La = 2b + 2h + λbh = 0

Lb = 2a + 2h + λah = 0

L = 2a + 2b + λab = 0h

L

λ = a b h V = 0

Выразим из первого уравнения системы:

43

λ = −

2b + 2h

(4.18)

bh

 

 

Подставим λ во второе уравнение системы

2a + 2h (2b + 2h) a h = 0 b h

Помножим на b, получим

2a b + 2h b 2a b 2a h = 0

2h b = 2a h b = a

Подставим (4.18) в третье уравнение системы, и получим:

2a + 2b (2b + 2h) a b = 0 b h

Умножим левую и правую части на h.

2a h + 2b h 2b a 2a h = 0 2b h = 2b a

Получаем a = h.

Следовательно, чтобы минимизировать площадь боковой поверхности, емкость следует изготовлять в виде куба (a = b = h).

Найдем размер стороны куба из четвертого уравнения системы:

a3 =V ,

a = 3 V

λ =

4a

= −

4

 

a2

a

 

 

Теперь решим задачу методом исключения неизвестных. Выразим h из уравнения связи и подставим в целевую функцию:

 

 

h

=

V

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

+ 2b

V

 

= 2ab + 2

V

 

V

 

S = 2ab + 2a

 

 

 

b

+ 2

a

min

ab

ab

 

 

 

 

 

 

a,b > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получили задачу безусловной оптимизации. Из необходимых условий существования экстремума имеем:

44

S

= 2b +

2V

 

= 0 b =

V

 

 

 

 

 

 

 

a

a

2

a

2

 

 

 

 

 

 

 

S

 

2V

 

 

 

 

 

= 2a +

 

= 0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим b во 2-е уравнение системы:

2a 2VVa2 4 = 2a 2Va4 = 0

2a(1 a3 ) = 0

V

I. a = 0 b = 0 h = 0

Эта стационарная точка не удовлетворяет уравнению связи.

II.

a3

=1 a = 3 V ;

 

V

 

 

 

b =

 

 

 

V

 

= 3 V ;

 

 

3

 

 

 

 

 

V 2

 

 

h =

V

= 3 V

a, т=тb. = h

 

 

 

 

 

3

V 2

 

Из достаточных условий определим характер экстремума:

 

 

 

 

2 S

 

2 S

 

4V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

Г

=

 

 

ab

= a

 

 

a

 

2 S

 

 

 

 

 

2 S

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ba

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки стационарных точек:

4

2

 

 

 

 

Г =

2

4

 

 

 

2

4V b3

M1 = 4 > 0

M2 = 16 4 = 12 >0

Следственно, по критерию Сильвестра стационарная точка доставляет минимальное значение целевой функции S.

2) На рисунке 7 сварной шов выделен темной линией. Обозначим суммарную длину сварного шва R. Математическая модель задачи условной оптимизации:

45

R = 2a + 4b + h mina b h V = 0

a,b,h > 0

Составим функцию Лагранжа, получим задачу безусловной оптимизации:

L = 2a + 4b + h + λ(a b h V ) mina,b, h > 0

Решение:

Запишем необходимые условия (4.15):

La = 2 + λbh = 0

Lb = 4 + λah = 0L

h =1 + λab = 0L

λ = a b h V = 0

Выразим из третьего уравнения системы:

λ = − ab1

Подставим λ в первое уравнение системы:

2 bhab = 0

или, после умножения на a:

2a = h

a =

h

 

 

2

Подставим λ во второе уравнение системы:

4 ahab = 0

После умножения на b, получим:

46

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.